Le quattro operazioni

  Le "quattro operazioni", addizione ("+"), sottrazione ("–"), moltiplicazione ("x" o "·") e divisione (":", "/" o "÷") sono impiegate per modellizzare situazioni di vario genere e possono essere calcolate mentalmente usando diverse strategie. Facciamo qualche esempio.

   Per eseguire una sequenza di addizioni può essere utile riordinarle o scomporre alcuni addendi pensandoli come somma di altri numeri, in modo da facilitare le operazioni da eseguire a mente, come nella figura seguente, in cui i numeri sono interpretati come spostamenti.

  
37 + 15 + 23  →  10 + 30 + 20 + 15  →  75

(1)  «Un viaggio in treno da Verona (148° chilometro) a Vicenza (200° chilometro) quanto è lungo?»
(2)  «Ho 200 €, ne spendo 148. Quanto mi rimane?»
(3)  «Mi hai dato 148 €, ora ne ho 200. Quanto avevo?» 
sono problemi diversi la cui soluzione è esprimibile in modo uguale, come sottrazione:
        200 – 148 = 52.
   Si tratta tuttavia di situazioni di tipo diverso, come è illustrato sotto:

Nonostante ciò le parole "differenza", "sottrazione" e "meno" vengono in genere usate senza riferimenti al tipo di situazione problematica (in particolare viene chiamata differenza il risultato di una sottrazione, in apparente contraddizione con quanto detto sopra).

Spesso è utile staccarsi dalla situazione e ragionare solo sui numeri, per differenza o sottrazione o … a seconda dei loro valori. Nel calcolo mentale, anche senza accorgercene, facciamo così. Ad esempio:

– per fare 1200 – 900 (anche quando si tratti di calcolare quanto rimane se tolgo 900 € da 1200 €) può convenire ragionare per differenza (da 900 a 1200 la variazione è 300),

– per fare 1000 – 120 (anche quando si tratti di calcolare un resto, cioè una distanza, un complemento) può convenire ragionare per sottrazione (se da 1000 tolgo 100 e poi 20 mi rimane 880),

– per calcolare mentalmente il tempo trascorso tra le 8:03 e le 9:27 si può mescolare un ragionamento per differenza (dalle 8 alle 9 passa 1 ora) e uno per sottrazione (tolgo 3 da 27 ottenendo 24 piuttosto che calcolare quanto devo aggiungere a 3 per ottenere 27).

L'interpretazione dei numeri come spostamenti è utile non solo nel caso dell'addizione di numeri positivi, ma anche nel caso di sottrazioni e addizioni che coinvolgono numeri negativi.  Se la temperatura scende da 3° a −2° la variazione è stata di −5°. Analogamente se con un ascensore scendo dal piano 3 al piano −2 sono complessivamente sceso di 5 piani. Viceversa, se dal piano −2 vado al piano 3 sono salito di 5 piani. E se dal piano −4 passo al piano −2 salgo di 2 piani.  Qualche altro esempio astratto: • il valore di – 17 + 15 può essere calcolato sia pensando che lo spostamento – 17 seguito dallo spostamento 15 equivale allo spostamento – 2,      sia pensando all'applicazione dello spostamento 15 a partire da – 17 (figura sotto a sinistra) o a quello di – 17 a partire da 15 (figura sotto a destra):

• il valore di –7 – (– 22) può essere calcolato sia pensando l'operazione come una differenza: quale spostamento mi fa passare da – 22 a – 7?

sia pensandolo come composizione degli spostamenti −7 e −(−22): −(−22) è lo spostamento opposto di −22, ossia è lo spostamento 22; la composizione degli spostamenti −7 e 22 equivale a quella di 22 e −7; questa equivale allo spostamento 22−7, ossia a 15; in breve: −7 − (−22) = −7 + (−(−22)) = −7 + 22 = 22 + (−7) = 22 − 7 = 15.

[ più avanti e  le voci Termini equivalenti e I numeri  per approfondimenti sui numeri negativi]

   Anche la divisione è usata per esprimere la soluzione di situazioni problematiche di tipo diverso, modellizzabili con la moltiplicazione. Ecco due situazioni sostanzialmente diverse la cui soluzione è esprimibile come ? = 200/50:

Nel calcolo mentale di una divisione si utilizza spesso l’equivalenza tra (A) (divisione in senso stretto, cioè per partizione) e (B) (divisone per contenenza, nel senso che si cerca quante volte un numero è contenuto nell'altro). Ad es. per calcolare 600/4 non penso a "quante volte 4 sta in 600" ma ragiono così: «divido 600 in 4 parti» (ad es. divido 600 in 2, ottenendo 300, e poi ancora in 2, ottenendo infine 150). Viceversa per calcolare mentalmente 600/50 non penso a "suddividere 600 in 50 parti eguali" ma a "quante volte 50 sta in 600" (ad es. penso che 50 sta 2 volte in 100 e deduco che sta 2·6 = 12 volte in 600).

Come nel caso della addizione, anche nel caso della moltiplicazione c'è la possibilità di riordinare i numeri coinvolti. Nel caso dell'esempio precedente avevamo che 4·50 = 50·4 = 200.  Per fare un altro esempio:  per calcolare 5·13·2, invece che fare 5·13 = 65 e poi 65·2 = 130, mi conviene trasformare 5·13·2 in 5·2·13 e fare 5·2·13 = 10·13 = 130.  La figura seguente illustra l'equivalenza tra 7·3·5 e 5·3·7.

Pensare ai numeri come spostamenti è utile anche per interpretare le moltiplicazioni con numeri negativi:  se moltiplicare per 2 vuol dire raddoppiare lo spostamento, moltiplicare per –2 vuol dire raddoppiarlo e invertirne la direzione.     A lato sono illustrati alcuni esempi: • 3·2  è lo spostamento 6 (6 a destra), • 3·(-1)  è lo spostamento di 3 a destra invertito, ossia è lo spostamento di 3 a sinistra: –3, • (-3)·(-1)  è lo spostamento -3 (3 a sinistra) invertito, ossia 3 (3 a destra), • (-3)·(-2)  è lo spostamento -3 raddoppiato e invertito: da 3 a sinistra diventa 6 a destra.

In pratica, se in una moltiplicazione sono presenti più fattori che iniziano con "−", questi segni meno a due a due si eliminano in quanto invertire due volte la direzione equivale a lasciarla invariata:  −2·3·(−5)·2·(−3)  equivale a  2·3·5·2·3  preceduto da un solo segno "−" in quanto due dei tre segni "−" presenti si annullano tra loro, ossia equivale a −180.

Questi segni "–" hanno lo stesso aspetto dei segni "–" che indicano sottrazioni o differenze, ma operano su singoli numeri, ribaltandone la posizione rispetto allo 0.  Sulle calcolatrici, comunque, essi sono indicati in modi diversi:  il "cambio segno", la "sottrazione".

Del resto il loro significato è molto diverso. Ad esempio, pensando al contesto economico, se ho 20 € e voglio comprare una cosa che ne costa 30, sono a −10 €, ossia mi mancano 10 €.  Faccio 20 € − 30 € = −10 €  (se ne tolgo 20 arrivo a 0, ne devo poi togliere altri 10),  ma il primo "−" (sottrazione) ha un significato ben diverso dal secondo (cambio segno).

Nota.  Scrivere  −3 + − 1 + 3 · − 5 − − 4  non è né sbagliato né ambiguo:  non può essere interpretato altro che come equivalente a  −3 + (− 1) + 3 · (−5) − (− 4)  in quanto dal contesto si riesce sempre a distinguere quando "−" indica la negazione da quando indica la sottrazione; tuttavia l'introduzione delle parentesi può rendere più facile la lettura del termine.  Invece  3 − + 5  è un'espressione che non ha senso.

Storia.  Il ricorso ai numeri negativi è molto antico, e si è inizialmente legato al calcolo economico, per distinguere i debiti dai crediti.  Ve ne sono tracce in testi babilonesi del 2000 a.C..  In testi successivi (2 o 3 secoli a.C.) vi sono tracce del loro impiego da parte dei babilonesi anche per indicare tempi e misure astronomiche e tracce di regole per svolgere calcoli che coinvolgono numeri negativi.  Risalgono allo stesso periodo testimonianze di usi analoghi presso i cinesi e gli indiani.  Inizialmente i numeri negativi non erano indicati facendo precedere i numeri naturali dal segno "−".  In Europa solo nel medioevo, verso il 1200, venne importato (da Fibonacci) dall'Africa Settentrionale l'uso dei numeri negativi.  Il primo trattamento sistematico delle equazioni che coinvolgono numeri negativi è dovuto a Bompelli, verso il 1550, che introdusse per il segno di "negazione" un'abbreviazione di "minus"; qualche decennio dopo al posto di questo segno si diffuse l'uso dello stesso simbolo impiegato per la "sottrazione" (si trovano comunque tracce di questo impiego già prima del 1500).  Nei paesi anglosassoni, nella scuola di base, in genere (come nelle calcolatrici) vengono usati due simboli diversi per indicare la sottrazione e la negazione: al posto di −2−3+1 si scrive ¯2−3+1.

   Alcune persone (circa il 2% della popolazione), di intelligenza del tutto normale, hanno problemi di memorizzazione e di calcolo numerico che vanno sotto il nome di discalculia. In situazioni di questo genere si puņ ricorrere al computer per fare i calcoli.  Si possono impiegare le usuali calcolatrici o calcolatrici presenti nel software, come quelle a cui si puņ accedere da qui; si puņ ricorrere al "traduttore" di Google (vedi) in cui si possono scrivere numeri e operazioni (come:  7.5   1500   12%   5000000   3/4) e ascoltare la loro lettura; si puņ anche usare WolframAlpha (vedi qui, clicca poi su Elementary Mathematics, Arithmetic).

   Un'ultima osservazione. Spesso il risultato di una addizione viene chiamato somma, quello di una sottrazione differenza, quello di una moltiplicazione prodotto, quello di una divisione quoziente o rapporto.

Esercizi:

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