A sinistra è raffigurata una torre. Da due punti A e B del terreno, distanti tra loro 64 m, il vertice della torre viene visto da due direzioni inclinate, rispettivamente, di 21° e di 37°. Valuta l'altezza della torre, tenendo conto che i valori precedenti sono tutti arrotondati.

Procedendo graficamente (con carta millimetrata e goniometro, o col computer: vedi sotto) trovo che la torre è alta circa 50 metri. Infatti il lato superiore dell'angolo di 21° non riesco a tracciarlo con precisione. Posso dire che se le misure delle grandezze fornite dal testo del problema fossero esatte, col metodo grafico potrei concludere che PQ misura 50±1 m.

Ma le misure non sono esatte! Tenendo conto che, ad esempio, l'angolo con vertice A ha ampiezza tra 20.5 e 21.5 gradi, capisco (vedi figura seguente) che la variazione è maggiore di quella evidenziata sul grafico e che questo valore ha una precisione di qualche metro. Altre oscillazioni sono dovute al fatto che anche l'angolo in B e la distanza tra A e B sono approssimate. Potremmo dire che è l'altezza è 50±5 m. Per una valutazione più rigorosa devo procedere numericamente, in un modo non banale, come spiegato più avanti, usando il "teorema del seno" e qualche procedimento per valutare le approssimazioni, o usando del software.

Posso usare il teorema del seno (vedi) per trovare a (vedi figura a lato):
a/sin(α) = d/sin(δ)
Mi manca il valore di δ, che posso ottenere come π−(α+γ), dove γ posso ottenerlo come π−β. Ovvero: δ = π−(α+π−β) = β−α. Quindi:
a = d·sin(α)/sin(β−α)
Per trovare h tengo conto che sin(β) = h/a e che quindi:
h = d·sin(α)·sin(β)/sin(β−α)

Facendo i calcoli con questa formula, senza tener conto delle approssimazioni, otterrei 50.08 m; ma una risposta di questo genere sarebbe del tutto sbagliata, e decisamente meno soddisfacente della soluzione precedente trovata per via grafica.

# Prima valutazione (non tenendo conto delle approssimazioni):
gr <- pi/180; A <- 21*gr; B <- 37*gr; d <- 64
d*sin(A)*sin(B)/sin(B-A)
# 50.07651

• Per fare il calcoli in modo rigoroso la cosa più semplice è impiegare una simulazione. Usando, ad esempio, R trovo minimo e massimo dei valori che si ottengono assegnando ad A, B e d valori che cadono nei rispettivi intervalli di indeterminazione. Trovo che per QP posso assumere l'intervallo di indeterminazione tra 46.3 e 54.3, ossia 50.3±4, ovvero, più grossolanamente, prendere 50±4 m:

# Tutto viene fatto con gli algoritmi memorizzati qui (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
# Ecco il calcolo, in questo caso:
F <- function(x,y,z) sin(x)*sin(y)*z / ( sin(y-x) )
A=(21+EPS(0.5))*gradi; B=(37+EPS(0.5))*gradi; C=64+EPS(0.5)
min( F(A,B,C) ); max( F(A,B,C) )
#    46.32293        54.31696
# Riprovando trovo sempre valori quasi eguali

• In alternativa posso usare dei semplici script online.
Con il primo (che procede in modo analogo al precedente, dopo aver impiegato il teorema del seno), definita F nel modo seguente, deduco che posso assumere 50.3±4.

function F(x,y,z) { with(Math) {
u = sin(x*PI/180)*sin(y*PI/180)*z / ( sin(y*PI/180-x*PI/180) )
return u
}}

Ovvero posso procedere in un secondo modo, utlizzando un altro script on line per studiare i triangoli (ottendendo per AQ l'intervallo di indetereminazione [132.21645, 148.23511]) ed una calcolatrice (ad esempio online), ottenendo una valutazione "esatta" dell'intervallo di indeterminazione: [46.30317, 54.32835], che posso arrotondare a [46.30, 54.33] o, volendo, a 50.3±4.