Consideriamo una molla sospesa per una estremità a cui viene appeso
un oggetto. Se l'oggetto non è troppo pesante, la molla non perde elasticità e, se
il peso viene tolto, ritorna alla posizione iniziale. In queste condizioni abbiamo che l'allungamento
della molla è proporzionale alla forza peso che le viene applicata. Supponiamo
di essere di fronte ad una molla tale che
Se sposto la massa di 0.02 m e la rilascio, la massa comincia ad oscillare. Quali sono il periodo e
l'ampiezza della oscillazione, e, più in generale, come varia x al trascorrere del tempo t (in secondi)?
Nelle unità di misure fissate, posso esprimere F come
Se fosse x(t) = sin(t) avremmo x'(t) = cos(t) e x"(t) = −sin(t) = −x(t). Questo ci dà
un'idea di come è la soluzione.
Con semplici manipolazioni si trova che
x(t) = 0.02·sin(√(k/m)·t+π/2), ovvero
x(t) = 0.02·cos(√(k/m)·t)
Il periodo dell'oscillazione è t tale che √(k/m)·t = 2π,
ossia 2π√(m/k).
Ad esempio se m = 0.2 kg e la molla, rispetto alla posizione di riposo, si allunga di 5 cm, da
(come realizzare il grafico a fianco con R, e come risolvere l'equazione con WolframAlpha) |