Trova tutti gli angoli x per cui sono vere le seguenti eguaglianze:
  2 cos(x)² + 6 sin(x)² = 7 sin(x) − cos(2x)       sin(7x) + sin(5x) + sin(3x) = 0   (per la seconda impiega opportunamente le formule di prostaferesi, secondo le quali: sin(α)+sin(β) = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2))

•  Prima di "fare i calcoli" su  2 cos(x)² + 6 sin(x)² = 7 sin(x) − cos(2x)  può essere utile rappresente graficamente l'equazione (anche per poi controllare le soluzioni trovate). Ecco i grafici di x → 2·cos(x)²+6·sin(x)² e di x → 7·sin(x)−cos(2x), e il grafico di x → 2·cos(x)²+6·sin(x)² − (7·sin(x)−cos(2x)),  realizzati con gli script uno e due

Capiamo che ci sono due soluzioni in [0,2π] (una uguale circa a π/6, l'altra circa a 5/6·π), e altre ottenute aggiungendo o togliendo a queste multipli di 2π. Con degli zoom potremmo trovarle con più precisione.  Ora facciamo i calcoli.

2 cos(x)² + 6 sin(x)² = 7 sin(x) − cos(2x)   posso trasformarla tutta in seno usando le seguenti trasformazioni:
cos(x)² = 1 − sin(x)²
cos(2x) = cos(x)² − sin(x)² = 1 − 2 sin(x)²
diventando  2 − 2 sin(x)² + 6 sin(x)² = 7 sin(x) − 1 + 2 sin(x)²
cioè  2 sin(x)² − 7 sin(x) + 3 = 0

Risolvendo rispetto a z l'equazione  2z² − 7 z + 3 = 0  ho:
sin(x) = 1/2  oppure  sin(x) = 3;  la seconda equazione non ha soluzioni, per cui le soluzioni coincidono con le soluzioni della prima equazione:
x = π/6 + 2nπ  e  x = 5π/6 + 2nπ (valori in accordo con le soluzioni trovare graficamente).

Posso controllare (numericamente e graficamente) le soluzioni con WolframAlpha introducendo  2*cos(x)^2+6*sin(x)^2 = 7*sin(x)-cos(2*x).

•  Prima di "fare i calcoli" su  sin(7x) + sin(5x) + sin(3x) = 0  può essere utile rappresentare graficamente l'equazione (anche per poi controllare le soluzioni trovate). Ecco il grafico di x → sin(7*x) + sin(5*x) + sin(3*x),  realizzato con lo script tre, e un suo zoom con quattro.

Ci siamo fatti un'idea abbastanza chiara delle soluzioni: 0, un valore pari circa a 1/3·π (60°) e (simmetricamente rispetto a π/2 = 90°) uno pari a 2/3·π (120°),  un valore di poco inferiore a 4π/18 = 40° e (simmetricamente rispetto a π/2) uno di poco superiore a 140°,  ed un valore di poco superiore a 7·π/2/9 = 7π/18 = 70° e uno (il simmetrico rispetto a 90°) di poco inferiore a 110°,  e poi altre ottenute aggiungendo o togliendo multipli di π. Facciamo i calcoli. sin(7x) + sin(5x) + sin(3x) = 0. Possiamo osservare che sin(7x) + sin(3x) = 2sin(5x)cos(2x) per cui l'equazione diventa: (2 cos(2x) + 1) sin(5x) = 0  che diventa: 2 cos(2x) + 1 = 0  OR  sin(5x) = 0. La prima equaz. equivale a  cos(2x) = −1/2, ossia a  2x = 120°+n·360° = 2π/3+2nπ  o  2x = 240°+n·360° = 4π/3+2nπ, ossia a  x = 60°+n·180° = π/3 + nπ  o  x = 120°+n·180° = 2π/3+nπ

La seconda equaz. equivale a  5x = 0 + nπ, ossia a  x = nπ/5 (= n·36°); i valori che il grafico interseca l'asse x nella seconda figura sono dunque 36° e 72°.

Avuta un'idea dei grafici, potevo trovare le soluzioni anche con un semplice script, defininendo opportunamente F:

function F(x) {
with(Math) {
return   2*pow(cos(x),2) + 6*pow(sin(x),2) - 7*sin(x) + cos(2*x)
}}

function F(x) {
with(Math) {
return  sin(7*x)+sin(5*x)+sin(3*x)
}}

La prima equazione:

Dividendo per π era facile esprimere le due soluzioni come π/6 e 5/6·π:

2.617993877991494 / 3.141592653589793 = 0.8333333333333333
5 / 6 = 0.833333333333333

Analogamente, per la seconda equazione:

1.0471975511965976 / pi = 0.3333333333333333
1.2566370614359172 / pi = 0.4
1.8849555921538759 / pi = 0.6
2.0943951023931953 / pi = 0.6666666666666666
2.5132741228718345 / pi = 0.8

Grafico (ed esplorazioni numeriche) con R: f <- function(x) 2*sin(x)^2-7*sin(x)+3 plot(f,-1,8,n=1000,col="blue") abline(v=seq(-pi,3*pi,pi/4),h=axTicks(2),lty=3); abline(v=0,h=0,lty=2) x1 <- uniroot(f, c(0, 1), tol = 1e-10)$root; x1 # 0.5235988 x2 <- uniroot(f, c(1, 3), tol = 1e-10)$root; x2 # 2.617994 x3 <- uniroot(f, c(6, 7), tol = 1e-10)$root; x3-x1 # 6.283185 x <- c(x1,x2,x3); points(x,f(x)) x1/pi # 0.1666667 ossia 2/3