Se a un certo insieme di dati numerici ne aggiungo uno uguale al minimo di essi, la media e la varianza aumentano, diminuiscono o rimangono invariate? E se ne aggiungo uno uguale alla loro media?

    Prendiamo due dati uguali ad es. a 2, aventi come media 2 e come varianza 0. Aggiungiamo un 2, in modo da avere la terna 2, 2, 2. La media rimane 2 e la varianza 0. È immediato dedurre che se i dati sono uguali i due casi (aggiungere un dato uguale al minimo o un dato uguale alla media) sono equivalenti e media e varianza rimangono uguali.
    Prendiamo l'esempio di due dati pari ad es. a 1 e a 3, aventi come media 2. Aggiungiamo un 1, in modo da avere la terna 1, 1, 3. La media evidentemente diminuisce [diventa 1.666…]. In generale, se x1 è il minimo, m è la media vecchia e m' è la nuova , m' = (x1+x1+x2+...+xn)/(n+1) ≤ (m+x1+x2+...+xn)/(n+1) = [in quanto, se aggiungo un dato pari alla media, la media non cambia] (x1+x2+...+xn)/n = m.
    Prendiamo l'esempio di due dati uguali ad es. a 1 e a 3. Aggiungiamo la media, ossia un 2, in modo da avere la terna 1, 2, 3. La media evidentemente rimane inalterata mentre la varianza è un rapporto il cui numeratore rimane inalterato (si aggiunge 2-2) e il cui denominatore aumenta di 1, per cui diminuisce. Evidentemente lo stesso ragionamento vale in generale.
    Rimane da affrontare la discussione di cosa accade alla varianza aggiungendo un dato pari al minimo. Intuitivamente, essendo un indicatore della dispersione dei dati, potrebbero esserci dei casi in cui diminuisce e di quelli in cui aumenta. Proviamo a fare degli esempi. La terna 1,1,2 ha come varianza 0.222… mentre la quaterna 1,1,1,2 ha come varianza 0.1875, minore. Invece la terna 1,2,2 ha come varianza 0.222… mentre la quaterna 1,1,2,2 ha come varianza 0.25, maggiore.

Per approfondimenti: indici di posiz. e dispers. negli Oggetti Matematici.