Trova tutti gli angoli x per cui sono vere le seguenti eguaglianze:
sin(3x − π/6) = sin(2x)
cos(2x + 30°) = sin(45° + x)
tan(2x − 1°) = tan(x + 3°)
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sin(3x − π/6) = sin(2x)
è l'eguaglianza tra i valori di due funzioni continue che hanno entrambe come immagine
Cerchiamo le soluzioni:
3x − π/6 = 2x + 2nπ OR 3x − π/6 = π − 2x + 2nπ
( direz. e funz. circolari)
(1) 3x − π/6 = 2x + 2nπ ==>
x = π/6 + 2nπ
(2) 3x − π/6 = π − 2x + 2nπ ==>
5x = 7π/6 + 2nπ ==>
x = 7π/30 + 2nπ/5
per n = 0 x = 7π/30
per n = 1 x = 7π/30 + 2π/5
per n = 2 x = 7π/30 + 4π/5
per n = 3 x = 7π/30 + 6π/5
per n = 4 x = 7π/30 + 8π/5
per n = 5 x = 7π/30 + 10π/5 = 7π/30 + 2π ottenibile aggiungendo un periodo alla soluz. per n = 0
ecc.
In defintiva le soluzioni sono: x = π/6, x = 7π/30, x = 7π/30 + 2π/5, x = 7π/30 + 4π/5,
x = 7π/30 + 6π/5, x = 7π/30 + 8π/5
e tutti i valori ottenibili da questi sei aggiungendo multipli di 2π.
Posso controllare (numericamente e graficamente) le soluzioni
con WolframAlpha introducendo
Vedi qui come fare grafici e calcoli con R.
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cos(2x + 30°) = sin(45° + x)
mi conviene trasformarla riscrivendo il secondo termine così: cos(2x + 30°) = cos(45° − x) [ho usato sin(α) = cos(90°−α)] È l'eguaglianza tra i valori di due funzioni continue che hanno entrambe come immagine |
2x + 30° = 45° − x + 2nπ OR 2x + 30° = x − 45° + 2nπ
( direz. e funz. circolari)
(1) 2x + 30° = 45° − x + 2nπ ==>
3x = 15° + 2nπ ==>
x = 5° + 2nπ/3
per n = 0 x = 5°
per n = 1 x = 5° + 2π/3 , o x = 5° + 120° = 125°
per n = 2 x = 5° + 4π/3 , o x = 5° + 240° = 245°
per n = 3 ho una soluz. ottenibile aggiungendo un periodo alla soluz. per n = 0; ecc.
(2) 2x + 30° = x − 45° + 2nπ ==>
x = −75° + 2nπ; prendo ad es. n = 1 ed ho
x = 360° −75° = 285°;
In defintiva le soluzioni sono: x = 5°, x = 125°, x = 245°, x = 285°,
e tutti i valori ottenibili da questi quattro aggiungendo multipli di 360°.
Posso controllare (numericamente e graficamente) le soluzioni
con WolframAlpha introducendo
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tan(2x − 1°) = tan(x + 3°)
è l'eguaglianza tra i valori di due funzioni che hanno entrambe come immagine
2x − 1° = x + 3° + nπ
x = 4° + nπ
Il grafico di x → tan(2x − 1°) - tan(x + 3°) in due scale diverse, mediante gli script online uno e due.
Per altri commenti: funzioni circolari e trigonometria neGli Oggetti Matematici.