Studiare la convergenza della serie

∞ ∑ k = 0

k/(2k+1).

La serie diverge perché lim _{k → ∞} = k/(2k+1) = 1/2 ≠ 0. [vedi]

## Per congetturare la cosa (e poi studiare come affrontare questo
## semplice problema!) potrei usare R:
a <- function(n) n/(2*n+1)
N <- function(n) seq(0,n,1)
S <- function(n) sum(a(N(n)))
## Stampo le uscite di 10 in 10 e la differenza dalla somma parziale precedente
for(n in (1:10)*10) cat(n,S(n),S(n)-S(n-1),'\n')
# 10  4.409563  0.4761905 
# 20  9.247968  0.4878049 
# 30  14.15061  0.4918033 
# 40  19.08072  0.4938272 
# 50  24.02616  0.4950495 
# 60  28.9814   0.4958678 
# 70  33.94345  0.4964539 
# 80  38.91051  0.4968944 
# 90  43.88141  0.4972376 
# 100 48.85534  0.4975124
## La variazione aumenta quindi la serie evidentemente diverge

Ovvero potrei usare questo semplice script, da cui risulta evidente la divergenza della serie:

function F(n) {
with(Math) {
a = n/(2*n+1)
return a
}}