Continuità

  Tracciando il grafico di  F: x → (20–2x)²x  per punti (con un programma per tracciare grafici che consenta di inserire opzioni per il non-collegamanto dei punti - il programma R, un foglio di calcolo, …), aumentando man mano il numero dei punti tracciati (cioè infittendo le x tabulate), arrivo a ottenere una figura formata da una sequenza di pixel attaccati, senza spazi bianchi in mezzo. In particolare trovo sicuramente un pixel in comune con il grafico di x → 300, e con quello di ogni altra funzione x → k con k compreso tra due qualunque output di F.

Se una funzione in un intervallo [a,b] è definita e all'infittire degli input in tale intervallo fornisce output man mano più fitti, come x → (20–2x)2x in [0,10], si dice che tale funzione è continua in [a,b].     Si può dimostrare che questa condizione comporta che, presi comunque x1 e x2 in [a,b] e un valore k compreso tra F(x1) e F(x2), il grafico di F interseca la retta y=k almeno in un punto  (questa proprietà è nota come teorema di Bolzano, dal nome del matematico, filosofo ed altro, boemo, nato nel 1781 e morto nel 1848, che l'ha provata).     Intuitivamente possiamo esprimere la continuità di F dicendo che il grafico di F nell'intervallo [a,b] è una curva priva di "buchi".

Le idee ora sviluppate sono già state usate in voci precedenti:  in funzione(1) abbiamo visto come infittendo gli input di x x2 si può trovare con la precisione che si vuole il numero positivo x tale che x2= 5 (in pratica abbiamo trovato l'ascissa di uno dei due punti in cui il grafico della funzione interseca la retta y = 5);  le abbiamo utilizzate anche in risoluz.equazioni(1) per trovare dove un certo grafico interseca l'asse x.

La funzione f rappresentata graficamente all'inizio della voce  funzione (1) (tariffario) non è continua in [0, 3000], così come il "troncamento agli interi" (FIX in Qbasic) non è continuo, ad es., nell'intervallo [–3, 4]:  animazione con il tracciamento di questa funzione e quello di una funzione continua (e riflessioni critiche sul tracciamento di grafici col computer).    Non sono continue le funzioni che rappresentano segnali digitali:

Vi sono funzioni, come x → xx, rappresentata graficamente a fianco - vedi  funzione (1) - che sono continue solo in una parte del loro dominio. Questa, nonostante le apparenze, è continua solo in [0,∞). A sinistra di x=0 la funzione è definita solo sui numeri razionali e ha comportamenti diversi su certi numeri razionali e su altri (sembra avere per grafico due rami di curva mentre in realtà sono insiemi di punti fittissimi). Ne approfondirai lo studio nell'esercizio 7.20 sulle funzioni.

  Tutte le funzioni del tipo x → f(x) con f(x) termine costruito (a partire da x e da costanti) solo mediante applicazioni delle "quattro operazioni" o dell'elevamento a potenza e della radice quadrata (o, anche, delle funzioni seno, coseno, tangente) sono continue in ogni intervallo [a,b] in cui siano definite. In particolare le funzioni polinomiali sono continue in tutto R, cioè in ogni intervallo [a,b].
    Ciò segue da come abbiamo definito le operazioni tra numeri reali ( e ). Ad es. il valore di x·x è quel numero a cui mi avvicino sempre più man mano che calcolo x·x con x approssimazione di x man mano migliore; da ciò si può dedurre che all'infittire dei valori di x si infittiscono i valori di x·x, e quindi che x → x·x è una funzione continua. La seguente   animazione evidenzia il collegamento col concetto di continuità del procediemento per il calcolo di 2^x con x numero reale.

  È evidente dalle considerazioni svolte all'inizio di questa voce (F(x)=300 ha soluzioni poiché F è continua e ha output maggiori e minori di 300) che il concetto di continutà è importante nello studio della  risoluzione delle equazioni e in varie questioni di geometria.

Osservando i grafici delle due equazioni, possiamo concludere che il sistema a lato ha 4 soluzioni. Ma, ad essere rigorosi, il solo fatto che dalle rappresentazioni grafiche si veda che una curva "scavalca" l'altra non ci assicura che effettivamente tale curve abbiano ivi un punto in comune.  Tuttavia la parabola e il cerchio sono curve "continue", senza "buchi": la prima è il grafico di una funzione continua, mentre la seconda è l'unione dei grafici delle due funzioni continue: x → √(10 – x2)  e  x → – √(10 – x2).

{ x2 + y2 = 100 y = x2 – 12

Esercizi:

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