Congettura, sperimentalmente, a cosa converge la serie a lato.

Posso studiare la convergenza con un programma qualunque. Ad esempio con R ho:

A <- function(n) 1/16^n*( 4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6) )
n <- 0; print(sum(A(0:n)),16)
# 3.133333333333333
n <- 1; print(sum(A(0:n)),16)
# 3.141422466422466
# ...
n <- 9; print(sum(A(0:n)),16)
# 3.141592653589791
n <- 10; print(sum(A(0:n)),16)
# 3.141592653589793
print(pi,16)
# 3.141592653589793

Intuisco che la serie converge, velocissimamente, a π.  Posso controllare la cosa con WolfrmaAlpha:

pi - sum 1/16^n*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6)), n=0 to oo
# 0

Ovvero potrei usare questo semplice script:

function F(n) {
with(Math) {
a = (4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6))/pow(16,n)
return a
}}

3.141592653589793   if a=0 b=11
3.141592653589793   if a=0 b=10
3.1415926535897913  if a=0 b=9
3.1415926535897523  if a=0 b=8
3.141592653588973   if a=0 b=7
3.141592653572881   if a=0 b=6
3.141592653228088   if a=0 b=5