Si può dimostrare che una serie di Taylor e più in generale una serie di potenze,
ossia del tipo
Considero lo sviluppo di 1/(1−x) (serie geometrica),
1/(1−x) = 1+x+x²+x³+... =
d 1/(1−x) / dx = 1/(1−x)².
Trattandosi di una serie di potenze, posso derivare termine a termine [mantenendo lo stesso raggio di convergenza]:
1/(1-x)2 = ∑ n=1..∞ n xn-1
e quindi:
2/(1-x)3 = ∑ n=2..∞ n(n-1) xn-2
da cui:
1/(1-x)3 = ∑ n=2..∞ n(n-1)/2 xn ovvero:
1/(1-x)3 = ∑ n=0..∞ (n+2)(n+1)/2 xn =
1 + 3x + 6x2 + 10x3 + 15x4 + ...
# Usando R: f <- function(x) 1/(1-x)^3 taylor(f, 0, -1,1, -2,4) # 1 3 12/2 60/6 360/24 2520/120 20160/720 181440/5040 1814400/40320 19958400/362880 239500800/3628800 A <-0; fractions( c(F4(A)/factorial(4),F5(A)/factorial(5),F6(A)/factorial(6),F7(A)/factorial(7) ) ) # 15 21 28 36 A <-0; fractions( c(F7(A)/factorial(7),F8(A)/factorial(8),F9(A)/factorial(9),F10(A)/factorial(10) ) ) # 36 45 55 66 # 1 + 3x+ 6x^2 + 10x^3 + 15x^4 + 21x^5 + 28x^6 + 36x^7 + 45x^8 + 55x^9 + 66x^10
Con WolframAlpha:
series 1/(1-x)^3 at x=0
1 + 3x+ 6x^2 + 10x^3 + 15x^4 + 21x^5 + 28x^6 + 36x^7 + 45x^8 + 55x^9 + 66x^10 + O(x^11)
converges when abs(x)<1
Per riferimenti, vedi qui. Per ulteriori approfondimenti vedi qui.