Si può dimostrare che una serie di Taylor e più in generale una serie di potenze, ossia del tipo ∑ _{k = 0 .. ∞} a_k(x – a)^k, è tale che se converge in un intervallo ad una funzione F la serie dei suoi integrali in un intervallo [a,b] converge all'integrale tra a e b di F.  Utilizza questo fatto per approssimare a due cifre ∫ _[0,1] exp(−x²) dx.  Controlla le risposte con R e con WolframAlpha.

exp(x) = 1+x+x²/2+x³/6+x⁴/24+x⁵/120+x⁶/720+...
exp(-x²) = 1-x²+x⁴/2-x⁶/6+x⁸/24-x¹⁰/120+x¹²/720-...
È una serie di potenze; l'integrale è la somma degli integrali:
∫ _[0,1] exp(-x²) dx = [x-x³/3+x⁵/10-x⁷/42+x⁹/216-x¹¹/1320+x¹³/9360-...+(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/((2n+1)n!)+...]_x=1
I termini alternano i segni, per cui si alternano approssimazioni per eccesso e per difetto e il (valore assoluto del) primo termine trascurato può essere assunto come precisione, ossia come maggiorante de (valore assoluto de) l'errore.
(-1)ⁿ/((2n+1)n!) per n = 2, 3 , 4, ... (arrotondando) vale:
0.1, -0.02381, 0.004630: sono arrivato a un termine in valore assoluto minore di 0.01. Mi fermo.
∫ _[0,1] exp(-x²) dx = 1 - 1/3 + 1/10 - 1/42 + E = 0.742857... + E con 0 < E < 0.0047 < 0.01
Ovvero:
1 - 1/3 + 1/10 - 1/42 < ∫ _[0,1] exp(-x²) dx < 1 - 1/3 + 1/10 - 1/42 + 1/216
0.742857... < ∫ _[0,1] exp(-x²) dx < 0.747486...
da cui, volendo, posso ottenere la rappresentazione con meno cifre:
0.74 < ∫ _[0,1] exp(-x²) dx < 0.75
cioè: ∫ _[0,1] exp(-x²) dx = 0.74 [approssimazione per troncamento a 2 cifre significative]
Volendo migliorare la precisione:
1 - 1/3 + 1/10 - 1/42 + 1/216 - 1/1320 < ∫ _[0,1] exp(-x²) dx < 1 - 1/3 + 1/10 - 1/42 + 1/216
0.746729... < ∫ _[0,1] exp(-x²) dx < 0.747486...
da cui ∫ _[0,1] exp(-x²) dx = 0.747
Con R f <- function(x) exp(-x^2); integrate(f,0,1) fornisce 0.7468241.
Con WolframAlpha  integrate exp(-x^2) dx from x=0 to 1  fornisce 0.746824132812427025399467...