A₀ + Σ _{k = 1..∞} (A_k·cos(k·x) + B_k·sin(k·x))

Sopra è descritta una generica serie di Fourier. Verifica che nel caso seguente si ottengono le approssimazioni sotto riprodotte con i polinomi di Fourier indicati:

f <- pi^2/3; for(i in 1:n) f <- f+4*(-1)^i/i^2*cos(i*x)
n = 1, 2, 3, 1000

Ecco la soluzione con R, ma potrebbe essere affrontata con altro software. Per altre considerazioni vedi qui e link ivi presenti.

Vedi anche WolframAlpha:   mathworld subject fourier series

dev.new(width=4,height=3); 
p <- function(x) {f <- pi^2/3;
   for(i in 1:n) f <- f+4*(-1)^i/i^2*cos(i*x); f};
n <- 1; plot(p,-5,10, ylim=c(-2,10),col="blue",n=1000)
abline(h=0,v=0,lty=2,col="blue")
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="grey",lty=3)
n <- 2; plot(p,-5,10,add=TRUE,col="red",n=1000)
n <- 3; plot(p,-5,10,add=TRUE,col="green4",n=1000)
n <- 4; plot(p,-5,10,add=TRUE,col="brown",n=1000)
#
dev.new(width=4,height=3); 
n <- 1000; plot(p,-5,10, ylim=c(-2,10), n=5000)
abline(h=0,v=0,lty=2,col="blue")
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="grey",lty=3)