Rappresentazioni cartografiche

Abbiamo già osservato [ proporzionalità] che le rappresentazioni cartografiche non riproducono in proporzione le distanze reali, e questa "sproporzione" diventa più evidente man mano che cresce la porzione di superficie terrestre che si vuole rappresentare: per spiaccicare sul piano un pezzo di superficie sferica alcune zone devono essere dilatate più di altre; se il pezzo è più piccolo è anche più piatto e tutte le zone vengono deformate poco, senza grandi differenze.
Che significato ha, allora, la scala di riduzione indicata sulle cartine?
Quella indicata di solito è la scala che vale nei pressi del centro della cartina. A volte su cartine di grandi estensioni si trovano indicazioni come «scala equatoriale 1:…» o «scala sul meridiano centrale e sull'equatore 1:…» o «scala sul parallelo centrale e sui meridiani 1:…» o …, che stanno a segnalare che la scala è valida esattamente solo per distanze lungo l'equatore o per distanze lungo l'equatore e lungo il meridiano centrale o …. Tuttavia nel caso di piccole estensioni (la carta di una provincia, per esempio) la scala varia così poco da non essere apprezzabile con gli usuali strumenti di misura: le distanze alla periferia della cartina possono essere deformate di piccole frazioni di millimetro, non rilevabili con la riga millimetrata e, comunque, scarsamente influenti sul computo della distanza reale.

Nota. Vi sono superfici curve che, a differenza di quelle sferiche, possono essere "spiaccicate" su una superficie piatta senza alcuna fatica: le superfici cilindriche e quelle coniche. "Tagliandole" opportunamente possono essere sviluppate su un piano; viceversa, incurvando e incollando opportunamente un foglio si possono ottenere cilindri e coni.

Si tratta di superfici che possono avere una perfetta riproduzione piana in scala: la distanze tra due punti su un cilindro o su un cono sono uguali alle lunghezze dei segmenti che li hanno per estremi nello sviluppo piano. Infatti rotte rettilinee su un cilindro o su un cono rimangono tali nello sviluppo piano. In particolare posso determinarne facilmente anche l'area. Ad es. la superficie laterale del cono è pari a quella del settore circolare che ha raggio pari all'apotema a del cono (distanza tra vertice e bordo di base) e arco lungo quanto la circonferenza di base c del cono, ossia ha area pari a quella di un triangolo di base c e altezza a, ossia: c·a²/2.

Le rappresentazioni cartografiche sono trasformazioni geometriche da una superficie sferica a una piana. Una semplice rappresentazione cartografica è quella illustrata a lato (clicca sull'Italia per una immagine ingrandita), realizzata rappresentando le coordinate geografiche come se fossero coordinate cartesiane (ossia rappresentando meridiani e paralleli con dei tratti rettilinei aventi distanze tra loro proporzionali alle differenze delle coordinate geografiche); qui hai l'analoga rappresentazione della Terra. A destra dell'Italia è riprodotto anche l'aspetto che assume con questa tecnica di rappresentazione una particolare porzione della superficie terrestre di cui sotto vediamo le sembianze assunte usando altre due tecniche cartografiche.

(1) proiezione perpendicolare su cilindro circoscritto

(2) proiezione dal centro su piano tangente

Queste tecniche, ed altre, usano delle proiezioni dalla superficie sferica su un piano, come nel caso (2), o su una superficie sviluppabile su un piano, ossia cilindrica, come nel caso (1), o conica.

Soffermiamoci sulla rappresentazione (1). Sotto (1B) si vede dall'alto la proiezione sul cilindro e lo sviluppo piano di questo. Si vede anche (1C) la forma che assumono alcune regioni terrestri.

Questa rappresentazione è usata spesso in quanto ha la caratteristica di rappresentare fedelmente le aree: il rapporto tra l'area della rappresentazione dell'Africa e quella della rappresentazione del Sud America è uguale al rapporto che effettivamente sussiste tra l'area dei due continenti. Per capire come ciò sia possibile si osservino le illustrazioni seguenti.
In 1D sono rappresentati un pezzetto di superficie terrestre compreso tra due meridiani e due paralleli molto vicini e la sua proiezione sul cilindro. La larghezza AB del pezzetto nella proiezione assume una dimensione DE maggiore, come si vede bene nella vista dall'alto 1F. In compenso l'altezza AC del pezzetto nella proiezione assume una dimensione DF minore, come si vede bene nella vista frontale 1E. Questa compensazione fa sì che pezzetto e sua proiezione abbiano la stessa area. Una spiegazione più dettagliata è presente nella successiva nota.
Da questa osservazione possiamo anche dedurre qual è l'area di una superficie sferica. Sommando tutti i pezzetti e tutte le rispettive proiezioni, abbiamo che la superficie della sfera è uguale alla superficie laterale del cilindro (di altezza uguale al diametro) che la circoscrive. Quest'ultima è uguale all'area del rettangolo che si ottiene sviluppando il cilindro, rettangolo che ha come dimensione orizzontale la circonferenza avente per raggio il raggio r della sfera (2πr) e per dimensione verticale il diametro (2r), ossia vale 4πr².

Nota. Spieghiamo meglio la "compensazione" di cui sopra. Se il pezzetto è molto piccolo possiamo approssimarlo con un rettangolino avente AB come larghezza (se il pezzetto fosse grosso il lato opposto ad AB sarebbe molto più corto di AB). Possiamo anche supporre che il lato AC sia rettilineo (se il pezzetto è piccolo la curvatura è trascurabile) e perpendicolare al raggio OA (come se fosse diretto come AK: vedi figura 1E). A questo punto confrontiamo quanto, con la proiezione, è stato ingrandito AB passando a DE con quanto è stato rimpicciolito AC passando a DF, ovvero ad AH.
Dalla figura 1F si ha che il rapporto tra DE ed AB è uguale al rapporto che c'è tra PD (ossia r) e PA: DE/AB = r/PA. Dalla figura 1E si ha che i triangoli APO e AHC sono triangoli rettangoli simili (hanno gli angoli in A uguali in quanto l'angolo PAC fa 90° sia sommato con OAP che sommato con HAC); quindi AC/AH = OA/PA, ossia AC/DF =r/PA.
Quindi AC/DF = DE/AB, ovvero: (area del pezzetto =) AC·AB = DE·DF (= area della sua proiezione).

Consideriamo ora la rappresentazione (2), che ha la caratteristica di rappresentare le rotte rettilinee con rette: infatti una rotta rettilinea è un arco di cerchio che viene tagliato sulla sfera da un piano che passa per il centro ( triangoli), lo stesso piano che, intersecato con il piano su cui avviene la proiezione, dà luogo alla retta che rappresenta la rotta.
Come mettono in luce le figure sottostanti, questa tecnica dilata sempre più le distanze man mano che ci si allontana dal punto in cui il piano tocca la sfera, ma ha il vantaggio di consentire di tracciare facilmente rotte di navi o aeroplani. La figura 2C mette bene in luce il fatto che i paralleli diversi dall'equatore non corrispondono a rotte rettilinee.

La rappresentazione (3) sotto illustrata è una proiezione centrale come la (2), ma il centro di proiezione non è il centro della sfera ma è il punto diametralmente opposto al punto in cui il piano tocca la sfera: vedi figura 3A. Questa rappresentazione, come si intuisce dalla figura 3B, ha la caratteristica di conservare gli angoli formati da rotte che si intersecano.
Si tratta di una rappresentazione molto utilizzata perché localmente riproduce abbastanza fedelmente l'andamento di confini, tratti di costa, fiumi, …. Abbiamo detto "localmente" nel senso che questa "fedeltà" è buona se ci si sofferma di volta in volta su estensioni non troppo ampie: è facile confrontare una strada o un fiume che si sta percorrendo con la sua rappresentazione su una carta così realizzata; ma l'aspetto "globale" della strada o del fiume può apparire piuttosto deformato, anche se non come in una rappresentazione del tipo (2).

(3) proiezione su piano tangente da punto della sfera diametralmente opposto

Le figure seguenti illustrano due tra altri tipi di rappresentazioni cartografiche mediante proiezioni. Si noti che la (5) non presenta l'associazione tra rotte rettilinee nella realtà e nella carta che ha la rappresentazione (2); l'associazione vale per le rotte raffigurate nella figura sottostante (che, con un cilindro disposto così, coincidono con paralleli e meridiani) ma non in generale: se mi muovo (non procedendo verticalmente od orizzontalmente) lungo il cilindro senza svoltare, genero una spirale, non ritorno nel punto di partenza, e questa rotta non può essere ottenuta sezionando il cilindro con un piano che passa per il centro della sfera.

(4) proiezione perpendicolare su piano tangente

(5) proiezione dal centro su cilindro circoscritto

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