Studiare la convergenza delle serie

∞ ∑ k = 1

1 / (k2+3)

e

∞ ∑ k = 1

1 / log|k+1|.

1 / (k2+3) < 1 / k2 per ogni k intero positivo,

∞ ∑ k = 1

1 / k2

converge (è una p-serie con p > 1),

dunque la serie data converge per il criterio del confronto. [vedi]

1/log|k+1| > 1/k per ogni k intero maggiore di 1,

∞ ∑ k = 1

1 / k

diverge,

dunque la serie data diverge per il criterio del confronto. [vedi]

Posso studiare online ad esempio la prima serie con questo script, impostando la "function":

function F(n) {
with(Math) {
return  1 /( pow(n,2)+3 )
}}
          ΣF(n)  n = a .. b
0.7402670609147275  if a=1 b=64e6
0.7402670453278978  if a=1 b=32e6
0.7402670140812384  if a=1 b=16e6
0.7402669515818519  if a=1 b=8e6
0.7402668265818815  if a=1 b=4e6
0.7402665765819891  if a=1 b=2e6
0.7402660765823648  if a=1 b=1e6
0.7303178948430044  if a=1 b=100

Arrotondando, 0.7402671.

Posso studiare online ad esempio anche la seconda serie, impostando la "function":

function F(n) {
with(Math) {
return  1 / log(abs(n+1))
}}
          ΣF(n)  n = a .. b
78627.41449473613   if a=1 b=1e6
9629.6960509707     if a=1 b=1e5
1246.0568367102312  if a=1 b=1e4
177.58354419845494  if a=1 b=1e3

È facile concludere che la serie diverge.