Dimostra che  1+1/4+1/9+1/16+… = Σ k=1…∞ 1/k2 converge, e, usando del software, stima o calcola esattamente il valore somma.
Se ti è di aiuto, considera la figura a lato e calcola  ∫ 1…∞ 1/x² dx.		    

Con del software capisco facilmente che la serie converge. Ad es. con R ho:

a <- function(n) 1/n^2  # a(n) elemento n-esimo della sommatoria
N <- function(n) seq(1,n,1)    # N = 1 2 ... n
S <- function(n) sum(a(N(n)))  # somma a(1)+...a(n)
S(1e1);S(1e2);S(1e3);S(1e4);S(1e5);S(1e6);S(1e7)
# 1.549768
# 1.634984
# 1.643935
# 1.644834
# 1.644924
# 1.644933
# 1.644934
Ragionando sulla figura rappresentata posso concludere che Σ k=1…∞ 1/k2 < 1+∫ 1…∞ 1/x² dx = 1+1 = 2.
Con WolframAlpha , introducendo "1+1/4+1/9+1/16+..." posso ottenere
Σ n=1…∞ 1/n2 = π²/6 = 1.6449340668482…

La convergenza di questa serie fu dimostrata, facilmente, intorno al 1600, ma il valore della somma rimase ignoto fino al 1735, quando Eulero riuscì a dimostrare che essa vale π²/6.

Si può facilmente anche con un semplice script (vedi) trovare che la somma (arrotondata) è 1.6449341.