Etratto da Educazione logica ed educazione matematica nella scuola elementare []

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4.3.   In questo e nei prossimi paragrafi ci occuperemo di alcuni aspetti che in un certo senso collegano la matematica agli usi più generali della parola "logica", discussi nei paragrafi 1.1 e 1.2. Più precisamente ci riferiremo ad alcuni linguaggi, alcuni concetti matematici spesso impiegati per esplicitare o studiare relazioni di consequenzialità, di interazione, di dipendenza,… , cioè, esprimendosi in modo impreciso, relazioni "qualitative".(18)

Consideriamo dapprima le tabelle e gli istogrammi ("a crocette"). Queste rappresentazioni permettono di realizzare facilmente attività di classificazione nei più svariati contesti.

Il primo strumento consente di visualizzare, ad esempio nel contesto di un'indagine statistica, quali tra certe proprietà sono verificate dagli elementi di un certo "campione" e consente poi di individuare facilmente quali elementi verificano tutte le proprietà, quali nessuna, quali verificano una certa coppia o terna… di proprietà, quali verificano almeno una proprietà tra quelle di un certo gruppo fissato,…(19). Il riferimento ad una tabella (relativa ad una situazione significativa) costituisce un contesto che permette di risolvere alcune ambiguità della comunicazione verbale connesse all'uso dei connettivi e dei quantificatori.

Gli istogrammi vengono costruiti attraverso una attività di classificazione; tuttavia, poiché perdono l'associazione tra i singoli elementi del "campione" e le proprietà, non permettono le elaborazioni consentite dalle tabelle. In compenso consentono di fare direttamente valutazioni numeriche, sia di ordinamento che di quantificazione.

Tabelle e istogrammi si appoggiano essenzialmente sul concetto di sistema di coordinate. I cosiddetti diagrammi di Eulero-Venn invece si basano su considerazioni geometriche intuitive relative alla forma di alcune figure piane e ai modi in cui queste possono sovrapporsi.

A differenza dei modelli precedenti, essi non danno alcuna informazione quantitativa (le "patate" non sono da intendere di estensione proporzionale alla numerosità dei corrispondenti insiemi) e non consentono di "costruire" facilmente classificazioni: se all'interno di un una "patata" sono rappresentati alcuni oggetti non riesco certo a tracciare delle "sottopatate" che racchiudano quelli che soddisfano certe proprietà, in particolare mantenendo disgiunte sottopatate che rappresentino proprietà alternative(20). Eventualmente si possono fare classificazioni ricorrendo a "frecce" come nell'esempio a destra nella successiva figura.

Questi diagrammi consentono, invece, di rappresentare rapporti di inclusione tra certi insiemi di "oggetti" (ovvero il fatto che una certa una proprietà segue da un'altra), di rappresentare l'insieme degli oggetti comuni a certi insiemi di oggetti (ovvero la proprietà che è definita come congiunzione di altre proprietà),… così da facilitare la comprensione di alcune definizioni, delle relazioni di dipendenza tra alcuni concetti, di alcune classificazioni,… , ovviando ad eventuali ambiguità o scarsa sinteticità della sola enunciazione verbale.

A dire il vero, essi si prestano alla rappresentazione di poche situazioni: infatti per rappresentare classificazioni costituite da successive partizioni (cioè attraverso la suddivisione di un insieme in sottoinsiemi che non si intersecano) sono preferibili i grafi ad albero (a cui accenneremo dopo).

Inoltre se la situazione è troppo complicata la rappresentazione è di difficile realizzazione e comprensione: è spesso difficile capire quali parti sono da intendere come intersezioni; oppure è ambigua l'associazione tra nomi e regioni di piano (il nome a quale degli insiemi in cui è contenuto va riferito?);… In genere, comunque, conviene ricorrere a "tratteggiature" diverse degli insiemi di cui si considerano le intersezioni.

Si noti che l'esempio riportato per ultimo non è un diagramma di Venn, anche se può essere utile per illustrare la situazione considerata: esso, infatti, non indica che, ad esempio, essere un comune implica essere una provincia (cioè che l'insieme dei comuni è contenuto nell'insieme delle province) né che lo stato contiene una regione che contiene una provincia che…, ma rappresenta la gerarchia tra enti territoriali, cioè che ogni comune (come superficie territoriale) è sottoinsieme di una provincia, che ogni provincia …

I grafi sono uno strumento utilissimo, il cui uso è assai vario. Tuttavia la diversità delle sintassi e delle semantiche che corrispondono ai vari impieghi comporta la necessità che i contesti le individuino, implicitamente, ma in modo chiaro.

Quando vengono impiegati per rappresentare successive partizioni le frecce che partono da un certo "insieme" finiscono in diversi insiemi tra loro disgiunti la cui unione dà l'insieme di partenza, ovvero partono da una condizione e finiscono in condizioni reciprocamente incompatibili la cui disgiunzione esclusiva (che è diversa dalla usuale disgiunzione delle tavole di verità) equivale alla condizione di partenza. Sono particolarmente utili per rappresentare definizioni di tipo classificatorio.

Riferiti alla disgiunzione esclusiva sono anche i due seguenti grafi: il primo rappresenta i percorsi possibili che un particolare prodotto ortofrutticolo può seguire per passare dal produttore al consumatore, il secondo rappresenta i possibili tratti di linee ferroviarie utilizzabili "sensatamente" per andare da Genova-Brignole a Tortona. Qui, però, le frecce possono, dopo due o più passi, ricongiungersi; infatti i "nodi" del grafo non rappresentano, come nel caso precedente, gli insiemi o le proprietà che man mano si "disgiungono": prima il nodo iniziale rappresentava l'insieme che veniva analizzato, qui l'insieme che viene analizzato è rappresentato dal grafo stesso, i cui diversi percorsi ne rappresentano i sottoinsiemi.

Rappresentazioni analoghe sono costituite dalle cartine che rappresentano particolari linee di trasporto (o dagli schizzi con cui a volte si descrivono delle vie di una zona), cioè i casi di rappresentazioni cartografiche in cui non vengono rispettate le distanze, ma si rispetta solo l'ordine con cui lungo le linee si succedono particolari località (ad esempio le stazioni) e i nodi di raccordo. In questi casi, tuttavia, i tratti del grafo in genere non sono frecce, cioè sono senza "punta". Spesso i grafi costituiti da frecce vengono detti grafi orientati.

Quando non si ricorre a frecce (o non si sottointende un particolare verso di percorrenza: dall'alto in basso, da sinistra a destra,…) i tratti del grafo rappresentano una relazione "simmetrica"; ad esempio nel caso di una mappa del tipo sopra descritto un tratto che unisce un nodo A e un nodo B significa che A e B sono in comunicazione, cioè da A si può andare a B e viceversa.

Simile è l'impiego del grafo seguente, con cui si rappresentano (e si possono poi contare facilmente) le partite a pallacanestro che devono essere disputate tra quattro classi A,B,C e D di una scuola in modo che ciascuna classe incontri tutte le altre classi.

In questo caso, tuttavia, non è sottointesa alcuna transitività : se A ha giocato con B e B ha giocato con C non posso concludere che A ha giocato con C; se invece mi riferisco a una rete stradale e sosituisco "ha giocato" con "è collegato", la conclusione vale.

Se voglio rappresentare incontri di andata e ritorno tra squadre di scuole diverse, devo invece ricorrere alla frecce, una per ogni incontro di andata e una per ogni incontro di ritorno.(21)

In [5] sono stati illustrati altri usi dei grafi. Quello per rappresentare "equivalenze monetarie", cioè possibili scomposizioni o composizioni di valori monetari, quello per rappresentare i passaggi di denaro opposti ai cammini dei beni e quello, più generale, per rappresentare astratti termini aritmetici: in questo caso le frecce partono dagli argomenti dell'operazione (uno o due, a seconda che l'operazione sia intesa come unaria o come binaria) e arrivano al risultato.

In questi casi, dunque, le frecce (o le coppie di frecce) rappresentano funzioni. Rappresentazioni come quella soprastante o più complesse a prima vista sembrano avere analogia con gli alberi genealogici, ad esempio con l'albero che dal bambino risale ai suoi genitori, poi ai suoi nonni,…. In questi ultimi, tuttavia, le frecce rappresentano funzioni che ad un argomento associano due valori: ad esempio, mentre nel caso illustrato ai due valori 50 e 70 viene associato il valore 120, nel caso in cui le frecce colleghino "mamma" e "papà" con "figlio" è al figlio che vengono associati i due genitori, non viceversa (un uomo e una donna possono avere più di un figlio, o nessuno; la corrispondenza "mamma,papà —> figlio" non sarebbe dunque una funzione).


4.4.   Il dettaglio con cui abbiamo discusso gli esempi precedenti era, ovviamente, a "livello adulto". Il fine era quello di sottolineare come, anche nell'ambito dell'uso di strumenti che nei materiali didattici sono spesso ridotti ad usi stereotipati e a volte erronei, esistono molte situazioni e modellizzazioni significative (e anche socialmente abbastanza diffuse) che possono essere oggetto di attività di: rappresentazione simbolica, trasferimento di riflessioni sul modello a riflessioni sulla situazione e vicerversa, analisi sintattica (i modi in cui possono essere composte le frecce,…), riflessione linguistica (passaggio da rappresentazioni verbali estese a forme grafiche e viceversa, individuazione dei termini verbali con cui a seconda dei casi tradurre le frecce,… ), … .

Alla famiglia dei grafi appartengono anche i cosiddetti diagrammi di flusso. Il loro uso è significativo in particolari contesti, se questi vengono affrontati con un sufficiente "respiro".

Un contesto è quello che possiamo chiamare "delle istruzioni per l'uso " : desrizioni delle azioni da compiere per usare un certo oggetto (dalla fotocopiatrice al Bancomat, da una macchina ditributrice di bevande ad un particolare manuale o elenco da consultare), per costruire un certo oggetto (mediante materiali strutturati, come i mattoncini del Lego o i pezzi del Meccano, o materiali generici o parti da assemblare), per compilare un certo modulo, …, fino alle ricette per una certa preparazione alimentare.

In genere queste descrizioni sono caratterizzate da un uso semplice del linguaggio verbale e da uno o più dei seguenti aspetti:

  organizzazione spaziale del testo in parti che hanno finalità differenti: descrizione dei materiali occorrenti, descrizione di come usare questi ultimi, indicazione di limitazioni (relative agli utenti, a strumenti da impiegare, alla riuscita o alla attendibilità di ciò che si consegue,…),…

  impiego di rappresentazioni grafiche o simboliche che facilitino la comprensione, sia del significato di singole parole o frasi, sia della sequenzialità delle azioni,

  rappresentazione tale da facilitare o suggerire l'intreccio della lettura con l'esecuzione delle varie successive azioni (anzi, a volte - vedi Bancomat, orari ferroviari "elettronici", segnali luminosi in diverse apparecchiature,…- alcune istruzioni vengono comunicate solo dopo che certe azioni sono state già eseguite),

  indicazione chiara delle eventuali alternative da seguire "in funzione" o del risultato che si vuole ottenere (un certo tipo di bibita, un certo tipo di informazione, una possibile configurazione di un oggetto da montare, un certo tipo di operazione bancaria,…) o dei mezzi che si hanno a disposizione (prodotti surgelati o freschi, tipo di biglietto o di documento o…, tipo di alimentazione impiegato - batterie o rete,…-, …),

  …

Un secondo contesto è quello della descrizione del funzionamento di macchine , o più in generale della descrizione di "processi". In questo caso le rappresentazioni verbali, grafiche, simboliche,… vengono impiegate per schematizzare una sequenza di comportamenti osservati o, comunque, che non costituiscono azioni che devono essere eseguite da chi legge la descrizione. Si pensi alla descrizione, per esempio: dei successivi passaggi attraverso cui un "bene" viene prodotto o distribuito; delle successive operazioni che compie un macchinario; delle mansioni in cui si scompone una particolare attività lavorativa di tipo "ripetitivo"; di come si differenzia il percorso di una lettera a seconda dell'affrancatura e del tipo di destinazione; di come viene calcolato un certo prezzo;…

In entrambi i casi il ricorso alla "numerazione" delle varie azioni da eseguire o delle varie parti di una descrizione («1. introdurre…- 2.premere…», « Se… si passi alla sezione 5 del modello …») e il ricorso ai diagrammi di flusso, oltre ad essere abbastanza diffusi nella vita extrascolatica, possono dar luogo a molte attività didattiche di tipo linguistico (si pensi alle traduzioni/interpretazioni che intervengono nei reciproci passaggi tra descrizioni verbali e questi tipi di descrizione), oltre che ad attività inerenti il contesto culturale o disciplinare a cui è riferita la rappresentazione.

Consideriamo un esempio: un diagramma che schematizza un possibile funzionamento di una macchina distributrice di caffé (prezzo 300 lire, tasti per escludere la zuccheratura e per ottenere il caffé lungo).

In questo caso il diagramma di flusso non rappresenta la descrizione fedele delle varie "azioni" che compie la macchina, ma dà una rappresentazione della sua logica di funzionamento : si tratta, in altre parole, di una interpretazione "razionale" del comportamento della macchina intesa come "scatola nera", cioè come oggetto a cui non si può guardare dentro.

In [6]-5.8 è illustrato il ruolo della geometria nella costruzione di interpretazioni razionali del funzionamento dei macchinari. Fra gli aspetti che qui interessano maggiormente, si pensi alla illustrazione del funzionamento di alcuni semplici meccanismi che permettano di comprendere la "possibilità" di automatizzare operazioni di scelta, di controllo, di conteggio,… ; ad esempio:

  un selezionatore di monete realizzato attraverso una incanalatura sul cui fondo sono praticati fori di diametro man mano crescente (nel primo foro cadono le monete più piccole, poi…),

  il sistema galleggiante-leva con cui viene arrestato il flusso dell'acqua che entra in un recipiente quando questo è pieno,

  un contagiri meccanico (ad ogni giro viene fatta avanzare di uno la ruota delle unità, quando questa arriva a "0" un ingranaggio fa avanzare di una posizione la ruota delle decine… - cfr. anche [4]-6.6),

  …

Ritornando ai diagrammi di flusso, osserviamo che ciò che determina la differenza rispetto a grafi come quello dei possibili percorsi produttore-consumatore di un prodotto ortofrutticolo in precedenza raffigurato è il fatto seguente: se vi sono dei nodi da cui partono più frecce, per ciascuna di queste deve essere "esplicitata" la condizione al cui verificarsi la freccia viene percorsa.(22)

Verbalmente (nella descrizione di un diagramma di flusso, ma anche in varie forme di "istruzioni per l'uso") queste scelte vengono espresse con dei "se … allora…". Val la pena di sottolineare che anche in questo caso siamo di fronte ad un contesto che non ha molto a che fare con l'implicazione delle tavole di verità. Qui siamo semplicemente di fronte ad una "funzione" che ad un "sì" e ad un "no" (o ad altre risposte) associa il passaggio a determinate azioni; lo stesso discorso vale per una frase come «se piove prendi l'ombrello»: non ha alcun senso discutere se è vera o se è falsa.

4.5.   Un contesto più specifico per l'impiego dei diagrammi di flusso è quello della rappresentazione di algoritmi.

Quest'uso, nel secondo ciclo della scuola elementare, può essere introdotto in relazione all'impiego di una calcolatrice tascabile per affrontare la soluzione di problemi aritmetici per tentativi e approssimazioni successive.

Consideriamo ad esempio il problema di come calcolare la lunghezza del lato di una quadrato con area di 500 metri quadrati.

Sotto la guida dell'insegnante, che facilita l'esplicitazione da parte degli alunni dei modi in cui stanno operando i tentativi, non è difficile giungere a descrizioni come la seguente:

provo con 100, 100 100 dà 10000, troppo (quindi cerco sotto a 100),
provo con 50, 50 50 dà 2500, troppo (quindi cerco sotto a 50),
provo con 10, 10 10 dà 100, poco (quindi cerco tra 10 e 50),
provo con 20, 20 20 dà 400, poco (quindi cerco tra 20 e 50),
provo con 30, 30 30 dà 900, troppo (quindi cerco tra 20 e 30),
provo con 21, 21 21 dà 441, poco (quindi cerco tra 21 e 30),
provo con 22, 22 22 dà 480, poco (quindi cerco tra 22 e 30),
provo con 23, 23 23 dà 529, troppo,
se mi accontento della approssimazione al metro, concludo che il lato ha lunghezza compresa tra 22 e 23 metri, altrimenti proseguo considerando i decimi … e ottengo che è compreso tra 22.3 e 22.4 metri.

Questa attività è un esempio di come l'impiego della calcolatrice permetta di risolvere problemi che sono alla portata degli alunni con procedimenti facili e "trasparenti", cioè che non oscurino il significato dei concetti matematici in gioco e consentano la "comprensione" da parte dell'alunno (cfr.4.2). Nel contempo, l'impiego di un diagramma di flusso consente di visualizzare la "meccanicità" di tale procedimento.


In questo modo si può dare anche un'idea di come una calcoltrice "sia in grado" di eseguire il calcolo della radice quadrata. Riflessioni come questa possono inserirsi anche in un contesto più ampio di attività di confronto con i modi in cui "ragiona" una calcloltrice . Qualche esempio:

  10:3·3=10, ma con gran parte delle calcolatrici si ottiene 9.999999; le calcolatrici sbagliano? o siamo noi che dobbiamo pretendere da esse solo ciò per cui sono state costruite?

  nel calcolare 13+8+7 la calcolatrice fa (13+8)+7=21+7=28, mentre noi, usando le nostre conoscenze e la nostra intelligenza, possiamo fare (13+7)+8;

  se si batte 1 2 5 alcune calcolatrici visualizzano 11, altre 15, perché? le calcolatrici che rispettano la gerarchia delle operazioni sono più "intelligenti" ? come fanno ad esserlo?
A partire da queste discussioni si riescono a esplicitare le rappre-sentazioni mentali degli alunni («c'è dentro un piccolo robot che sa la matematica», …) e a ricondurle a interpretazioni razionali: l'esistenza di registri interni in cui le calcolatrici tengono in sospeso le operazioni impostate. Riflessioni analoghe possono essere fatte per le calcolatrici dotate di tasti per le parentesi.

  …

4.6.   Oltre ad una valenza "logica" nel senso lato del termine, l'uso di grafi e diagrammi di flusso, se introdotto gradualmente e in situazioni in cui sia effettivamente utile il ricorso ad esso, consente anche di sviluppare abitudini all'analisi dei problemi, all'articolazione delle argomentazioni, all'impiego delle visualizzazioni, … che possono avere ricadute anche nelle attività di riflessioni più "interne".

Si pensi al passaggio dal grafo che rappresenta le principali fasi dei processo di trasformazione e di distribuzione di un bene a grafi più complessi, in cui si sostituiscono parti del precedente con parti che descrivono più in dettaglio una particolare fase.

Ovvero, si pensi alla descrizione della macchina distributrice del caffé: prima si può arrivare al diagramma: "controlla che i soldi siano giusti" —> "fai scendere un bicchiere di caffé fatto come è stato richiesto"; poi si possono sotituire i due "blocchi" con pezzi di diagramma che dettaglino meglio il procedimento, e così via.

Si pensi, infine, all'aiuto che i grafi possono dare in attività quali il prendere appunti o il riassumere alla lavagna una discussione collettiva: si possono annotare sinteticamente gli argomenti, indicare con frecce o con tratti di linea "non orientati" dipendenze o collegamenti tra un argomento e l'altro, … .

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NOTE

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18 Probabilmente è in riferimento al significato esteso del termine "logica" che nei nuovi programmi di matematica per la scuola elementare alcuni di essi sono stati citati all'interno del tema "Logica"; infatti si tratta di linguaggi e modelli che non hanno uno specifico riferimento alla logica matematica, ma possono averlo alla statistica o alla teoria dei grafi o all'informatica o alla matematica combinatoria …

Il termine "qualitativo" è spesso usato per indicare analisi, concetti,… che non fanno riferimento a quantificazioni (possono tuttavia far riferimento anche a confronti quantitativi: «questo è più lungo di quello» è a volte considerata una valutazione qualitativa, a differenza di «questo è di "tot" più lungo di quello»)

19 Per fare un esempio, alle righe possono essere associate le persone intervistate dagli alunni in una indagine sui cambiamenti delle condizioni di vita e alle colonne colonne possono essere associati il decennio di nascita, la zona di nascita (città, paese di mare, paese di campagna) e l'esistenza nella loro casa all'epoca della nascita dell'elettricità, di alcuni elettrodomestici, ….

20 In certi materiali didattici, invero, ciò si può fare: gli oggetti sono già stati collocati in zone diverse a seconda della proprietà verificata!
   Comunque, l'uso significativo dei diagrammi di Eulero-Venn non consiste nel cerchiare rappresentazioni grafiche di singoli oggetti, ma nel rappresentare mediante parti di piano (la parte interna ad una linea chiusa o la parte interna contemporaneamente a due o più linee chiuse) interi insiemi: gli elementi sono rappresentati dai "punti" del piano Nella prima delle rappresentazioni successivamente raffigurate i punti rappresentano numeri naturali, nella seconda rappresentano stati (nella terza si potrebbe pensare che i punti rappresentino abitanti; in raltà in questo caso si tratta, come vedremo, di diagrammi che non sono interpretabili allo stesso modo di quelli di Eulero-Venn). Si usa anche dire che gli oggetti con cui si intende interpretare i punti del piano costituiscono l’"universo del discorso".
   L'elenco della strane cose che spesso vengono proposte come attività con i diagrammi di Eulero-Venn sarebbe lungo. Per qualche esempio si veda [5], oltre a 1.1.

21 In questi casi di può anche a ricorrere a tabelle, che consentono poi di indicare anche i risultati degli incontri. La rappresentazione non è tuttavia banale. Nel caso del primotipo di torneo si può proporre agli alunni di ricorrere ad una rappresentazione analoga a quelle impiegate per rappresentare le distanze chilometriche sulle carte automobilistiche (vedi disegno sottostante). Nel secondo caso si può ricorrere al "quadrato" con A,B,C,D come righe e colonne, avendo però annerito le caselle lungo la diagonale, che rappresenterebbero altrimenti gli incontri di una squadra con sé stessa .

22 In altre parole, i diagrammi di flusso vengono impiegati per rappresentare processi "deterministici". Avviare alla distinzione tra situazioni deterministiche e non deterministiche è un altro aspetto importante dell'educazione alla "razionalizzazione", rispetto al quale svolgono un ruolo decisivo le attività di tipo statistico e le prime attività di tipo probabilistico introducibili nella scuola elementare.