Quando si respira il diaframma (vedi) riduce la pressione attorno ai polmoni facendoli espandere e quindi riempire d'aria. La tabella seguente mostra il volume di un polmone in funzione della riduzione di pressione causata dal diaframma (ricordiamo che la pressione può essere espressa in "centimetri di acqua": cmH20 = pressione esercitata da una colonna d'acqua di 1 cm di altezza a 4 °C, la temperatura di densità massima - vedi).
Riduzione di pressione (cm di acqua) 0 5 10 15 20 25 30 Volume (litri) 0.20 0.29 0.49 0.70 0.86 0.95 1.00
Viene chiamata conformitā polmonare la derivata di questa funzione. Quando essa raggiunge il valore massimo?
Indichiamo con P e V le due variabili e le rappresentiamo graficamente, ottenendo la figura sotto a sinistra, in cui i punti, per comodità, sono stati collegati con una spline cubica.
Se rappresento graficamente anche la pendenza di questa curva ottengo il grafico rappresentato in verde, sia sullo
stesso diagramma che su quello a destra, in cui è rappresentata anche, in rosso, la pendenza della pendenza (ossia
in verde č rappresentata la derivata e in rosso la derivata seconda). In altre parole il grafico verde rappresenta la
conformità polmonare. Si vede che, approssimando, la conformità č massima in corrispondenza dei 10 cm d'acqua.
La cosa č confermata dal grafico della derivata seconda, che taglia l'asse orizzontale in corrispondenza dei 10 cm d'acqua.
L'esempio č tratto da:
Deborah Hughes-Hallett, William G. Mccallum et al., Calculus: Single and Multivariable, Wiley.
# Grafici e calcoli con R (vedi).
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") # se non hai già caricato il file
P = c( 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30)
V = c(0.20,0.29,0.49,0.70,0.86,0.95,1.00)
BF=3.5; HF=3; Plane(0,30, 0,1); POINT(P,V, "brown")
# approssimo i punti con una spline
g = splinefun(P,V); graph1(g, 0,30, "brown")
# traccio la derivata prima
splinefunD(P,V,1,"seagreen")
# traccio le derivate (1^ e 2^) in una nuova scala
Plane(0,30,-0.01,0.05)
splinefunD(P,V,1,"seagreen"); splinefunD(P,V,2,"red")