Si può dimostrare che una serie di Taylor e più in generale una serie di potenze, ossia del tipo k = 0 .. ak(x – a)k, è tale che se converge in un intervallo ad una funzione F la serie delle sue derivate converge a F'.  Utilizza questo fatto per ottenere,  dallo sviluppo di 1/(1−x),  derivando opportunamente, lo sviluppo attorno a 0 di 1/(1−x)³.  Controlla le risposte utilizzando, in R, il file taylor e/o impiegando WolframAlpha.

Considero lo sviluppo di 1/(1−x) (serie geometrica), 1/(1−x) = 1+x+x²+x³+... = n=0..∞ xn, che converge per x in (-1,1) [vedi].
d 1/(1−x) / dx = 1/(1−x)². Trattandosi di una serie di potenze, posso derivare termine a termine [mantenendo lo stesso raggio di convergenza]:
1/(1-x)2 = ∑ n=1..∞ n xn-1   e quindi:
2/(1-x)3 = ∑ n=2..∞ n(n-1) xn-2   da cui:
1/(1-x)3 = ∑ n=2..∞ n(n-1)/2 xn  ovvero:
1/(1-x)3 = ∑ n=0..∞ (n+2)(n+1)/2 xn = 1 + 3x + 6x2 + 10x3 + 15x4 + ...

# Usando R:
f <- function(x) 1/(1-x)^3
taylor(f, 0, -1,1, -2,4)
# 1 3 12/2 60/6 360/24 2520/120 20160/720 181440/5040 1814400/40320 19958400/362880 239500800/3628800 
A <-0; fractions( c(F4(A)/factorial(4),F5(A)/factorial(5),F6(A)/factorial(6),F7(A)/factorial(7) ) )
# 15 21 28 36
A <-0; fractions( c(F7(A)/factorial(7),F8(A)/factorial(8),F9(A)/factorial(9),F10(A)/factorial(10) ) )
# 36 45 55 66
# 1 + 3x+ 6x^2 + 10x^3 + 15x^4 + 21x^5 + 28x^6 + 36x^7 + 45x^8 + 55x^9 + 66x^10

Con WolframAlpha:
series 1/(1-x)^3 at x=0
1 + 3x+ 6x^2 + 10x^3 + 15x^4 + 21x^5 + 28x^6 + 36x^7 + 45x^8 + 55x^9 + 66x^10 + O(x^11)
converges when abs(x)<1

Per riferimenti, vedi qui. Per ulteriori approfondimenti vedi qui.