[ Quadro generale Indicazioni specifiche ]
Impostazione culturale
La geometria del piano e dello spazio
Insiemi numerici e calcolo - Relazioni e funzioni
Elementi di probabilità e di statistica
Elementi di logica e di informatica
Impostazione culturale
Gli Oggetti Matematici presenta i vari temi matematici non isolatamente e suddivisi per aree ma attraverso un percorso e una articolazione di "link" che tentano di cogliere le interazioni tra i vari temi e
sfruttarne le reciproche motivazioni, e di realizzare economie e sinergie fondendo o
integrando argomenti matematici diversi (nel fare statistica si usano e manipolano formule, l'uso delle coordinate comporta attività
con le equazioni e offre possibilità per introduzioni
alternative e più efficaci di molti concetti geometrici, l'uso
della nozione di funzione permette di semplificare e raccordare vari
concetti, il riferimento ai mezzi di calcolo offre motivazioni per varie problematiche matematiche e consente di riflettere sui cambiamenti nei modi di "fare metmatica", …). Gli argomenti vengono introdotti dando rilievo sia ai momenti della
matematizzazione e della discussione dei limiti dei modelli
matematici che a quello della analisi e messa a punto di
collegamenti, descrizioni, ragionamenti, … di tipo interno alla
matematica.
La natura della matematica e dei suoi modelli (ruolo
delle definizioni e delle argomentazioni in matematica,
caratteristiche dei modelli matematici rispetto ai modelli
organizzati nelle altre discipline, organizzazione interna della
disciplina, …) sono, infatti, comprensibili solo attraverso la graduale
costruzione di una rete complessa di riferimenti culturali ed
esperienziali.
Si vorrebbe, in particolare:
• |
creare consapevolezza del ruolo e della natura dei modelli matematici, delle interazioni (oggi e nella storia) della matematica con il "resto" |
• | favorire il raggiungimento di un certo livello di abilità nell'applicare, elaborare, confrontare modelli matematici (attività da riferire al modo in cui si fa e si usa la matematica ai nostri giorni: delega ai mezzi di calcolo degli aspetti più meccanici, capacità di orientarsi, di scegliere i modelli matematici appropriati, di consultare manuali, … più che saper far calcoli "meccanici" e ricordare "ricette") |
• | e, più in generale, favorire la percezione dello studio delle discipline come occasione di (e la individuazione nelle attività scolastiche di alcune occasioni di) "propria" crescita e formazione culturale, e concorrere all'educazione a leggere, scrivere, organizzarsi, dubitare, … |
Per un approfondimento di questi aspetti si veda la relazione
in cui sono illustrate le motivazioni epistemologiche e didattiche con cui nel 1992 si è
avviata la attività di progettazione di materiali didattici al cui interno,
intorno al 2000, si è
inserita la realizzazione degli Oggetti Matematici.
Nel seguito sono illustrate con qualche dettaglio "tecnico" le scelte operate nei confronti di alcune delle principali aree della matematica.
La geometria del piano e dello spazio
Essendo, ovviamente, impraticabile una presentazione assiomatica della
geometria, abbiamo deciso di introdurre alcuni concetti geometrici
per via analitica:
riferendosi al piano: • punto come coppia di numeri
reali, • figura come insieme di punti, • traslazione
come particolare funzione numerica a 2 input e 2 output, • distanza
come opportuna funzione numerica a 4 input 1 output, • direzione
come elemento dell'intervallo [0°,360°), …
e, poi, di introdurre altri concetti e affrontare problemi e
dimostrazioni a volte analiticamente, a volte sinteticamente (ad
esempio una semiretta, invece che analiticamente, mediante un
sistema equazione+disequazione, può essere descritta come
l'insieme di punti in cui un punto dato può essere trasformato
mediante traslazioni di direzione fissata).
Questi concetti vengono introdotti man mano come modelli
matematici che astraggono e generalizzano concetti "fisici"
(dalle posizioni su righe e su superfici individuate con strumenti di
misura ai punti come n-uple di numeri, dalle direzioni
scandite da un goniometro alla associazione di un intervallo [a,b) ai
punti del cerchio x²+y²=1, …), dopo lo
svolgimento di riflessioni e attività operative (con strumenti
da disegno e di misura) in situazioni "concrete".
Questa impostazione dovrebbe essere riferita ad un insegnamento geometrico che anche nei
livelli scolastici precedenti sia stato impostato in maniera simile, seguendo le indicazioni dei programmi per l'insegnamento
della matematica in vigore dagli anni 80, e che possono essere esemplificate, per la scuola di base,
da questo vecchio articolo. Le schede di lavoro, comunque,
sono inpostate in modo da rivedere/ricostruire il significato della geometria anche nel caso di alunni a cui sia
stato impartito un insegnamento che non tenesse conto di tali indicazioni.
In questa impostazione, il piano euclideo è introdotto come R² dotato
della distanza euclidea. Rinunciando a una presentazione assiomatica, non si vede come se ne possa dare una
presentazione diversa da questa (ossia come piano
cartesiano introdotto per "modellizzare matematicamente" il concetto
pre-matematico di piano euclideo).
Il cerchio, in quanto è il luogo geometrico più
facile e più "significativo", è un concetto geometrico
introdotto tra i primi e su di esso poggia l'introduzione di vari
altri concetti (direzione, funzioni trigonometriche, …).
Le funzioni trigonometriche (anche la funzione tangente)
vengono introdotte precocemente e non solo per gli angoli convessi, in quanto ciò, oltre ad essere una
scelta secondo noi didatticamente poco efficace, sarebbe
difficilmente conciliabile con l'introduzione delle rotazioni, con i
riferimenti alle applicazioni extra-matematiche, con l'uso dei mezzi
di calcolo, ….
Le direzioni (e le misure di angoli) e le misure di aree e lunghezze sono introdotte
mediante un uso non formalizzato del concetto di limite (non con considerazioni su "classi contigue" o simili), in accordo
con l'impostazione - vedi più avanti - con cui sono stati introdotti i numeri reali.
Le coniche sono introdotte a partire dal cerchio e dai grafici delle
funzioni x → ax² e x → a/x, utilizzando i movimenti piani. Vengono introdotte anche altre trasformazioni geometriche, intrecciando in modo opportuno caratterizzazioni sintetiche e analitiche.
Accanto al piano euclideo, si presentano subito, senza approfondimenti, altri spazi matematici: spazi finiti, spazi con altre metriche, spazi con altre dimensioni, … per mettere meglio a fuoco la natura "astratta" (e le connesse potenzialità
di modellizzazione) dei concetti geometrici. Si mettono gradualmente a fuoco le differenze tra argomentazioni intutive e dimostrazioni,
si evidenziano i conflitti tra terminologia matematica e linguaggio comune (i diversi significati di angolo, direzione, distanza,
curva, ...).
Questi concetti vengono ripresi e
approfonditi nella parte II degli Oggetti Matematici, nell'ottica di una ripresa a "spirale"
degli argomenti, e tenendo conto che per gli stessi argomenti si possono prevedere diversi livelli
di approfondimento: non si tratta di fare degli "anticipi", ma di
utilizzare, in modi opportuni, terminologie e concetti che trovano
naturali intrecci con altri concetti e di
porre le basi per la costruzione di successivi
livelli di formalizzazione. Ci pare fondamentale questo aspetto,
sia per dare una immagine corretta e "viva" della
matematica, sia per non favorire irrigidimenti mentali che identificano
i concetti con particolari definizioni, particolari procedimenti di
calcolo, … e li classificano in aree (la geometria,
l'algebra, l'analisi, la probabilità, …) non comunicanti.
Nella parte II vengono introdotte anche riflessioni più generali su definizioni e dimostrazioni, con cenni anche alla problematica della assiomatizzazione della geometria..
Viene, inotre, introdotta la geometria tridimensionale, intrecciandola anche alla problematica
della rappresentazione piana di solidi e di superfici curve. Devono ancora essere introdotti lo studio dei volumi e gli
intrecci col calcolo integrale.
La presentazione delle tematiche geometriche è
fortemente intrecciata a quella di altri argomenti: funzioni,
equazioni, numeri, uso del calcolatore, …
Insiemi numerici e calcolo - Relazioni e funzioni
Per l'introduzione dei numeri abbiamo scelto un
approccio costruttivista; in breve:
– numeri reali come opportune successioni di caratteri
(cifre, "." e "–"), con una opportuna
relazione di "eguaglianza" (3.7999…=3.8000…,
ecc.),
– definizione algoritmica delle operazioni sui numeri
decimali limitati,
– estensione di queste ai numeri reali mediante i concetti
di approssimazione e, senza formalizzazioni, di limite/funzione
continua (es.: per ottenere il risultato di x·y con una certa
precisione basta operare su intervalli di indeterminazione per x e
per y sufficientemente piccoli).
I numeri naturali, interi, periodici/razionali, decimali
limitati e limitati in altre basi vengono studiati come particolari
sottoinsiemi di R chiusi rispetto ad alcune operazioni.
Non si è ritenuto opportuno né, ovviamente,
introdurre i numeri reali per via assiomatica, né presentare
la costruzione dei vari insiemi numerici a partire da N:
sarebbe dispendioso e difficile introdurre gli strumenti
algebrico-logico-insiemistici per effettuare "correttamente"
la costruzione – anche il solo passaggio agli interi –
e, soprattutto, a questo livello, non se ne vedono
motivazioni "didattiche" (in un corso universitario di algebra la
costruzione di Q a partire da N può essere invece
un'occasione di applicazione di concetti come partizione, immersione,
…) o "culturali" (in un corso universitario sui fondamenti della
matematica può essere invece significativo costruire con
tecniche insiemistiche a partire dall'aritmetica di Peano un modello
per gli assiomi dei numeri reali).
L'introduzione dei numeri viene proposta intrecciata ad
argomenti di statistica, a riflessioni sull'uso dei mezzi
di calcolo, sui codici, …
Tra le prime voci viene introdotto il concetto di
funzione, sotto forma sia di algoritmo che di tabella e di
grafico. Pur in assenza di esplicite definizioni (come: "dicesi
funzione un insieme di coppie (x,y) tale che …") si tratta
di presentazioni sufficientemente rigorose (il concetto di algoritmo
può essere precisato riferendosi a un linguaggio di
programmazione, il grafico e la tabella sono insiemi di coppie –
o di n-uple – di numeri tali che …). Il concetto di
funzione viene meglio formalizzato in voci successive.
Il riferimento a questo concetto, inevitabile in una visione
non "preistorica" della matematica e dei suoi usi, entra in
gioco nella definizione dei termini (espressioni algebriche) e, quindi, delle formule (equazioni e disequazioni).
Abbiamo dato particolare rilievo all'analisi della struttura dei termini (che ci
pare importante per impostare su basi solide l'uso dei linguaggio
algebrico e dei linguaggi formali) e alla messa a punto di un lessico
"algebrico" generale, più vicino alla
terminologia impiegata dalle applicazioni per il calcolo simbolico
che a quella "scolastica".
Le riflessioni, di approfondimento e di sintesi, sulla risoluzione
(grafica, numerica e simbolica) di equazioni, sistemi e
disequazioni e sulle funzioni polinomiali sono volte non tanto alla messa a punto di specifiche
tecniche, quanto alla individuazione di metodi basati sull'uso, più
o meno formalizzato, di alcuni concetti generali (funzione
inversa, funzione iniettiva, continuità, connettivi logici, …
).
Sono previsti riferimenti all'uso del computer, sia
per la rappresentazione e lo studio grafico di funzioni ed equazioni
che per attività di calcolo simbolico, sia con software ad hoc
(accessibile da Gli Oggetti Matematici stessi) che con software commerciale. L'uso del computer (pure in attività di
programmazione) è importante anche per motivare, esercitare e
inquadrare in un contesto più generale l'uso dei formali, di
cui l'usuale linguaggio algebrico è solo un esempio (vedi, più
avanti, i commenti al tema "elementi di logica e informatica").
Sono sin dalle prime voci esaminati vari tipi di funzioni
(e di equazioni), anche se all'inizio ne vengono studiate più a fondo solo alcune (senza questo inquadramento più generale non si potrebbero mettere in luce, per contrasto, le
caratteristiche di queste ultime).
Nello studio funzioni ed equazioni si è
evitato di introdurre tecniche ad hoc per questioni che possono
essere affrontate con metodi più generali e di
sviluppare su casi particolari aspetti che, senza dispendio e con
maggiore significatività, possono essere visti in contesti
più generali.
Si propongono, quindi, risoluzioni per via grafica/numerica anche
di equazioni, disequazioni e sistemi di cui non si studiano ancora
procedimenti risolutivi di tipo simbolico (cioè "algebrico"),
si considerano i radicali quadratici come casi particolari di elevamenti
alla potenza, si studiano procedimenti generali per trasformare termini
in termini equivalenti, comporre e operare con funzioni di vario
genere (non solo nei casi particolari delle funzioni polinomiali,
delle traslazioni, …), si individuano "analogie strutturali"
tra funzioni e tra relazioni diverse, …
Vengono messe
in luce, precocemente, alcune differenze e analogie tra strutture
(numeriche e non) diverse (insiemi numerici, insiemi di funzioni,
connettivi, …)
Elementi di probabilità e di statistica
Sin dalle prime voci viene dato ampio spazio alla
statistica descrittiva, in quanto tema che si presta
all'introduzione e alla revisione in contesti significativi
di molti concetti matematici di base, dai numeri al calcolo
approssimato, dal concetto di funzione alla costruzione e all'uso
delle formule, dalle rappresentazioni grafiche di relazioni numeriche
alla lettura e alla messa a punto di algoritmi.
Gli strumenti di statistica descrittiva servono poi come punti di riferimento per l'introduzione alla
probabilità (concetto di distribuzione, proprietà
della funzione-probabilità, …). Cenni di calcolo combinatorio sono presentati in una prima voce dedicata a questo argomento in quanto utili per affrontare alcuni esempi
significativi di calcolo delle probabilità (ma se ne è data una presentazione indipendente,
per non favorire l'idea che il calcolo combinatorio sia fondamentale o sia una
specie di "capitolo zero" del calcolo delle probabilità).
Il concetto di probabilità è stato presentato mettendone a fuoco le proprietà come "misura", evitando di ricorrere a
"definizioni" non-assiomatiche note come "classica", "frequentista" e
"soggettivista" che tali non sono, ma sono solo approcci alla determinazione di alcuni valori di probabilità (farle passare per
"definizioni matematiche" contribuirebbe a oscurare la
comprensione sia della natura dei modelli matematici che del ruolo
del calcolo delle probabilità; altro conto sarebbe inquadrare storicamente queste "definizioni"
come tentativi definitori tipici di un periodo in cui la matematica
non aveva ancora assunto un proprio status autonomo).
Variabili casuali ed eventi sono introdotti con un approccio non insiemistico.
Elementi di logica e di informatica
La "logica", a un primo livello, non può che essere intesa in senso lato, come educazione
all'attenzione agli aspetti linguistici, all'esposizione
comprensibile delle argomentazioni, … . La riflessione sulle questioni linguistiche è
diffusa in quasi tutte le voci.
Grande rilievo, in molte schede, viene dato alla discussione
delle analogie e delle differenze tra linguaggio formale e
linguaggi artificiali, aspetto centrale anche per l'avvio all'uso dei linguaggi di
programmazione e di altro software.
Alla costruzione e alla rappresentazione di algoritmi
e all'uso del computer per analizzare e
risolvere problemi si ricorre in varie voci, così come accade nel normale lavoro di quasi
tutti i matematici e di chi usa la matematica in altre scienze,
tecniche o mestieri.
In varie voci, specificamente dedicate al calcolatore, viene svolta anche una riflessione sugli automatismi,
sulle differenze tra questi e altre "macchine", sull'importanza di un uso consapevole dei mezzi di calcolo, sul ruolo della matematica (come
"linguaggio" e "strumento" per realizzare sistemi
automatici), …
Per il software presente all'interno degli Oggetti Matematici rinviamo alle indicazioni e agli esempi a cui si può accedere cliccando il "bottone percorsi".