Si può dimostrare che se una funzione f è continua in un intervallo I allora
•  l'immagine f(I) è un intervallo

e se I è un intervallo [a,b], chiuso e limitato, allora
•  l'immagine f(I) è un intervallo chiuso e limitato.

La figura a fianco illustra diverse situazioni del primo caso:  una funzione definita su un intervallo (a, b) aperto e che ha come immagine un intervallo (k, h) anch'esso aperto;  se si estende il dominio ad (a, c) l'immagine diventa l'intervallo [0, k), aperto da un lato e chiuso dall'altro;  se come dominio si prende (b, d) l'immagine diventa l'intervallo chiuso [0, j].     Nel secondo caso, in cui il dominio è sempre chiuso e limiato, abbiamo invece che l'immagine è anch'essa sempre un intervallo chiuso e limitato:  se pensiamo l'intervallo [a, b] con gli estremi appartenenti al dominio della funzione otteniamo che l'immagine è l'intervallo chiuso e limitato [k, h];  e, ovviamente, anche se prendo [a, c] ho che l'immagine, [0, h], è un intervallo chiuso e limitato.

    Entrambi i teoremi, noti anche, rispettivamente, come "del valore intermedio" (in quanto assicura che se y e z stanno nell'immagine di f vi deve stare anche ogni valore tra essi compreso) e come "di Bolzano-Weierstrass" (dai matematici che indipendentemente, uno un po' prima l'altro un po' dopo il 1850, lo dimostrarono), sono abbastanza intuitivi.

Dimostrazione del teorema del valore intermedio
Siano y e z in f(I), ossia esistano a e b in I tali che f(a)=y e f(b)=z.
Sia y < t < z. Devo dimostrare che t sta in f(I), ovvero che esiste c in I tale che t = f(c).
Se traduco in linguaggio grafico questo enunciato, devo dimostrare che il grafico di f interseca la retta y = t.
A questo punto mi rendo conto che quanto voglio dimostrare equivale ad una delle condizioni che (nel nostro approccio) abbiamo dato per la condizione di continuità di f (). Il teorema è dunque dimostrato.
La dimostrazione di questo teorema, nel nostro approccio, è dunque particolarmente facile.

Dimostrazione del teorema di Bolzano-Weierstrass
Dobbiamo, ancora, solo far vedere che f(I) è chiuso e limitato (infatti che è un intervallo segue dal teorema precedente).
Ma se così non fosse sarebbe impossibile verificare la condizione che gli output si possono infittire a piacere infittendo opportunamente gli input (). Il teorema è dunque dimostrato.
Anche la dimostrazione di questo teorema, nel nostro approccio, è dunque particolarmente semplice.