Studiare la convergenza di

∞ ∑ k = 1

(-1)k a(k)

con a(k) = 1/k per k dispari, a(k) = 1/k2 per k pari

Per la convergenza di ∑(-1)n a(n) non basta che a(n) → 0; si è sicuri della convergenza se, inoltre, la successione a(n), almeno da un certo n in poi, decresce (test di Leibniz: vedi); nel nostro caso la successione è:   1 - 1/4 + 1/3 - 1/16 + 1/5 - 1/36 + ... . Essa tende a crescere. Infatti gli addendi negativi tendono a 0 molto più lentamente di quelli positivi per cui le variazioni non tendono a compensarsi: la somma tende a comportarsi come se, da un certo punto in poi, ci fossero solo gli addendi di posto dispari. Del resto la somma 1/4+1/16+1/16+... converge mentre 1+1/3+1/5+... diverge; se la serie data convergesse, allora (vedi la Nota 3) dovrebbe convergere anche la somma di essa e di 1/4+1/16+1/16+..., che è, appunto, la serie formata dai soli termini di posto dispari, 1+1/3+1/5+..., che sappiamo invece divergere: assurdo.     Nel grafico a destra si vede bene come il contributo dei termini di posto pari tenda a diventare trascurabile.