Luisa usa la calcolatrice per calcolare sin(α) per un certo valore di α in gradi (compreso tra 0 e 360). Giovanni fa lo stesso calcolo ma, per errore, prende α in radianti. Tuttavia i due ragazzi trovano lo stesso valore. Quanto è ampio l'angolo α?

Indichiamo con x l'angolo in gradi. L'angolo in radianti è x·π/180. Per capire quanto vale, circa, x mi conviene fare una rappresentazione grafica, per vedere dove si intersecano x → sin(x·π/180) e x → sin(x):

      plot y = sin(x) and y = sin(x/180*PI),  0 <= x <= 2*PI
        

Capisco che x è circa 3.1. Il grafico l'ho fatto online mediante il comando sopra indicato con WolframAlpha, ma, come verdremo, potrei far con altro software. Sempre con WolframAlpha posso trovare la soluzione, e rappresentarla con tutti i decimali che voglio:

solve for x  sin(x) = sin(x/180*PI),  3 <= x <= 3.2
x = (180 * π)/(180 + π) = 3.087702085870653647...

Vi sono degli approcci più formali per ottenere anche noi la soluzione esatta, come ottenuto con WolframAlpha. Vediamone uno.

Come illustra la figura a lato, affinché  sin(x/180·π) = sin(x)  occorre che la media di  x/180·π  e  x  sia  π/2, ossia che (x/180·π+x)/2 = π/2 x/180·π+x = π x(π+180) = π·180 x = π·180/(π+180) = 3.08770208587065 (valore arrotondato)

Volendo ottenere rappresentazioni grafiche migliori di quella ottenuta con WolframAlpha potrei usare questo script, sempre online, e poi altri (uno, due) per zommare intorno al punto di intersezione, arrivando ad esempio alla approssimazione 3.088:

Avuta un'idea grafica, potrei trovare la soluzione (3.087702085870654) con un altro semplice script, defininendo opportunamente F:

function F(x) {
with(Math) {
return  sin(x)-sin(PI/180*x)
}}

Ovvero potevo usare R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=4; HF=2.5
graphF(sin, 0,2*pi, "brown")
f = function(x) sin(x/180*pi); graph(f, 0,2*pi, "red")

Capisco che x è 3 e rotti. Faccio successivi zoom ...

La soluzione, arrorondata, è 3.088.

Volendo cerco la soluzione (l'intersezione dei grafici di f e di sin) con un metodo numerico:

x = solution2(sin,f, 2,4)
x; more(x)
#  3.087702  3.08770208587065

Il pallino blu nei grafici precedenti l'ho tracciato con:

POINT(x,f(x), "blue")