In un garage viene scoperto un cadavere. La polizia rileva la temperatura corporea di 29.5°, mentre quella ambientale è di 21°. Trascorsa un'ora la temperatura corporea è di 26°. Quando possiamo ipotizzare che sia morta la persona?
Indico con T la differenza tra la temperatura corporea e quella ambientale, di 21°, e con T(t) quella dopo t ore dalla morte. Il raffreddamento del corpo (fino alla temperatura ambientale) ha andamento approssimativamente esponenziale: T(t) = T(0)*a^t Ipotizziamo che la temperatura da vivo fosse di 37° T(0) = 37-21 = 16 T del corpo da vivo T(x) = 29.5-21 = 8.5 T al tempo x del ritrovamento T(x+1) = 26-21 = 5 T dopo 1 ora da x T(t) = 16*a^t 16*a^x = 8.5 T(x) 16*a^x * a = 5 T(x+1) = 16*a^(x+1) = 16*a^x * a 8.5 * a = 5 a = 5/8.5 Quindi: T(t) = 16*(5/8.5)^t Facciamo i calcoli con R: source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") T = function(t) 16*(5/8.5)^t solution(T,8.5, 0,100) # Cerco quanto il corpo è stato scoperto, ossia quando T = 8.5 # 1.192026 # questo è il tempo trascorso dal ritrovamento 0.192026*60 # 1 h e 0.192... ovvero 0.192...*60 sessantesimi # 11.52156 # La morte è avvenuta circa 1 h e 12 min prima del ritrovamento. # I calcoli a mano: 16*(5/8.5)^t = 8.5 (5/8.5)^t = 8.5/16 t = log5/8.5 (8.5/16) = log(8.5/16)/log(5/8.5) = 1.192026Plane(0,3, 0,16); graph2(T,0,3, "brown") POINT(2.192,5,"seagreen"); POINT(1.192,8.5,"seagreen"); POINT(0,T(0),"seagreen") text(0.5,T(0),T(0)); text(1.6,8.5,8.5); text(2.75,5,5)
16 -> 37 8.5 -> 29.5 5 -> 26 0 -> 21
Vedi funzioni esponenziale e logaritmo negli Oggetti Matematici.