Calcolo approssimato
Spesso
di un numero reale X non conosciamo tutte le cifre, ma solo
un'approssimazione per difetto e un'approssimazione per eccesso. Ciò
può accedere, ad esempio, se X è la misura di
una grandezza fisica ottenuta attraverso la lettura di uno strumento
di misurazione
o se X è stato precedentemente sottoposto a un arrotondamento
e noi non conosciamo il valore originale.
L'intervallo che ha per estremi
l'approssimazione per difetto e l'approssimazione per eccesso viene
detto intervallo di indeterminazione di X e l'ampiezza
di questo intervallo viene chiamata indeterminazione
(o incertezza) di X: quanto più piccola è
l'indeterminazione tanto meno indeterminata (cioè tanto più
precisa) è la nostra conoscenza di X.
Nel caso di valori esatti, ad esempio se so che x=3.2 esattamente (cioè che x=3.2000 ), posso dire che l'indeterminazione è 0. Infatti l'intervallo che contiene solo 3.2 è l'intervallo [3.2, 3.2], che ha ampiezza 0.
Come faccio a eseguire operazioni tra
numeri che conosco solo in modo approssimato?
I procedimenti che si impiegano per
affrontare queste situazioni vengono chiamati "metodi di calcolo
approssimato" (a volte, nelle scienze sperimentali, si parla invece di "studio della
propagazione degli errori"). Abbiamo già visto qualche esempio di
calcolo approssimato nel caso particolare dei calcoli mentali:
arrotondati a 1 o 2 cifre i dati iniziali, si eseguono i calcoli su
queste approssimazioni e si prende il risultato arrotondato a 1
cifra: 768·426 ≈ 800·400 = 320000 ≈ 300 000.
Abbiamo introdotto qualche considerazione più generale discutendo come definire le operazioni tra numeri reali.
Affrontiamo la questione in modo più
sistematico.
0 ≤ x1 ≤ x ≤ x2 e => x1·y1 ≤ x·y ≤ x2·y2 0 ≤ y1 ≤ y ≤ y2 Es.: Ho a disposizione i seguenti dati: la popolazione P della città X è di 89 mila abitanti e il 37.2% di essa ha più di 50 anni. Qual è il numero A degli abitanti con più di 50 anni? |
|
Si
tratta di dati arrotondati, cioè: P ∈ [88.5 mila, 89.5 mila], percentuale ∈ [37.15, 37.25]. Quindi: A = P·percentuale ∈ [88.5 mila · 37.15%, 89.5 mila · 37.25%] = = [32.87775 mila, 33.33875 mila] | |
Posso dire che A è tra 32 mila 800 e 33 mila 400. Poiché si tratta di un intervallo contenuto nell'intervallo che corrisponde all'arrotondamento a 33 mila (vedi figura a lato), per essere più sintetici, pur perdendo qualche informazione, posso arrotondare A con 33 mila. |
Mentre nel caso delle addizioni
e in quello delle moltiplicazioni (tra numeri positivi)
l'approssimazione per difetto [per eccesso] del risultato è la
somma o il prodotto delle approssimazioni per difetto [per eccesso]
dei dati di partenza, nel caso delle sottrazioni e
delle divisioni occorre operare "incrociando"
approssimazioni per difetto e per eccesso dei due dati di partenza.
Ciò accade perché sottrarre
equivale ad addizionare l'opposto [ trasformare differenza somma] e dividere equivale a
moltiplicare per il reciproco [ trasformare rapporto prodotto],
e il passaggio all'opposto e al reciproco invertono la relazione
d'ordine tra i numeri:
x1 ≤ x ≤ x2 => - x2 ≤ -x ≤ -x1 Es.: Se
A = 1.5±2, cioè A ∈ [1.3, 1.7],
posso concludere che |
Es.: La
temperatura in °C nella località W in un certo giorno
ha avuto come valore minimo m=12 e come valore massimo
M=24. Sapendo
che queste misure hanno la precisione di 1°, come possiamo
approssimare l'escursione termica, cioè Mm?
Dobbiamo calcolare Mm, cioè M+(m).
23≤M≤25 23≤M≤25 e => e => 10 = 23 + -13 ≤ M + -m ≤ 25 + -11 = 14 11≤m≤13 -13≤-m≤-11
Concludendo: 10° ≤ escursione ≤ 14°, ovvero: escursione = 12°±2°.
1 1 1 0 < x ≤ x ≤ x => ≤ ≤ 1 2 x x x 2 1 In altre parole, dividere per un numero più grosso dà luogo a un risultato più piccolo. |
al crescere di x il valore di 1/x diminuisce |
Es.: So
che vale la relazione B=kA, dove k=1.9 (valore
arrotondato). Voglio trasformare la relazione nella forma A=hB.
Come posso approssimare h?
1 1 1 1 B=kA <=> A=B 1.85≤k≤1.95 => 0.512 = ≤ h= ≤ = 0.540 k 1.95 k 1.85
Es.: In una
pubblicazione dell'ISTAT si trova che il Lussemburgo, nel 1990, aveva
popolazione P di 381 mila abitanti, densità D di 147 ab./km2
e superficie S di 3 mila km2.
Per trovare con più precisione la superficie possiamo usare gli altri due dati,
e ricorrere alle strategie messe a punto per
× e
1/x:
P P 1 D = - => S = - = P · - S D D 380500 ≤ P ≤ 381500 380500 ≤ P ≤ 381500 => 1 1 1 => 146.5 ≤ D ≤ 147.5 ≤ ≤ 147.5 D 146.5 380500 1 381500 => 2579.6 = ≤ P · ≤ = 2604.0 147.5 D 146.5
Concludendo: 2579.6 km2 ≤ superficie ≤ 2604.0 km2. In generale:
0 ≤ x1 ≤ x ≤ x2 e => x1/y2 ≤ x/y ≤ x2/y1 0 < y1 ≤ y ≤ y2
Nel caso di queste funzioni e, più in generale, della funzione a a
0 ≤ x1 ≤ x ≤ x2 => x1 ≤ x ≤ x2 | al crescere di x l'output cresce |
Es.: ho
la consegna di tagliare da un pezzo di metallo un cubetto dal
volume di 10 cm3;
è tollerato un errore del 2%, cioè il volume del
cubetto che ottengo può variare in valore assoluto al più
del 2% da 10 cm3;
con che precisione devo realizzare gli spigoli del cubo?
10 cm3
= 10000 mm3;
2% 10000=200;
siano V il volume in mm3
e L lo spigolo in mm; ho V=L3
e L=V1/3;
9800 = 10000200 ≤ V ≤
10000+200 = 10200 =>
quindi
devo regolare la macchina con cui tagliare il metallo in modo da
essere sicuro che L sia compreso tra questi due valori.
Nota.
Se opero sia con dati approssimati che con dati esatti, i
procedimenti visti sopra si semplificano.
Ad
esempio se so che un oggetto ha peso P = 87±1 g, cioè
86g ≤ P ≤ 88g, posso concludere che 6 oggetti uguali ad esso
hanno peso complessivo Q = 6P con
Non è
altro che un caso particolare di:
(0 ≤ x1 ≤ x ≤ x2
e 0 ≤ y1 ≤ y ≤ y2)
=>
x1·y1 ≤ x·y ≤ x2·y2
con y1 = y2 = 6.
Spesso, quando si ha a che fare con dati
arrotondati, si usano dei procedimenti più
pratici, ma meno rigorosi, usati più
volte anche da noi, in altre voci.
Illustriamoli con alcuni esempi.
Tre
parti percentuali di un totale, arrotondate, sono: 41.3%, 5.28% e
12.1%. Quanto vale la parte percentuale complessiva?
41.3 + 5.28 + 12.1 = 58.68, ma non posso dire
che la percentuale complessiva è 58.68%: mentre la seconda
percentuale era arrotondata ai centesimi, la prima e la terza erano
arrotondate ai decimi; non posso quindi ottenere un valore preciso
fino ai centesimi.
Quindi arrotondo il risultato con la
precisione peggiore fra quelle degli addendi, cioè,
in questo caso, ai decimi: 58.68 → 58.7%.
Non posso, però, a rigore, dire che
58.7 è un arrotondamento a 3 cifre significative del
risultato, in quanto questo non sta esattamente tra 58.65% e 58.75%.
Con il procedimento rigoroso avremmo
infatti trovato l'intervallo di indeterminazione:
[41.25+5.275+12.05, 41.35+5.285+12.15] =
[58.575, 58.785]
Devo eseguire il calcolo tra valori arrotondati: 13.7·0.096/2.45.
Con la CT ottengo: 0.53681633. Ovviamente non ho 8 cifre
significative.
Allora arrotondo il risultato al numero
di cifre pari al più piccolo tra i numeri di cifre
significative dei vari termini che ho moltiplicato o diviso.
L'area
di un quadrato arrotondata a 3 cifre è 3680cm2.
Voglio trovare la misura del lato. Facendo la radice quadrata con la
CT ottengo: 60.663004, ma non posso dire che questa è la
misura del lato in cm.
Allora arrotondo il risultato a tante
cifre quante erano le cifre significative del valore di partenza.
Nel nostro caso il valore iniziale aveva 3 cifre significative,
quindi: 60.663004 → 60.7.
Non posso, però, a rigore, dire che
60.7 è un arrotondamento a 3 cifre significative del
risultato, in quanto questo non sta esattamente tra 60.65 e 60.75.
Infatti con il procedimento rigoroso
avremmo trovato l'intervallo di indeterminazione:
[√3675, √3685 ] = [60.6217
, 60.7042
]
Nota 1. Prima di eseguire
calcoli approssimati, conviene verificare se è possibile
eseguire trasformazioni algebriche che
semplifichino i calcoli:
per calcolare 2.666
·0.111
/4 invece di operare usando approssimazioni
di 2.666
e 0.111
si può osservare che il primo termine è uguale
a 2 e 2/3, ossia 8/3, e che il secondo è uguale a 1/9, e trasformare
2.666
·0.111
in 8·1/(3·9) = 8/27, e fare 8/27/4 → 2/27
(→ 0.074074074
).
Può essere utile (per economizzare spazio, ricordare più
facilmente i valori, posticipare il problema di come approssimare,
) conservare il più
a lungo possibile rappresentazioni esatte dei risultati:
cacolando direttamente √15 / 2 / √5 ottengo 0.8660254, trasformandolo in
Se si deve calcolare il valore approssimato di un termine che
contiene più di due numeri conviene calcolare i valori intermedi senza
arrotondamenti e arrotondare solo il risultato finale, per evitare di accumulare troppi
errori di arrotondamento:
se si vogliono esprimere delle parti di un totale pari a 280 in 360-esimi per poterle
rappresentare su un diagramma a settori circolari possiamo moltiplicare ogni dato per il
fattore di proporzionalità k=360/280 (che posso calcolare una volta per tutte e
memorizzare nella CT). Se un dato è 192 gli viene associato il settore ampio
192·k° = 246.86
°, che posso arrotondare a 247°; se invece avessi
prima arrotondato k = 360/280 = 1.285
a 1.29 e avessi moltiplicato i dati per questo
valore avrei ottenuto nel caso del nostro dato 192·1.29 = 247.68
ottenendo
l'arrotondamento 248°.
Se si deve calcolare il valore di un termine che contiene
più numeri noti solo in modo approssimato si possono comporre i procedimenti (o le
"regole pratiche") relativi alle varie operazioni che intervengono in esso.
Qui vedi come puoi effettuare questi calcoli con R.
In particolare è illustrato il calcolo del volume di un parallelepipedo
aventi dimensioni troncate ai millimetri 3.1, 4.6 e 5.4; si ottiene che il volume
(in cm3) cade in [77.004, 82.27], intervallo ampio 5.716; possiamo
prendere: volume = 80±3 cm3.
Nota 2. Il simbolo di
eguaglianza "=", oltre che per indicare
equazioni in senso stretto (e assegnazioni o sostituzioni),
viene usato anche per indicare equazioni che sono vere solo
in senso approssimato.
Ad esempio scrivendo 20/3=6.67 intendiamo
dire che 20/3 ha come valore arrotondato 6.67, non che vale
esattamente 6.67, cioè che 20/3 = 6.67000
.
In questi casi al posto di "="
si può usare "≈" o
Si usano anche notazioni come: x=3.2±0.1.
Ciò non significa "x=3.2+0.1 o x=3.20.1":
come abbiamo visto, si tratta di un'abbreviazione per:
3.20.1≤x≤3.2+0.1.
Notiamo, ancora, che se per la misura di
due grandezze dispongo delle seguenti approssimazioni: x=3.2±0.1
e y=3.3±0.1, non posso concludere che le grandezze sono
diverse. Potrebbero essere uguali in quanto gli intervalli
[3.20.1,3.2+0.1] = [3.1,3.3] e [3.30.1,3.3+0.1] =
[3.2,3.4] non sono separati ma hanno l'intervallo [3.2,3.3] in
comune.
Per fare un altro esempio, se vogliamo verificare
"sperimentalmente" il teorema di Pitagora, misurati a, b e c, non possiamo trovare che esattamente a2+b2=c2, ma dobbiamo accontentarci che gli esiti delle misurazioni non contraddicano il teorema, nel senso che gli intervalli di indeterminazione di a2+b2 e di c2 abbiano un intervallo in comune.
Nota 3. Per aumentare la precisone degli strumenti misuratori di lunghezze spesso si usa il nonio. Vedi .
Nota 4. Come si è visto, per calcolare quanto vale F(h) se conosco h in modo approssimato, ad esempio se so che h1 ≤ h ≤ h2, e se so che F cresce in tale intervallo, posso approssimare F(h) con [F(h1), F(h2)]; se so che F decresce posso approssimare F(h) con [F(h2), F(h1)]. Invece, per calcolare in modo approssimato F(h) quando h varia un un intervallo in cui F non è crescente o decrescente, devo tener conto dell'andamento della funzione. Vedi il seguente esercizio 3.4.
Nota 5. A volte viene usato il termine tolleranza per indicare la precisione con cui è stata effettuata una certa operazione fisica (ad es. un taglio effettuato o il peso di un oggetto).
Nota 6. Quando il termine è complesso e compaiono diverse variabili può essere comodo ricorrere al generatore di numeri casuali: vedi qui, in fondo.