Disequazioni

#1  Abbiamo considerato più volte disequazioni, ad esempio:
  per descrivere figure
  nelle attività di calcolo approssimato,
  per restringere o definire i domini di equazioni che modellizzano certi problemi.

    Le disequazioni, ovviamente, possono essere utilizzate per modellizzare direttamente situazioni. Ad esempio, per riferirsi al contesto economico già considerato alla voce "proporzionalità inversa", indicando con RT il ricavo totale (RT = PU·n = PrezzoUnitario·NumeroPezziProdotti, nell'ipotesi che tutti i pezzi vengano venduti) la disequazione CT ≤ RT (costo totale non superiore al ricavo totale) indica una attività produttiva non in perdita (il "?", nel grafico a lato, è il volume di produzione che segna il passaggio da una situazione di passivo a una di attivo). Il grafico di RT è relativo all'ipotesi che il prezzo unitario di vendita (di un foglio stampato) sia 235 lire, cioè RT = 235 n.

 

#2  Quando una disequazione contiene variabili ci si può porre il problema di risolverla rispetto a una variabile fissata (o a una coppia di variabili o …).

    Alcune "disequazioni", come 3 ≤ x < 7, ad essere rigorosi non sono delle vere e proprie disequazioni, ma sono dei sistemi di disequazioni:
3 ≤ x < 7   sta per
          3 ≤ x  AND  x < 7
     

    Nel caso della risoluzione di disequazioni contenenti un'unica variabile in genere conviene combinare il metodo grafico (per capire come sono fatti gli intervalli costituiti dalle soluzioni) e il metodo algebrico (per trovare gli estremi di tali intervalli).
  Ad es. la disequazione CT ≤ RT considerata sopra, che, per CU=100, CF=60000000 e PU=235, diventa:
        60 000 000 + 100 n ≤ 235 n;
dobbiamo trovare quando CT sta sotto a RT; dal grafico si capisce che ciò accade quando n sta in un opportuno intervallo [n), cioè quando nn, essendo n il valore indicato con "?" sul grafico. Dal grafico possiamo dedurre che n è circa 450 mila; cambiando scala o con metodi numerici potremmo trovarne il valore con più precisione. In questo caso possiamo trovarlo anche esattamente in quanto siamo in grado di risolvere l'equazione:
        60 000 000 + 100 n = 235 n:
        60 000 000 = 135 n
        n = 60 000 000 / 135 = 444 444.444…
    Poichè in questo caso n rappresenta fogli stampati potremmo approssimare il risultato agli interi e dire che fino a 444 444 pezzi prodotti si è in passivo e che a partire da 444 445 pezzi si è in attivo. Ma, sicuramente, non è significativo andare a prendere in considerazione valori così precisi: potremo dire che l'attività sarà in attivo per  n > 440 mila.

  Nel caso della disequazione √(100-x2) > 6 dal grafico ricavo che ha come insieme di soluzioni un intervallo (–h, h). Risolvendo algebricamente l'equazione (100-x2) = 6 ottengo che h vale 8:
  (100-x2) = 6 100-x2 = 36 x2 = 64 x = ±8
  

#3  Per risolvere una disequazione si usano manipolazioni simboliche simili a quelle impiegate per risolvere equazioni:   "invertire la disequazione" (a<b b>a, invertendo anche "<") e:
  sostituire un membro della disequazione con un termine ad esso equivalente:
ciò richiede attenzioni simili a quelle richiamate per le equazioni (il dominio può cambiare);
  applicare una funzione a entrambi i membri:
ciò richiede qualche attenzione in più rispetto a quelle viste per le equazioni, in particolare l'individuazione degli intervalli in cui tale funzione cresce/decresce; nel seguito approfondiamo questo aspetto.

#4  Se addiziono o sottraggo lo stesso numero a due numeri A e B, ottengo due nuovi numeri A' e B' che sono nello stesso ordine che c'era tra A e B. Posso quindi applicare le trasformazioni schematizzate sotto (con l'attenzione ai cambiamenti di dominio che possono esserci se t contiene la variabile rispetto a cui risolviamo la disequazione):

     

    Vediamo ad es. come risolvere algebricamente la disequazione x + 3 > 2x – 1:
x+3 > 2x–1  [applico "–x"] 3 > x–1  [applico "+1"] 4 > x
    È facile verificare graficamente che le soluzioni sono proprio queste (se "schizzo" i grafici di x x+3 e di x 2x–1 posso osservare che il primo sta sopra al secondo proprio per x<4).

  

#5  Due funzioni particolarmente importanti sono la negazione (o "cambio segno"), x –x, e il passaggio al reciproco, x 1/x, di cui a fianco sono riprodotti parzialmente i grafici:
 
–  la prima è decrescente in R,
 
–  la seconda, che è definita in (–,0)(0,), cioè in {x R : x 0}, è decrescente sia in (–,0) che in (0,).
 
Esempi d'uso:

 

  Per risolvere –(x+1) > 3 posso applicare il "cambio-segno". Poiché si tratta di una funzione decrescente devo inverire l'ordine:
–(x+1)>3  [cambio segno] x+1<–3  [applico "–1"] x<–4
    Schizzando i grafici di x –x–1 e di x 3 si ottiene una conferma di queste soluzioni.

  

  Risolviamo algebricamente 1/x > 2. Osservo che per x<0 1/x è negativo e quindi per tali valori la disequazione è sicuramente falsa. Allora mi restringo all'intervallo (0,), cioè a x>0. Applico il "passaggio al reciproco" che in tale intervallo è decrescente. Ottengo: x<1/2. Ricordando la restrizione fatta, la disequazione equivale a: x<1/2 AND x>0, cioè a 0<x<1/2; le soluzioni sono, quindi, i numeri dell'intervallo (0,1/2). La cosa è verificabile osservando che il grafico di x 1/x sta sopra a y=2 per 0<x<1/2.
Attenzione È un errore comune, di fronte a una disequazione come la precedente, pensare che x 1/x sia ovunque decrescente e quindi trasformare l'eq. in x < 1/2 senza la condizione x>0.

  

#6  Sulla risoluzione delle disequazioni, così come su quella dell'equazioni, si ritornerà in successive sezioni. Ci limitiamo solo a ricordare i procedimenti schematizzati sotto:

     

    se moltiplico per lo stesso numero positivo [negativo] due numeri A e B ottengo due nuovi numeri A' e B' che sono nello stesso ordine [nell'ordine opposto a quello] che c'era tra A e B.
    Moltiplicare per un numero negativo equivale a moltiplicare per un numero positivo e poi applicare un cambio segno: ciò spiega l'inversione della diseguaglianza. 
  Consideriamo ad esempio la disequazione:   
x + 1   >   x − 2
——— ———
−5 − x2 −5 − x2
Poiché –5–x2 è negativo, può essere trasformata (usando tale termine come il t dello schema, e poi operando la semplificazione t/t 1) in  x+1 < x–2, e poi (applicando "–x") in 1<–2, che è falsa: la disequazione non ha soluzioni.

#7  Abbiamo visto l'importanza di riferirsi a una rappresentazione grafica delle disequazioni (che, a seconda dei casi, può essere realizzata effettivamente, magari mediante un semplice schizzo, o solo visualizzata mentalmente). In questo ambito è spesso utile saper ottenere il grafico di una funzione mediante trasformazioni geometriche ( Funzione 2) a partire da una "banca" di grafici di funzioni di cui si dovrebbe conoscere l'andamento senza esitazioni:
x → ax+b, x → x2, x → √x, x → |x|, x → xn, x → k/x, e, più avanti: x → sin(x), x → cos(x), x → tan(x), x → ax, x → log(x), …
Consideriamo ad esempio:
  x + 1   <  2
———
x − 1
    Posso schizzare facilmente il grafico della funzione che ad x traccia il termine a sinistra, che so essere indefinito per x=1, riconducendomi a quello di y = 1/x in vari modi:
•  fare la divisone tra x+1 e x-1 ottenendo 1 con resto 2, da cui l'equivalenza del termine a sinistra con 1 + 2/(x-1) e la conclusione che il nostro grafico è l'iperbole y = 2/x traslata a destra di 1 e in alto di 1;
•  arrivare alla stessa conclusione con questa manipolazione:
riscrivere  x+1  come  x−1 + …,  ossia come  (x−1) + 2,  da cui, distribuendo la divisione:
(x+1)/(x−1) = (x−1)/(x−1) + 2/(x−1) = 1+2/(x−1)
    Dal confronto di questo grafico con la retta y=2 concludo che le soluzioni sono costituite dagli intervalli (-∞, 1) e (h, ∞) dove h è l'ascissa del punto di intersezione.
 
    Trovo h risolvendo l'equazione 1+2/(x-1) = 2:
2/(x-1) = 1  →  2 = x-1  →  2+1 = x  →  x = 3.
    Quindi le soluzioni formano l'insieme (-∞, 1) U (3, ∞).

Esercizi:   

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