Cerco e tale che y = ex tagli l'asse y con pendenza 1 |
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Posso provare a determinare e in questo modo: ex tende a confondersi con x+1 per x → 0 (ex ≈ x+1) applico "^(1/x)" a entrambi i termini, trasformando il primo in e e il secondo in (x+1)1/x; ho elevato a qualcosa che tende a ∞ due termini che tendono a 1; potrebbe essere (vedi la voce limiti) che i due nuovi termini tendano a comportarsi allo stesso modo o no; più precisamente quello a destra potrebbe tendere al nostro numero e ma potrebbe anche tendere a 1 (se l'effetto riduttore dovuto alla base che tende a 1 prevale sull'effetto ingranditore dovuto all'esponente che tende a ∞) o a ∞ (se i due effetti hanno pesi scambiati); studio, dunque, sperimentalmente limx → 0(x+1)1/x | ||
(1+1)1 = 2 (0.1+1)1/0.1 = (1.1)10 = 2.593742460100002 (0.01+1)1/0.01 = (1.01)100 = 2.704813829421528 |
(1.000001)1000000 = 2.718280469095727 (1.0000001)10000000 = 2.718281694132547 (1.00000001)100000000 = 2.718281798339126 | |
[si potrebbe proseguire, ma, lavorando con 16 cifre come si è fatto qui, gli errori di arrotondamento diverrebbero prevalenti; con queste uscite possiamo prendere 2.7182818] | ||
il calcolo del limite limx → 0(x+1)1/x mi offre dunque, effettivamente, un metodo per approssimare il valore di e. | ||
Per approfondimenti vedi la voce funzioni esponenziale e logaritmo |