Sotto sono riprodotti due istogrammi di distribuzione della stessa variabile casuale, a valori in [0,100). (1)  Si descriva la differenza tra i due istogrammi, esplicitando anche il significato dell'altezza delle colonne nei due casi. (2)  Si spieghi come dall'istogramma B si può passare all'istogramma A. (3)  Si stimi con 2 cifre significative il valor medio della variabile casuale.

(1) Il testo non specifica se si tratta di istogrammi sperimentali o teorici. Supponiamo che si tratti di istogrammi sperimentali, ossia di rappresentazioni della frequenza relativa con cui, in una certa sequenza finita di esperimenti, i valori assunti dalla variabile casuale, chiamiamola X, sono caduti nelle 9 classi considerate.
    In realtà si tratta della distribuzione dell'età dei morti in Italia nel 1951.
    Nella rappresentazione A sull'asse verticale, in corrispondenza del lato superiore di ogni rettangolo, si può leggere la frequenza relativa dell'intervallo rappresentato dal rettangolo; la frequenza relativa delle classi è anche proporzionale all'area dei rettangoli, in quanto questi hanno tutti ugual base, ma nulla sarebbe cambiato se al posto di rettangoli avessimo usato segmenti verticali, ossia un cosiddetto istogramma a barre; l'asse orizzontale non rappresenta l'insieme dei numeri reali.
    Nella rappresentazione B, invece, l'unica grandezza proporzionale alla frequenza realtiva delle classi è l'area dei rettangoli: l'asse orizzontale rappresenta i numeri reali, come basi dei rettangoli sono stati presi gli intervalli che essi devono rappresentare e le loro altezze sono state scelte in modo che, nel piano cartesiano definito dai due assi, l'area di ogni rettangolo sia uguale alla frequenza relativa della corrispondente classe. Ad es. all'intervallo [0,5) corrisponde un rettangolo di lato orizzontale lungo 5 e lato verticale lungo 3% = 3/100, ossia di area 15/100 = 15%, pari al valore rappresentato dalla "altezza" del rettangolo corrispondente nella rappresentazione A.
    In sintesi, l'altezza dei rettangoli nel caso A rappresenta la frequenza relativa, nel caso B rappresenta la densità di frequenza, ossia il rapporto tra frequenza relativa e ampiezza degli intervalli, ossia la frequenza percentuale unitaria (in un intervallo ampio 1 contenuto in [0,5) la frequenza realtiva è 3%).
    L'istogramma A consente di valutare meglio le frequenze delle singole classi. B consente di analizzare meglio l'andamento del fenomeno, ad es. di comprendere che nel '51 c'era maggiore probabilità di morte per chi era in età prescolare che per chi aveva un'età intorno ai 70 anni. I due istogrammi avrebbero avuto la stessa forma se i dati fossero stati classificati in intervalli di uguale ampiezza.
    Se si trattasse di un istogramma teorico, il grafico a scalini costituito dai lati superiori dei rettangoli di B sarebbe il grafico della funzione densità di X.
(2) Per passare da B ad A basta determinare la frequenza relativa di ogni intervallo, valore che sarà da prendere come altezza del rettangolo che lo rappresenterà in A; per far ciò basta moltiplicare l'ampiezza dell'intervallo per la densità di frequenza, ossia per l'altezza del rettangolo che lo rappresenta in B.
(3) Dall'istogramma B intuisco che il valor medio (che corrisponde alla ascissa del baricentro dell'istogramma B - non dell'istogramma A, nel quale l'asse orizzontale non rappresenta R) cade nell'intervallo [50,60). Per stimare il valor medio di X posso calcolare Σ _i=1…9 (centro intervallo i-mo)·(freq.relativa intervallo i-mo) = (2.5·15+7.5·1+15·1.5+25·2.5+35·3+45·6+55·9.5+67.5·29+87.5·32.5)/100 = 58.2875 che arrotondo a 58. Si tratta di un valore in accordo con l'intuizione "fisica". Se avessi trovato un valore molto minore di 50 o molto maggiore di 60 avrei dovuto capire che ho commesso qualche errore.
Nota: l'arrotondamento di 58.2875 a 2 cifre significative è 58, non 58.29, che è l'arrotondamento ai centesimi ovvero alla cifra di posto -2, ovvero alla seconda cifra dopo il punto decimale. Del resto, tenendo conto della approssimazione con cui dai grafici si possono ricavare le approssimazioni delle frequenze, non avrebbe alcun senso cercare approssimazioni con una precisione migliore.