Direzioni e funzioni circolari
I vettori AB ed EF, raffigurati a lato, hanno componenti proporzionali, con fattore di proporzionalità positivo: |
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Dati un vettore (h,k) e un numero q, con q(h,k) si indica il vettore (q·h,q·k), che viene chiamato prodotto del vettore (h,k) per il numero q. | ||||||||
Invece: | ||||||||
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Due vettori che, come i vettori AB ed EF, sono uno il prodotto dell'altro per un numero positivo, vengono detti ugualmente diretti. Due vettori che, come i vettori CD ed EF, sono uno il prodotto dell'altro per un numero negativo, vengono detti di direzione opposta.
Per caratterizzare i vettori di eguale direzione posso prendere come loro rappresentante quello, tra di essi, che ha modulo [ vettori] uguale a 1. Sotto è raffigurato il vettore (2,1) e, a destra, applicato all'origine, il vettore di modulo 1 di eguale direzione. [il significato di α, sin(α) e cos(α) e quello di tan(α) sono spiegati più avanti].
xP = 2/√5 = 0.8944
α = 0.46364
tan(α) = pendenza |
Nota.
Moltiplicando
un vettore v per un numero q viene moltiplicato per q
anche il modulo di v.
Ad es. il modulo di (3,4) è √(32+42) = √25 = 5,
quello di 2(3,4) è √((2·3)2+(2·4)2) = √(22·(32+42)) = √(22)·√(32+42) = 2·√25 = 2·5.
Quindi per ottenere un vettore di modulo 1 diretto come un vettore
dato v come si è fatto nella figura di sopra per ottenere un vettore di intensità diretto come (2,1) basta dividere le componenti di v per il modulo
di v.
I vettori di modulo 1, poiché sono
usati per rappresentare le direzioni verso cui possono essere
diretti i vettori, vengono detti versori, oltre che vettori unitari. Se
rappresento i versori applicati all'origine O = (0,0), le loro "punte"
cadono sul cerchio di centro O e raggio 1. Nella figura precedente OP è il versore del vettore (2,1).
Il vettore nullo, o vettore zero, (0,0), ha modulo 0. Se moltiplico (0,0) per un qualunque numero k diverso da 0 ottengo
Ecco come posso procedere usando solo l'equazione x2+y2=1 del cerchio di centro O e raggio 1
dato un versore OP considero il punto A = (1,0) e la distanza (euclidea) L1 tra A e P: L1 = d(A,P); nel caso raffigurato sopra a destra L1 = 1.8973666 [arrotondamento a 8 cifre];
considero il punto Q con ascissa a metà tra quelle di P e di A (l'ordinata di Q viene calcolata usando l'equazione del cerchio), e il numero L2 = d (A,Q) + d (Q,P); nel caso raffigurato xQ = 0.1 e yQ = √(1xQ2), L2 = 2.3245014 [arrotondamento];
considero il punto R con ascissa a metà tra quelle di A e di Q, il punto S con ascissa a metà tra quelle di Q e di P, e il numero L3 = d (A,R) + d (R,Q) + d (Q,S) + d (S,P); nel caso raffigurato L3 = 2.4420251 [arrotondamento];
ripetendo l'inserzione di nuovi punti in modo che la distanza tra le ascisse si dimezzi, e raddoppi il numero delle distanze sommate, ottengo una successione di altri valori (arrotondati a 8 cifre) L4, L5, L6,
man mano maggiori, fino a che mi stabilizzo su 2.4980915.
2.4980915 è la direzione del vettore OP (e degli altri vettori ugualmente diretti) arrotondata a 8 cifre. Effettuando i calcoli con più cifre e procedendo con percorsi composti da più tratti rettilinei posso ottenerne un valore più preciso, preciso quanto voglio [ approfondimenti].
Nel caso del vettore (2,1) della figura iniziale avrei ottenuto: L1 = 0.45950584, L2 = 0.46209331, L3 = 0.46307479,
L15 = 0.46364761, L16 = 0.46364761,
; 0.46364761 è l'arrotondamento a 8 cifre della direzione di (2,1), direzione che avevamo già rappresentato col versore (2/√5,1/√5).
Nota. Abbiamo definito la direzione di OP mediante un procedimento di calcolo riferito al caso in cui P sta sopra all'asse x. Il procedimento può essere esteso facilmente al caso in cui yP< 0 [ approfondimenti].
Se α è la direzione del versore OP (ossia la lunghezza dell'arco AP), le componenti del versore vengono chiamate coseno di α (xP) e seno di α (yP) e indicate cos(α) e sin(α) [ figura iniziale].
Quindi un vettore di modulo R e direzione α (poiché il suo versore è ottenuto dividendone le componenti per R) ha come componenti R·cos(α) e R·sin(α).
La direzione dell'asse x è 0 (infatti il versore dell'asse x è OP con P = (1,0) = A); la direzione opposta, cioè la lunghezza 3.141592653589
del semicerchio che da A arriva a
Questo (direzione del versore OP come lunghezza dell'arco AP) è il modo più usato in matematica e fisica per indicare le direzioni. Per passare ad esprimersi "come nel goniometro" (e nella bussola) si "definisce" grado la 180ª parte di π (traduzione dell'idea di suddividere il semicerchio con delle tacche in 180 divisioni): | π 1° = 180 |
Note. Nelle applicazioni, quando le direzioni sono espresse senza usare i
gradi, spesso si aggiunge il termine radianti
(simbolo: rad): si parla di «π rad, π/2
rad,
». È una aggiunta non necessaria, ma
spesso comoda. La scrittura In Rappresentazione sessagesimale dei numeri abbiamo visto come, accanto a scritture come 27.335° (chiamate a volte "sessadecimali"), si impiegano scritture sessagesimali come 27°20'06".
In
molti casi (→ figura sopra a destra) come insieme delle direzioni si considera non
[0°,360°), ma
Le funzioni coseno e seno
vengono dette funzioni circolari in quanto [ figura iniziale]
esprimono le coordinate di un punto P sul cerchio di centro
O e raggio 1, se si dà in input la direzione α del vettore OP (il cerchio di centro O e raggio 1, in quanto usato per simulare un goniometro, viene chiamato a volte cerchio goniometrico e,
di conseguenza, le funzioni circolari sono chiamate anche funzioni goniometriche, o trigonometriche, per infilarci anche un po' della parola "triangolo").
Le CT permettono di
calcolare le funzioni circolari mediante i tasti , e . Per trovare la direzione del vettore (2,1) considerato nel primo esempio posso calcolarne la pendenza e poi fare l'inversa della tangente: 1 2
ottenendo 26.56505118° (se la CT è a 10 cifre). Nel caso del vettore (-2,-1) avrei ottenuto lo stesso valore, ma avrei poi dovuto aggiungere 180° (→ figura sopra a destra).
Cliccando qui accedi a un documento che riporta i valori delle funzioni circolari per alcune direzioni d'uso frequente. Cliccando qui vedi come tracciare i grafici in coordinate polari usando il computer, con R. Esercizi: su moltiplicaz. vettori per numeri, su direzioni e funz. circolari, vari altri collegamenti [nuova pagina] Approfondimenti
Sulla convergenza del procedimento con cui abbiamo definito le direzioni
All'aumentare del numero dei tratti i valori convergono su un numero particolare, cioè mi consentono di individuarne arrotondamenti man mano a più cifre. Ad esempio il valore finale dell'elenco precedente 2.498091544754895 è stato ottenuto con un incremento di circa 0.0000000003 (3·1010), il nuovo valore sarà ottenuto con un incremento di circa 0.00000000003 (3·1011), i successivi incrementi saranno trascurabili: possiamo concludere che il numero su cui i valori tendono a stabilizzarsi è circa 2.49809154478 e è arrotondabile a 2.4980915448. Effettuando i calcoli con più di 16 cifre e procedendo ulteriormente, si possono trovare arrotondamenti con quante cifre vogliamo della direzione del nostro versore OP. Se vuoi, qui puoi trovare un programma in JavaScript che corrisponde al procedimento di calcolo che abbiamo considerato. Qui ne trovi una più trasparente versione in R. Estensione del procedimento con cui abbiamo definito le direzioni al caso di versori con 2ª componente negativa
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