Si può dimostrare che una serie di Taylor e più in generale una serie di potenze, ossia del tipo ∑ k = 0 .. ∞ ak(x – a)k, è tale che se converge in un intervallo ad una funzione F la serie delle sue derivate converge a F'.  Utilizza questo fatto per ottenere,  una volta ottenuto dallo sviluppo di 1/(1−x) quello di 1/(1+x),  derivando opportunamente, lo sviluppo attorno a 0 di 1/(1+x)².  Controlla le risposte utilizzando, in R, il file taylor e/o impiegando WolframAlpha.

Dallo sviluppo di 1/(1−x) (serie geometrica), 1/(1−x) = 1+x+x²+x³+... = ∑ n=0..∞ xn [vedi], ricavo  1/(1+x) = ∑ n=0..∞ (-1)n xn [che converge per x in (-1,1)].
d 1/(1+x) / dx = −1/(1+x)². Trattandosi di serie di potenze, posso derivare termine a termine [mantenendo lo stesso raggio di convergenza]:
-1/(1+x)2 = ∑ n=1..∞ (-1)n n xn-1   da cui, cambiando segno:
1/(1+x)2 = ∑ n=1..∞ (-1)n+1 n xn-1 = 1 - 2x + 3x2 - 4x3 + ...

# Usando R:
f <- function(x) 1/(1+x)^2
taylor(f, 0, -1.2,1.5, -2,3)
# 1 -2 6/2 -24/6 120/24 -720/120 5040/720 -40320/5040 362880/40320 -3628800/362880 39916800/3628800
A <-0; fractions( c(F7(A)/factorial(7),F8(A)/factorial(8),F9(A)/factorial(9),F10(A)/factorial(10) ) )
#  -8   9  -10  11
# 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 6x^5 + 7x^6 - 8x^7 + 9x^8 - 10x^9 + 11x^10

Con WolframAlpha:
series 1/(1+x)^2 at x=0
1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 6x^5 + 7x^6 - 8x^7 + 9x^8 + O(x^9)
converges when abs(x)<1

Per riferimenti, vedi qui. Per ulteriori approfondimenti vedi qui.