Nella tabella a lato sono riportati gli esiti dei rilevamenti della pressione arteriosa massima in un gruppo di maschi quarantenni (nella colonna 1 i valori, nella 2 le frequenze assolute). I dati sono espressi in millimetri di mercurio (mm Hg) e arrotondati alle cinquine.
Determinane (usando al più una calcolatrice non programmabile) mediana, distanza interquartile, media, varianza e s.q.m.. Controlla eventualmente i risultati utilizzando opportuno software.
951
1001
1052
1103
1155
1206
12510
13015
135  21
140  19
14514
15013
 1558
1605
1654
1703
1753
1802

Dalla tabella con le frequenze ricavo quella con le frequenze cumulate:
I dati sono 135. Al centro vi è il dato di posto (1+135)/2 = 68. I dati dal 65° all'83° valgono, arrotondati alle cinquine, 140. Posso assumere questa come arrotondamento alle cinquine della mediana.
Volendo [ valori medi 2] posso stimare meglio questo valore riferendomi agli intervalli (vedi la figura seguente):
la mediana cade nell'intervallo [137.5,142.5), ampio 5, in cui cadono 19 dati. 64 sono i dati caduti negli intervalli precedenti. Il segmento verticale che taglia a metà l'istogramma ha ascissa ha da 137.5 una distanza che corrisponde a quanti dati da 64 mancano per arrivare al 50% di 135. La scala per passare dalle distanze in dati a quella in pressioni è 5/19. Quindi come mediana prendo:
137.5+(50%·135-64)·5/19 = 137.5+3.5·5/19 = 138.42… = 138.
951
1002
1054
1107
11512
12018
12528
13043
135  64
140  83
14597
150110
 155118
160123
165127
170130
175133
180135

    135/4 = 33.75; quindi il 25° percentile (primo quartile) sta tra i dati di posto 28 e 43, e corrisponde quindi a 130 (arrotondamento alle cinquine).  135·3/4 = 101.25 quindi il 75° percentile sta tra i dati di posto 97 e 110, e corrisponde quindi a 150 (arrotondamento alle cinquine).  La distanza interquartile (IQR) è quindi 150-130 = 20 (valore arrotondato alle decine: facendo la differenza le precisioni si sommano).
Posso stimare meglio il valore riferendomi agli intervalli. 127.5+(25%·135-28)·5/(43-28) = 137.5+5.75·5/15 =129.41…;  147.5+(25%·135-97)·5/(110-97) = 149.13…;  149.13-129.41 = 20 (arrotondando alle unità). Quindi il 20 trovato prima ha una precisione migliore della decina.

    Per il calcolo della media posso usare una calcolatrice tascabile (impiegando ad es. per accumulare le somme; alcune c.t. sono dotate di tasti statistici che consentono, in particolare, di trovare direttamente la media).
Se non dispongo di una c.t. posso procedere associando a ogni intervallo un numero intero, come illustrato nella tabella a destra.  In pratica ho assegnato 0 ad un intervallo abbastanza centrale e ho numerato gli intervalli precedenti e successivi a partire da esso.
Poi calcolo la media riferendomi a questi valori interi, su cui è facile operare in quanto sono "numeri piccoli" e con segni diversi, il che consente di operare varie semplificazioni (qui descritte per esteso, ma in gran parte eseguibili a mente):
951
1001
1052
1103
1155
1206
12510
13015
135  21
140  19
14514
15013
 1558
1605
1654
1703
1753
1802
 -91
-81
-72
-63
-55
-46
-310
-215
-1  21
0  19
114
213
 38
45
54
63
73
82
1*(-9)+1*(-8)+2*(-7)+3*(-6)+5*(-5)+…+4*5+3*6+3*7+2*8 =
1*(-9)+1*(-8)+2*8+2*(-7)+3*7+3*(-6)+3*6+5*(-5)+4*5+… =
1*(-9)+1*8+1*7+0*6+1*(-5)+1*(-4)+2*(-3)+2*(-2)+7*(-1)+0*19 =
-9+8+7-5-4-6-4-7 = -20
La media riferita ai dati così trasformati è  -20 / 135
Quella riferita ai dati originali la ottengo moltiplicando per l'ampiezza degli intervallini e aggiungendo 140:
-20 / 135 * 5 + 140 = 140 - 100/135.  Formalizzando, chiamata X la distribuzione originale, il procedimento usato è stato quello di considerare (X-140)/5 e usare le proprietà M(X+k)=M(X)+k e M(kX)=kM(X) ( indici di posiz. e dispers.).
Ottengo:   139.2592… che arrotondo a 139 (o 139.3: valori medi 2):

Per trovare lo s.q.m. della nostra distribuzione X (σ(X)) posso calcolarlo direttamente usando la definizione, ossia calcolare la media dei quadrati degli scarti (Var(X)) e farne la radice quadrata, oppure, nel calcolo a mano o con una calcolatrice non sofisticata, usare la proprietà: Var(Y) = M(Y2)–M(Y)2 applicata alla distribuzione Y ottenuta da X nel modo sopra fatto per il calcolo della media (Y = (X-140)/5):

1*(-9)2+1*(-8)2+2*(-7)2+3*(-6)2+5*(-5)2+…+4*52+3*62+3*72+2*82 =
1*81+3*64+5*49+6*36+9*25+11*16+18*9+28*4+35*1+19*0 =
1444;   M(Y2) = 1444/135;   M(Y)2 = (-20/135)2
σ(X) = σ(X-140) = σ(Y)·5 = √(1444/135-(-20/135)2) ·5 = 16.3

Ecco il controllo dei risultati con il programma R

  Per altri commenti: indici di posizione e dispersione neGli Oggetti Matematici.