Direzioni e funzioni circolari

 

#1  I  vettori AB ed EF, raffigurati a lato, hanno componenti proporzionali, con fattore di proporzionalità positivo:

  

 EF   =  (6, 10)  =  2(3, 5)  =  2AB

    Dati un vettore (h,k) e un numero q, con q(h,k) si indica il vettore (q·h,q·k), che viene chiamato prodotto del vettore (h,k) per il numero q.

    Invece:

 EF  = (6, 10) = –2(–3, –5) = –2CD

    Due vettori che, come i vettori AB ed EF, sono uno il prodotto dell'altro per un numero positivo, vengono detti ugualmente diretti. Due vettori che, come i vettori CD ed EF, sono uno il prodotto dell'altro per un numero negativo, vengono detti di direzione opposta.

 

#2  Per caratterizzare i vettori di eguale direzione posso prendere come loro rappresentante quello, tra di essi, che ha modulo [ vettori] uguale a 1. Sotto è raffigurato il vettore (2,1) e, a destra, applicato all'origine, il vettore di modulo 1 di eguale direzione.  [il significato di α, sin(α) e cos(α) e quello di tan(α) sono spiegati più avanti].

  

xP = 2/√5 = 0.8944…
yP = 1/√5 = 0.4472…

α = 0.46364…
    = 26.565…°

tan(α) = pendenza
= yP/xP

Nota.  Moltiplicando un vettore v per un numero q viene moltiplicato per q anche il modulo di v.
Ad es. il modulo di (3,4) è √(32+42) = √25 = 5,
quello di 2(3,4) è √((2·3)2+(2·4)2) = √(22·(32+42)) = √(22)·√(32+42) = 2·√25 = 2·5.
Quindi per ottenere un vettore di modulo 1 diretto come un vettore dato v – come si è fatto nella figura di sopra per ottenere un vettore di intensità diretto come (2,1) – basta dividere le componenti di v per il modulo di v.

    I vettori di modulo 1, poiché sono usati per rappresentare le direzioni verso cui possono essere diretti i vettori, vengono detti versori, oltre che vettori unitari. Se rappresento i versori applicati all'origine O = (0,0), le loro "punte" cadono sul cerchio di centro O e raggio 1. Nella figura precedente OP è il versore del vettore (2,1).
    Il vettore nullo, o vettore zero, (0,0), ha modulo 0. Se moltiplico (0,0) per un qualunque numero k diverso da 0 ottengo k(0,0) = (k0,k0) = (0,0): non esiste alcun altro vettore diretto come il vettore nullo; quindi, in particolare, il vettore nullo non ha versore. Si dice anche che il vettore nullo non ha direzione, ma in alcuni casi può essere comodo dire che ha una direzione qualunque.

 

#3  Invece che con i versori, le direzioni possono essere identificate con numeri, come accade quando si usa una bussola:  dopo averla ruotata in modo che l'ago magnetico punti su N, individuo la direzione che dal centro del quadrante punta verso la località,  scelgo un punto cardinale (ad es. E) e un verso (ad es. quello antiorario) e trovo di quanti gradi approssimativamente devo ruotare da E nel verso indicato (cioè verso N) per puntare sulla località. Nel caso illustrato si tratta di circa 20°: la località è nella direzione 20° E-N (circa).
    Analogamente potrei disporre un goniometro ("misuratore di angoli", dal greco gonia, angolo) nel modo illustrato a fianco e leggere la direzione α del vettore OP già considerato nella figura precedente: è tra 26° e 27°.



#4  In questo modo però posso ottenere solo valori approssimati con una certa precisione. Per determinare le direzioni con la precisione che voglio, senza limitazioni, devo trovare una nuova tecnica per misurare la lunghezza degli archi di cerchio AP, un metodo matematico astratto, che non ricorra a uno strumento di misura "fisico", come un goniometro o una rotella misuratrice (vedi figura sotto a sinistra).

    Ecco come posso procedere usando solo l'equazione x2+y2=1 del cerchio di centro O e raggio 1 [ e ] e la definizione della  distanza euclidea (l'idea è approssimare il percorso curvilineo che va da A a P con percorsi costituiti da tratti rettilinei - cioè da corde del cerchio, ossia segmenti con estremi sul cerchio - via via più numerosi e più corti):
  dato un versore OP considero il punto A = (1,0) e la distanza (euclidea) L1 tra A e P: L1 = d(A,P); nel caso raffigurato sopra a destra L1 = 1.8973666 [arrotondamento a 8 cifre];
  considero il punto Q con ascissa a metà tra quelle di P e di A (l'ordinata di Q viene calcolata usando l'equazione del cerchio), e il numero L2 = d (A,Q) + d (Q,P); nel caso raffigurato xQ = 0.1 e yQ = √(1–xQ2), L2 = 2.3245014 [arrotondamento];
  considero il punto R con ascissa a metà tra quelle di A e di Q, il punto S con ascissa a metà tra quelle di Q e di P, e il numero L3 = d (A,R) + d (R,Q) + d (Q,S) + d (S,P); nel caso raffigurato L3 = 2.4420251 [arrotondamento];
  ripetendo l'inserzione di nuovi punti in modo che la distanza tra le ascisse si dimezzi, e raddoppi il numero delle distanze sommate, ottengo una successione di altri valori (arrotondati a 8 cifre) L4, L5, L6, … man mano maggiori, fino a che mi stabilizzo su 2.4980915.
    2.4980915 è la direzione del vettore OP (e degli altri vettori ugualmente diretti) arrotondata a 8 cifre. Effettuando i calcoli con più cifre e procedendo con percorsi composti da più tratti rettilinei posso ottenerne un valore più preciso, preciso quanto voglio [ approfondimenti]. 
    Nel caso del vettore (2,1) della figura iniziale avrei ottenuto: L1 = 0.45950584, L2 = 0.46209331, L3 = 0.46307479, … L15 = 0.46364761, L16 = 0.46364761, …;  0.46364761 è l'arrotondamento a 8 cifre della direzione di (2,1), direzione che avevamo già rappresentato col versore (2/√5,1/√5).

Nota Abbiamo definito la direzione di OP mediante un procedimento di calcolo riferito al caso in cui P sta sopra all'asse x. Il procedimento può essere esteso facilmente al caso in cui yP< 0 [ approfondimenti].

 

#5  Se α è la direzione del versore OP (ossia la lunghezza dell'arco AP), le componenti del versore vengono chiamate coseno di α (xP) e seno di α (yP) e indicate cos(α) e sin(α) [ figura iniziale].

    Quindi un vettore di modulo R e direzione α (poiché il suo versore è ottenuto dividendone le componenti per R) ha come componenti R·cos(α) e R·sin(α).  

#6  La direzione dell'asse x è 0 (infatti il versore dell'asse x è OP con P = (1,0) = A); la direzione opposta, cioè la lunghezza 3.141592653589… del semicerchio che da A arriva a (–1,0), viene indicata con π (pi greca): figura sotto a sinistra. È un numero irrazionale [ strutture numeriche].
 
    La direzione dell'asse y è π/2; in altre parole l'arco AP1 è lungo la metà dell'arco AP2.
    La cosa sembra evidente; può comunque essere dimostrata: 
l'approssimazione di AP2 ottenuta sommando 2 distanze (tratto continuo + tratto puntggiato) è il doppio di quella di AP1 ottenuta con una distanza (solo tratto continuo), l'approssimazione di AP2 ottenuta sommando 4 distanze è il doppio di quella di AP1 ottenuta sommandone 2, …
 
 
    Si può dimostrare anche una proprietà più generale: 
se C e D sono due punti del cerchio, la differenza tra le direzioni OC e OD (ossia la lunghezza dell'arco CD) dipende dalla distanza di C da D (ossia dalla lunghezza della corda CD), e viceversa. Ossia: a corde uguali corrispondono archi uguali, e viceversa.
    Nel caso precedente d(A,P1)=d(P1,P2) e la direzione da OA a OP1 varia quanto da OP1 a OP2.
    Nel caso illustrato a lato d(H,K) = d(K,R) = d(S,T) (ovvero le corde HK, KR, ST sono uguali) e da OH a OK, da OK a OR, da OS a OT la direzione varia in tutti e tre i casi della stessa quantità (ovvero gli archi HK, KR, e ST hanno tutti la stessa lunghezza).

#7

    Questo (direzione del versore OP come lunghezza dell'arco AP) è il modo più usato in matematica e fisica per indicare le direzioni. Per passare ad esprimersi "come nel goniometro" (e nella bussola) si "definisce" grado la 180ª parte di π (traduzione dell'idea di suddividere il semicerchio con delle tacche in 180 divisioni):


      π
1° = ———
     180
    Quindi (→ figura soprastante) invece delle direzioni π, π/2, 3/2π, … si parla anche delle direzioni 180°, 90°, 270°, … .
Note.  Nelle applicazioni, quando le direzioni sono espresse senza usare i gradi, spesso si aggiunge il termine radianti (simbolo: rad): si parla di «π rad, π/2 rad, …». È una aggiunta non necessaria, ma spesso comoda.  La scrittura sin(30) non indica il seno di 30 gradi, per il quale occorre scrivere sin(30°).  In alcuni ambiti tecnici particolari si usa il grado centesimale, ossia l'unità di misura degli angoli corrispondnete alla centesima parte di un angolo retto; il suo simbolo è gon. Il alcune calcolatrici viene usato grad. Quindi π/2 = 90° = 100 gon (in qualche libro di scuola per geometri si trova scritto sin(50) al posto di sin(50 gon), per indicare sin(π/4); è un grave errore!).
   In Rappresentazione sessagesimale dei numeri abbiamo visto come, accanto a scritture come 27.335° (chiamate a volte "sessadecimali"), si impiegano scritture sessagesimali come 27°20'06".
   Notiamo che in alcuni libri scolastici per geometri si usano, erroneamente, scritture come sin(30°) e sin(−30°) per indicare sin(90°−30°) e sin(90°+30°). È uno strano abuso (che renderà difficile lo studio a chi proseguisse gli studi a livello universitario o a chi usasse una calcolatrice scientifica o un qualunque software o un qualunque manuale di tipo scientifico o … a chi esaminasse un buon manuale di topografia) frutto della grossolana confusione tra il concetto di angolo usato come input della funzione seno e l'angolo zenitale, che è, appunto, pari a π/2−x se x è l'angolo formato con il piano orizzontale.

#8  In molti casi (→ figura sopra a destra) come insieme delle direzioni si considera non [0°,360°), ma (–180°,180°] o [–180°,180°). Si possono fare anche altre scelte. Comunque, quando si scrive –90° si intende la stessa direzione di quando si scrive 270°.
    Più in generale si può dire che due numeri x e y indicano la stessa direzione (sono uguali come direzioni) se sono lo stesso numero o se uno è ottenibile dall'altro aggiungendo o togliendo ripetutamente 360° (cioè se esiste un numero intero k tale che x = y + k·360°, ovvero, poiché 360°=2π, x = y + 2kπ.

#9  Le funzioni coseno e seno vengono dette funzioni circolari in quanto [ figura iniziale] esprimono le coordinate di un punto P sul cerchio di centro O e raggio 1, se si dà in input la direzione α del vettore OP  (il cerchio di centro O e raggio 1, in quanto usato per simulare un goniometro, viene chiamato a volte cerchio goniometrico e, di conseguenza, le funzioni circolari sono chiamate anche funzioni goniometriche).
    L'essere sin(α) e cos(α) le coordinate di un punto del cerchio x2+y2=1 corrisponde al fatto che ne verificano l'equazione, ossia che vale la relazione  sin(α)2 + cos(α)2 = 1.

   Un'altra funzione circolare è la funzione tangente, che ad α associa la pendenza del vettore OP, cioè yP/xP [ pendenze e curve di livello].
    La tangente di α viene indicata tan(α). Evidentemente equivale a sin(α)/cos(α).
Nota.  Accanto alle notazioni sin(x), cos(x) e tan(x) sono impiegate le notazioni sin x, cos x e tan x. Sono notazioni "abbreviate" e usate con convenzioni diverse dalle usuali, e in cui va opportunamente interpretato il ruolo degli spazi bianchi. Ecco alcuni esempi:

notazione standardnei linguaggi di programmaz.notazione abbreviata
sin(2x)sin(2*x)sin 2x
sin(x)2sin(x)^2sin2 x
sin(x2)sin(x^2)sin x2
sin(x)·cos(x)sin(x)*cos(x)sin x cos x

 sin x    
y
Se si adotta la notazione abbreviata è bene non impiegarla nei casi ambigui. Ad esempio mentre è chiaro che  sin √x, sin x2 e il termine a sinistra equivalgono a  sin(√x), sin(x2) e sin(x/y), nel caso di  sin xy e di  sin x/y è meglio usare  sin(xy) o sin(x)ysin(x/y) o sin(x)/y a seconda di quale sia il termine a cui ci si vuole riferire.
F(x2) e F(x)2 indicano, rispettivamente, F(x·x) e F(x)·F(x). Analogamente sin(3x)2 equivale a sin(3x)^2, ovvero a sin(3x)·sin(3x). Usando la "notazione abbreviata" si potrebbe intendere che sin (3x)2 (con uno spazio bianco tra sin e la coppia di parentesi) stia per sin((3x)2); ci sono persone che usano questa scrittura ed erroneamente omettono lo spazio bianco tra sin e (3x)2; di fronte a scritture di questo tipo è bene chiedere agli autori (o capire dal contesto) a quale termine intendono riferirsi. Tutti i programmi e il software matematico interpretano correttamente sin(3*x)^2 come sin(3x)·sin(3x) e accettano come sin((3x)2) la scrittura sin((3*x)^2)

#10  Le CT permettono di calcolare le funzioni circolari mediante i tasti , e .
    In genere le CT, al loro avvio, sono predisposte per operare in gradi. Con appositi tasti si può passare alla rappresentazione in radianti (o anche in "gradi centesimali": 1 grado centesimanle = π/100).
    Le sequenze di tasti (o ), e calcolano le funzioni inverse delle funzioni circolari, o, meglio, dato in input un numero, restituiscono una delle direzioni che ha tale valore come, rispettivamente, tangente (pendenza), coseno e seno:
ad esempio, se batto 1 ottengo come output 45°, ma anche 125° (= 45° + 180°) ha pendenza 1.
β = 360° - α [= - α]
α e β individuano sul cerchio
la stessa x, cioè
cos(α) = cos(β)
ma  x dà solo α
β = 180° - α
α e β individuano sul cerchio
la stessa y, cioè
sin(α) = sin(β)
ma  y dà solo α
β = 180° + α
α e β hanno la stessa
pendenza p, cioè
tan(α) = tan(β)
ma  p dà solo α

    Per trovare la direzione del vettore (2,1) considerato nel primo esempio posso calcolarne la pendenza e poi fare l'inversa della tangente: 1 2 ottenendo 26.56505118° (se la CT è a 10 cifre). Nel caso del vettore (-2,-1) avrei ottenuto lo stesso valore, ma avrei poi dovuto aggiungere 180° (→ figura sopra a destra).
    Nel caso del secondo esempio, in cui conosco la prima componente del versore OP, –0.8, posso fare l'inversa del coseno: 0.8 ottenendo 143.1301024°; operando "in radianti" avrei ottenuto 2.498091545.

    Cliccando qui accedi a un documento che riporta i valori delle funzioni circolari per alcune direzioni d'uso frequente.

    Cliccando qui vedi come tracciare i grafici in coordinate polari usando il computer, con R.

Esercizi:  su moltiplicaz. vettori per numeri,  su direzioni e funz. circolari,  vari

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Approfondimenti

 

#11 Sulla convergenza del procedimento con cui abbiamo definito le direzioni
    Ecco che cosa si otterrebbe effettuando i calcoli con 16 cifre:
n.tratti            L          incremento di L
      1    1.897366596101028
      4    2.442025089203781     0.5446585
     16    2.491823296986897     4.979821E-02
     64    2.497353652829279     5.530356E-03
    256    2.49800211131503      6.484585E-04
   1024    2.498080539032038     7.842771E-05
   4096    2.498090179859596     9.640828E-06
  16384    2.49809137485167      1.194992E-06
  65536    2.498091523595386     1.487437E-07
 262144    2.498091542149006     1.855362E-08
1048576    2.498091544465845     2.316839E-09
4194304    2.498091544754895     2.890492E-10
    Da queste uscite possiamo osservare che, man mano che quadruplico il numero dei tratti, i valori aumentano di una quantità man mano circa 10 volte più piccola:  passando da 4 a 16 il valore aumenta di circa 5·10–2, da 16 a 64 di circa 6·10–3, da 64 a 256 di circa 6·10–4, ….
    All'aumentare del numero dei tratti i valori convergono su un numero particolare, cioè mi consentono di individuarne arrotondamenti man mano a più cifre. Ad esempio il valore finale dell'elenco precedente 2.498091544754895 è stato ottenuto con un incremento di circa 0.0000000003 (3·10–10), il nuovo valore sarà ottenuto con un incremento di circa 0.00000000003 (3·10–11), i successivi incrementi saranno trascurabili: possiamo concludere che il numero su cui i valori tendono a stabilizzarsi è circa 2.49809154478 e è arrotondabile a 2.4980915448.
    Effettuando i calcoli con più di 16 cifre e procedendo ulteriormente, si possono trovare arrotondamenti con quante cifre vogliamo della direzione del nostro versore OP.
    Se vuoi, qui puoi trovare un programma in JavaScript che corrisponde al procedimento di calcolo che abbiamo considerato.  Qui ne trovi una più trasparente versione in R.  

#12 Estensione del procedimento con cui abbiamo definito le direzioni al caso di versori con 2ª componente negativa

    Abbiamo definito la direzione dei versori OP mediante un procedimento riferito al caso in cui yP non è negativo. Se P sta sotto all'asse y il procedimento può essere così modificato:
   l'arco AP è costituito dall'unione dell'arco AB (cioè il semicerchio costituito dai punti del cerchio con ordinata non negativa) e dell'arco BP (i punti del cerchio con ordinata non positiva e ascissa compresa tra –1 e xP);

–   si approssima AB con un tratto rettilineo e si fa lo stesso con BP e si sommano le loro due lunghezze; questa è una approssimazione della lunghezza dell'arco AP (prima figura a destra);
   si approssimano AB e BP con percorsi a 2 tratti rettilinei e si sommano le loro lunghezze; questa è una nuova approssimazione della lunghezza dell'arco AP (seconda figura a destra);
   e così via, prendendo i percorsi a tratti rettilinei nello stesso modo in cui si era fatto nel procedimento originale (i nuovi punti man mano considerati hanno ascissa a metà strada tra la ascissa del punto precedente e quella del punto seguente).