Figure 1

  Con figura intendiamo un insieme di punti in un dato spazio. Ad esempio nello spazio "retta numerica" [], presi due punti-numeri a e b, possiamo considerare il segmento costituito dai punti x tali che a ≤ x ≤ b (si veda la figura sotto a sinistra).
    Possiamo rendere compatta la descrizione di molte figure abbreviando "l'insieme degli α tali che sia vera la condizione Γ" con:
         { α t.c. Γ }  o  { α : Γ }  o  { α / Γ }  o  { α | Γ }

    Ecco tre semplici esempi di figure riferiti agli spazi numerici a 1, 2 e 3 dimensioni []:

{x : a ≤ x ≤ b}	{(x,y) : a ≤ x ≤ b AND c ≤ y ≤ d}
{(x,y,z) : a ≤ x ≤ b AND c ≤ y ≤ d AND e ≤ z ≤ f}

    Qualche altro esempio riferito al caso bidimensionale (qui d è la distanza euclidea): 

{(x,y) : x2+y2 ≤ 1/2} ossia: {P : d(P,O) ≤ √(1/2)}	{(x,y) : x2+y2 ≤ 2} ossia: {P : d(P,O) ≤ √2}	{(x,y) : 1 ≤ x2+y2} ossia: {P : 1 ≤ d(P,O)}	{(x,y) : 1 ≤ x2+y2 ≤ 2} intersezione tra B e C	{(x,y) : 1 ≤ x2+y2 ≤ 2 OR x2+y2 ≤ 1/2} unione di A e D

Nota. A volte si sottointende {(…) : …} e si scrive semplicemente la condizione. Ad esempio per indicare la retta del piano costituita dai punti di ascissa 1 invece di {(x,y) : x=1} si scrive "la retta x=1" o "la retta di equazione x=1".

  Soffermiamoci sul caso bidimensionale, cioè sul piano cartesiano [].
    La figura al centro nell'illustrazione iniziale è un rettangolo; facendo variare a, b, c e d otteniamo tutti i rettangoli con lati paralleli agli assi.
    Per dare una definizione puramente matematica che comprenda anche i rettangoli con lati non paralleli agli assi, che si possono ottenere da figure come questa mediante una rotazione, occorre disporre prima di una definizione matematica del concetto di rotazione [ trasformazioni geometriche] o del concetto di perpendicolarità (derivabile da quello di rotazione: figure2).

    Nell'ambito della geometria piana euclidea, cioè dello studio delle figure del piano cartesiano dotato della distanza euclidea, la figura a sinistra è il cerchio di centro (0,0) e raggio 10.
    La figura a destra è un quadrato. Per dare una definizione generale di quadrato occorre far riferimento ad ulteriori concetti (vedi quanto osservato sopra a proposito dei rettangoli). Qui ci limitiamo a osservare che le distanze da un vertice al successivo, ad esempio dal punto (0,10) al punto (10,0), sono tutte uguali a √(10²+10²) = √200 e che le diagonali, cioè le distanze da un vertice al vertice opposto, sono tutte uguali a 20.

Nota.  La figura soprastante a destra (nella geometria euclidea) è un quadrato.  È anche un rombo, come ogni quadrato, ma, appunto, non è solo un rombo:  un quadrato non ha necessariamente i lati orizzonali e verticali.

  Se non avessimo scelto un sistema monometrico [ pendenza] avremmo potuto ottenere le rappresentazioni seguenti.

L'aspetto non è più quello di un "cerchio" o di un "quadrato": se misuriamo "fisicamente" le distanze con un righello, i punti della figura a sinistra non hanno la stessa distanza dal punto (0,0) e le due diagonali della seconda figura non hanno la stessa lunghezza.

    Ma dal punto di vista "matematico", riferendosi al piano cartesiano e alla distanza euclidea, siamo solo di fronte a una diversa rappresentazione concreta delle stesse figure. Quindi, ad esempio, la figura disegnata a sinistra è un "cerchio".
    Abbiamo già fatto una analoga distinzione tra la pendenza "stradale" e quella "dei grafici".