Verifica sperimentalmente che	n ∑ k = 1	1/k	− log(n)  per n → ∞ converge.
Per il valore del limite cerca "gamma constant" [γ] in WolframAlpha.

La cosa può essere verificata con un semplice script (vedi).

Verifichiamo la cosa anche con R:

a <- function(n) 1/n           ## a(n) elemento n-esimo della sommatoria
N <- function(n) seq(1,n,1)    ## N = 1 2 ... n
S <- function(n) sum(a(N(n)))  ## somma a(1)+...a(n) = 1/1+...+1/n
#
S(1); S(10); S(100); S(1000)
# 1   2.928968   5.187378   7.485471
## Capisco che S diverge:
for(n in 0:6) print( S(10^n) )
# 1  2.928968  5.187378  7.485471  9.787606  12.09015  14.39273
## A conferma vedo che moltiplicando l'input per 10 il
## valore tende a crescere di una costante:
for(n in 1:8) print( S(10^n)-S(10^(n-1)) )
# 1.928968  2.258409  2.298093  2.302135  2.30254
# 2.302581  2.302585  2.302585
## Posso concludere che l'andamento di S tende ad essere logaritmico.
## [ log(x*10) = log(x)+log(10) e log(10) = log(10) = 2.302585 ]
## Quindi considero il limite che è chiesto di studiare:
## [ ma per la formulazione dell'esercizio potevo a fare direttamente ciò:
##   avevo già l'informazione che l'andamento di S è logaritmico ]
#
F <- function(n) S(n))-log(n)
for(n in 0:6) print(F(10^n))
# 1  0.6263832  0.5822073  0.5777156  0.5772657  0.5772207  0.5772162
for(n in 0:8) print(F(10^n),12)
# 1  0.626383160974  0.582207331652  0.577715581568  0.577265664068
#    0.577220664893  0.577216164901  0.577215714902  0.577215669902
for(n in 1:8) print( F(10^n)-F(10^(n-1)), 12)
# -0.373616839026  -0.0441758293227  -0.00449175008332  -0.00044991750001
# -4.49991749996e-05  -4.4999917499e-06  -4.49999918217e-07  -4.49999930652e-08
## 4.5+0.45+0.045+0.0045+0.00045+... = 5   Concludo che il limite ha valore
## arrotondato pari a:
print(0.577215669902-5e-9, 12)
# 0.577215664902

Verifico con WolframAlpha:  γ = 0.577215664901532860606512090082402431042...
Il numero γ è chiamato costante di Eulero-Mascheroni (Eulero dimostrò che questo limite esiste nel 1734, Lorenzo Mascheroni ne studiò il valore nel 1790). La costante γ ha importanza in molte aree matematiche. Ad oggi (2016) non si sa ancora se γ sia razionale o no.