Disequazioni
Abbiamo
considerato più volte disequazioni,
ad esempio:
per descrivere figure
nelle attività di calcolo
approssimato,
per restringere o definire i domini di equazioni che modellizzano certi problemi.
Quando una disequazione contiene variabili ci si può porre il problema di risolverla rispetto a una variabile fissata (o a una coppia di variabili o ).
Alcune "disequazioni", come 3 ≤ x < 7, ad essere rigorosi non sono delle vere e proprie disequazioni, ma sono dei sistemi di disequazioni: | |
3 ≤ x < 7 sta per 3 ≤ x AND x < 7 |
Nel caso della risoluzione di disequazioni
contenenti un'unica variabile in genere conviene combinare il
metodo grafico (per capire come sono fatti gli
intervalli costituiti dalle soluzioni) e il metodo algebrico
(per trovare gli estremi di tali intervalli).
Ad es. la disequazione CT ≤ RT considerata sopra, che, per CU=100, CF=60000000 e PU=235, diventa:
60 000 000 + 100 n ≤ 235 n;
dobbiamo trovare quando CT sta sotto a RT; dal grafico si capisce che ciò accade quando n sta in un opportuno intervallo
60 000 000 + 100 n = 235 n:
60 000 000 = 135 n
n = 60 000 000 / 135 = 444 444.444
Poichè in questo caso n rappresenta fogli stampati potremmo approssimare il risultato agli interi e dire che fino a
Per risolvere una disequazione si usano manipolazioni simboliche simili a quelle impiegate
per risolvere equazioni: "invertire la disequazione"
(a<b b>a, invertendo anche "<")
e:
sostituire
un membro della disequazione con un
termine ad esso equivalente:
ciò richiede attenzioni simili
a quelle richiamate per le equazioni (il dominio può
cambiare);
applicare
una funzione a entrambi i membri:
ciò richiede qualche attenzione in
più rispetto a quelle viste per le equazioni, in
particolare l'individuazione degli intervalli in cui tale funzione
cresce/decresce; nel seguito approfondiamo questo aspetto.
Se addiziono o sottraggo lo stesso numero a due numeri A e B, ottengo due nuovi numeri A' e B' che sono nello stesso ordine che c'era tra A e B. Posso quindi applicare le trasformazioni schematizzate sotto (con l'attenzione ai cambiamenti di dominio che possono esserci se t contiene la variabile rispetto a cui risolviamo la disequazione):
Vediamo ad es. come risolvere
algebricamente la disequazione |
Per
risolvere (x+1) > 3 posso applicare il "cambio-segno".
Poiché si tratta di una funzione decrescente devo inverire
l'ordine: | Risolviamo algebricamente 1/x > 2.
Osservo che per x<0 1/x è negativo e quindi per tali valori
la disequazione è sicuramente falsa. Allora mi restringo
all'intervallo |
Sulla risoluzione delle disequazioni, così come su quella dell'equazioni, si ritornerà in successive sezioni. Ci limitiamo solo a ricordare i procedimenti schematizzati sotto:
se moltiplico per lo stesso numero
positivo [negativo] due numeri A e B ottengo due nuovi numeri A'
e B' che sono nello stesso ordine [nell'ordine opposto a
quello] che c'era tra A e B.
Moltiplicare per un numero negativo equivale a moltiplicare per un numero positivo e poi applicare un cambio segno: ciò spiega l'inversione della diseguaglianza.
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Poiché
5x2 è negativo, può
essere trasformata (usando tale termine come il t dello
schema, e poi operando la semplificazione t/t 1) in |
Abbiamo visto l'importanza di riferirsi a una rappresentazione grafica delle disequazioni (che, a seconda
dei casi, può essere realizzata effettivamente, magari mediante un semplice schizzo,
o solo visualizzata mentalmente).
In questo ambito è spesso utile saper ottenere il grafico di una funzione mediante trasformazioni geometriche
( Funzione 2) a partire
da una "banca" di grafici di funzioni di cui si dovrebbe conoscere l'andamento
senza esitazioni: | ||||||
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Posso schizzare facilmente il grafico della funzione che ad x traccia il termine a sinistra, che so essere indefinito per x=1, riconducendomi a quello di • fare la divisone tra x+1 e x-1 ottenendo 1 con resto 2, da cui l'equivalenza del termine a sinistra con • arrivare alla stessa conclusione con questa manipolazione: riscrivere x+1 come x−1 + , ossia come (x−1) + 2, da cui, distribuendo la divisione: (x+1)/(x−1) = (x−1)/(x−1) + 2/(x−1) = 1+2/(x−1) Dal confronto di questo grafico con la retta y=2 concludo che le soluzioni sono costituite dagli intervalli |
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Trovo h risolvendo l'equazione 1+2/(x-1) = 2: 2/(x-1) = 1 → 2 = x-1 → 2+1 = x → x = 3. Quindi le soluzioni formano l'insieme (-∞, 1) U (3, ∞). |