Distanza tra figure

 

#1  Abbiamo visto vari modi in cui si può definire una  distanza tra punti in un dato spazio. Soffermiamoci sul caso della distanza euclidea nel piano, e cerchiamo di generalizzare le nostre considerazioni affrontando il problema della distanza tra figure.
    Partiamo da un esempio realistico. Che cosa devo intedere come distanza tra due isole di un lago come quelle raffigurate a lato?  Posso considerare la distanza tra un dato punto dell'una e un dato punto dell'altra. Nel disegno sono evidenziate alcune possibili scelte di questi punti.
    In genere, di fronte a situazioni come queste, si considerano i due punti sulle coste delle due isole che sono più vicini, ossia si intende con distanza la lunghezza del tratto in barca più breve che consente di passare da un'isola all'altra (c nel nostro caso).
  

       Un altro esempio. Nell'illustrazione a lato i segmenti a e b quanto distano? Anche in questo caso possiamo considerare la distanza tra i punti dei due segmenti che sono tra loro più vicini, ossia l'estremo destro di a, il punto (12,6), e l'estremo in alto di b, il punto (14,5). Si ottiene √(22+1) = √5.
    L'idea è, quindi, quella di prendere come distanza tra due figure la minima tra le distanze tra i punti dell'una e i punti dell'altra.
    Nel caso dei segmenti c e d, che non includono gli estremi tra i loro punti [ figure(2)], la distanza dovrebbe essere √5, la stessa che tra a e b, ma questa non è interpretabile come distanza tra due punti che stanno sulle due figure: C2 e D2 non appartengono ai segmenti.

        Possiamo rimediare alla cosa prendendo come distanza tra due figure l'estremo inferiore dell'insieme delle distanze tra i punti di una figura e i punti dell'altra.
    Infatti nel caso di c e d queste distanze sono comprese tra d(C2,D2) = √5 e d(C1,D1) = √(52+52) = √50, e  l'intervallo (√5, √50) ha √5 come estremo inferiore.
    Nel caso di a e b, che non sono privati delle estremità, queste distanze formano l'intervallo [√5, √50], che ha anch'esso √5 come estremo inferiore. In questo caso √5 appartiene all'intervallo, ovvero è anche il minimo numero dell'intervallo.

        Nel caso della distanza tra l'asse x e il ramo dell'iperbole y = 1/x+1 con le ascisse positive, se prendo un punto che sta sull'iperbole e man mano mi sposto verso destra, la sua distanza dall'asse x tende ad 1. Infatti, su questo ramo di iperbole y varia da a 1, ovvero l'insieme degli output di x 1/x + 1 per x > 0 è dato dall'intervallo (1, ). La distanza tra asse x e ramo d'iperbole è 1 in quanto le distanze tra i punti dell'una e i punti dell'altra formano l'intervallo (1, ) che ha 1 come estremo inferiore.
Possimo dire che la retta y=1 è un asintoto della nostra curva, ossia che è una retta tale che la distanza tra un punto su di essa e la curva tende a 0 all'avanzare del punto lungo una delle due direzioni della retta (sull'espressione intuitiva "tende a 0" si torna alla voce  limiti).

#2 Nota.  Stiamo considerando situazioni in cui l'insieme delle distanze forma un intervallo. L'estremo inferiore di un intervallo è l'estremo sinistro dell'intervallo stesso. Si può considerare anche l'estremo inferiore di un insieme di numeri che non è un intervallo. Ad es. l'insieme costituito dalle approssimazioni per eccesso di 0.333…, ossia dai numeri 0.4, 0.34, 0.334, …, non è un intervallo. In queste situazioni si prende come estremo inferiore il numero che cosituisce il "confine" tra gli elementi di questo insieme e i numeri più piccoli di essi, ovvero l'estremo sinistro a del più piccolo intervallo [a, ) che contiene tutti i numeri dell'insieme. In questo caso l'intervallo di questo tipo che contiene 0.4, 0.34, 0.334, … è [0.333…, ), ovvero l'estremo inferiore è 0.333….

    Un altro esempio. Sia E = { 1/n + 1 | n è un numero intero positivo}. I suoi elementi sono: 1+1, 1+1/2, 1+1/3, 1+1/4, 1+1/5, 1+1/6, … . Sono tutti numeri maggiori di 1 ma tra essi ce ne sono di vicini quanto si vuole a 1. In pratica questi numeri sono le y dei punti con x intera del ramo di iperbole considerata sopra. Il loro estremo inferiore è 1 in quanto il più piccolo intervallo [a, ) che li contiene è [1, ).
    Analogamente, l'estremo superiore di un insieme di numeri è l'estremo destro b del più piccolo intervallo (-∞,b] contenente l'insieme.
    Se, in particolare, l'estremo inferiore [superiore] di un insieme A appartiene ad A, esso coincide con il minimo [massimo] di A.
 
    Qui osserviamo solo che usando il concetto di estremo superiore si possono generalizzare e meglio precisare anche i concetti di lunghezza e di area. Ad es. per il grafico di una funzione F continua in [a,b] potremmo dire che la sua lunghezza è l'estremo superiore dell'insieme delle lunghezze delle spezzate i cui vertici sono ottenuti mediante tabulazioni di F in [a,b].
    Un'ultima osservazione: l'estremo superiore delle distanze tra punti appartenenti alla stessa figura viene chiamato diametro della figura, generalizzando l'uso del termine "diametro" che viene fatto nel caso dei cerchi, in cui coincide col doppio del raggio.

Esercizi:   testo e soluzione,   testo e soluzione

#3  Le illustrazioni seguenti presentano alcuni casi particolari di distanza tra figure, sempre nel piano "euclideo".  A si riferisce alla distanza punto-retta, che abbiamo già considerato, ad esempio, per studiare  l'area del triangolo. In questo caso il segmento di lunghezza minima con estremi uno nel punto l'altro sulla retta è quello che è perpendicolare alla retta: se PHA misura 90°, PA è evidentemente più lungo di PH:  d(P,A) è la radice quadrata della somma dei quadrati di d(P,H) e di d(A,H).  L'esercizio seguente propone la ricerca di una formula per esprimere la distanza punto-retta.

Esercizio:   testo e soluzione

    B e C si riferiscono alla distanza retta-retta.  Nel caso in cui le rette si intersechino la loro distanza è 0: la distanza minima tra un punto sull'una e un punto sull'altra la si ha quando questi due punti coincidono col punto di intersezione, e la distanza di un punto da sé stesso è 0.  Se le rette sono parallele tutti i punti che stanno su una retta hanno la stessa distanza dall'altra retta: se ruotiamo le rette fino ad essere parallele all'asse y, ossia ad assumere le forme y = p e y = q, la distanza di un punto sull'una dall'altra è |p – q|. Solo nel caso "limite" in cui le due rette coincidono (ovvero invece che due sono una) la distanza è nulla.

A B C

    Per la distanza punto-cerchio, di cui D ed E illustrano i due casi possibili, si prende la distanza tra il punto dato P e il punto del cerchio più vicino ad esso, che sta su una delle due intersezioni tra cerchio e retta PC passante per P e centro C del cerchio.  Infatti gli altri punti nel caso D starebbero "dietro" alla retta tangente e quindi a distanza maggiore della distanza tra P e tangente.  Nel caso E starebbero dietro al cerchio (più piccolo) centrato in P e tangente al cerchio dato, e quindi a distanza maggiore del raggio del cerchio dato.  Se P coincidesse con C, la distanza punto-cerchio sarebbe, evidentemente, il raggio del cerchio.

D E       F 

    Con argomentazioni simili si può concludere che la distanza tra due cerchi concentrici - illustrazione F - è pari alla differenza tra il raggio R del cerchio maggiore e il raggio r del cerchio minore.

#4  Abbiamo già visto ( triangoli) che l'asse di un segmento è costituito dai punti che sono equidistanti dagli estremi del segmento. Potremmo anche dire che l'asse di un segmento è la retta la cui distanza dagli estremi è uguale a metà della lunghezza del segmento.
    Se impieghiamo un programma che ci consente di tracciare figure descritte mediante equazioni del tipo F(x,y) = 0, potremmo far tracciare l'asse del segmento di estremi (a1,a2) e (b1,b2) dando l'equazione:
    (x – a1)^2 + (y – a2)^2 – ((x – b1)^2 + (y – b2)^2) = 0
[da cui, sviluppando i quadrati e semplificando, si possono eliminare i termini con x2 e y2]
  

        I punti dell'asse di simmetria di un angolo, cioè della sua bisettrice, sono equidistanti dai due lati dell'angolo; vediamo perché. Nella figura a fianco il punto indicato con un pallino dai lati a e b ha distanze pari a due cateti dei triangoli rettangoli evidenziati: i cateti opposti agli angoli uguali α e β. I due triangoli sono uguali per il criterio angolo-angolo-lato. Quindi anche i due cateti che rappresentano le distanze del punto dai lati sono uguali.
    La parte della bisettrice che sta all'interno dell'angolo (la semiretta s nel disegno) è l'insieme dei punti dell'angolo che sono equidistanti dai due lati.

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