Formule

	• 5.1+3.6 = 8.7	• n > 3	• prezzo = (n° di chilometri percorsi) · 60
	• y = x·3–7	• y = x·k	• c = 2πr

sono tutti esempi di formule. Si tratta di espressioni (cioè di sequenze di simboli: lettere, cifre e altri segni, a cui si assegna un certo significato o ruolo convenzionale) impiegate per descrivere delle relazioni tra numeri. Hanno la forma:

• di equazioni, cioè sono del tipo  termine = termine
        5.1+3.6 = 8.7       c = 2πr

• o di disequazioni, cioè sono del tipo  termine < termine o  termine ≤ termine o …
        n > 3      2/3 < 1

  Con la parola termine si indica un'espressione usata per rappresentare numeri. Un termine può:

• essere una costante, cioè un nome che rappresenta un numero fissato o che, nel contesto della situazione che stiamo considerando, riteniamo fissato; nelle formule iniziali sono costanti, ad es.:
    5.1     3     7     π  [se con tale lettera rappresento il numero 3.14159…]
    k  [se suppongo di aver fissato il valore di k e intendo rappresentare solo
        come y varia al variare di x]

• essere una variabile, cioè un nome che rappresenta un numero generico:

	n	x	y	r	c	prezzo	n° di chilometri percorsi
In una formula l'ultima variabile sopra elencata conviene racchiuderla tra parentesi per evitare ambiguità o confusioni, oppure riscriverla senza spazi bianchi. Ad. esempio per indicare la sua moltiplicazione per 75 si potrebbe scrivere: (n° di chilometri percorsi) · 75   o   NumeroDiChilometriPercorsi · 75

• oppure essere costruito a partire da costanti e variabili introducendo opportunamente simboli di funzione (come:  +  ·  –  /  √ ) ed eventuali parentesi:

5.1 + 3.6	x·k	(n° di chilometri percorsi)·60	2πr [il simbolo "·" è sottointeso]

  Una formula può essere vera; ad esempio 5.1 + 3.6 = 8.7 è vera. Può essere falsa; ad esempio 2 > 3 è falsa. Oppure la sua verità o falsità dipende dai valori che si danno alle variabili che compaiono in essa: la verità di n > 3 dipende da quale valore si assegna a n.

  Le formule, in particolare le equazioni, vengono usate spesso per descrivere funzioni. Ad esempio l'equazione riportata sotto, se considero totale e dato come variabili di input e percentuale come variabile di output, può essere usata per esprimere percentuale in funzione di dato e totale.

               dato
percentuale = —————— ·100
              totale

Se considero totale come costante, posso dire che tale equazione esprime percentuale in funzione di dato: ad esempio se fisso totale = 434, per ogni valore di dato posso calcolare il valore di percentuale [ Proporzionalità ].

Invece che con un calcolo posso procedere con un metodo grafico: • traccio il grafico della relazione: è la retta che passa per (0,0) [ Proporzionalità ] e per (434,100); • se, ad esempio, dato = 116, ricavo, come illustrato a fianco, che percentuale = 27 (valore approssimato). Graficamente posso calcolare anche la funzione inversa [ Funzione 1 ], e, ad esempio, trovare che 65% corrisponde a dato = 280 (circa).

  Per trovare lo stesso risultato (quale "dato" è il 65% di 434) con un metodo algebrico devo trasformare l'equazione:

     dato            65    dato
65 = ———— ·100  →   ——— = ————  →
      434            100    434

     65                         65·434
→   ——— ·434 = dato  →  dato = —————— = 282.1
    100                          100

Nel fare queste trasformazioni ho usato le proprietà delle  operazioni, in particolare il fatto che moltiplicare e dividere sono operazioni opposte. Le trasformazioni basate sulla relazione tra moltiplicazione e divisione possono essere descritte in modo efficace così:

(1)

a = b · c   →   b =  a — c

(2)

a =  b   →   b = a · c — c

Ad es. si può dire che per fare la seguente trasformazione si è seguito il procedimento (1):

           StradaPercorsa
Velocità = —————————————— → StradaPercorsa = Velocità·TempoImpiegato
           TempoImpiegato

Nel caso seguente si sono seguiti prima il procedimento (2) e poi il procedimento (1):

promossi
———————— = 76% = 0.76 → promossi = iscritti · 0.76  → 
iscritti

              promossi
→  iscritti = —————————
                0.76 

Procedere in modo astratto, ragionando solo su formule, come quando si fa riferimento a (1) e (2), è spesso comodo: nell'ultimo esempio sarebbe difficile trovare come calcolare gli iscritti a partire dalla percentuale e dal numero dei promossi senza procedere formalmente.

Tuttavia, poiché è facile commettere errori di distrazione, è bene controllare i procedimenti seguiti riferendosi alla specifica situazione: • nel caso dell'esempio della velocità può essere utile pensare alle unità di misura (la velocità è in km/h, il tempo è in h, il loro prodotto è in km, quindi è sensato pensare che essa rappresenti la strada percorsa), • nel caso dei promossi può essere utile stimare intuitivamente il risultato (il numero degli iscritti deve essere maggiore, ma non troppo, di quello dei promossi), …

  Sulle trasformazioni di termini e di formule si ritornerà più avanti [ Struttura di un termine ,  Risoluzione di equazioni 1 ,  Risoluzione di equazioni 2 ,  Termini equivalenti ].  Ricordiamo, solamente, alcune altre semplici situazioni in cui si fa ricorso ad esse, sia nel calcolo "a mano" che in quello con la CT [ Calcolatrice tascabile 1 ], esplicitando in forma astratta il procedimento seguito.

a · c + b · c    →    (a + b) · c :         [raccogliere c a fattor comune]

13500+14700 → 135·100+147·100 → (135+147)·100

(a + b) · c    →    a · c + b · c :         [distribuire c]

7·5 + 3·5 → (7 + 3) · 5

a   →   1  · a :          [dividere equivale a moltiplicare per il reciproco] — — b b

3   →  133 88 3 ———— 133 + 88

a   →   a / c  : — —— b b / c

600   →   30·20   →   30   →  15   [ Esempio ] —— ——— — 40 2·20 2

a   →   a · c    e     a   →   a / c  : — —— — —— b b · c b b / c

m   =   km/1000   =   km/1000·60   =   km·60   =   6   km   = 0.06  km —— ———— ————— ——— —— — — min h/60 h h·1000 100 h h

a = b – c   →   b = c + a :

Variazione = ValoreNuovo – ValoreVecchio   →   ValoreNuovo = ValoreVecchio + Variazione

a + b = c   →   a = c – b :

? + 148 = 200   →   ? = 200 – 148     [ Le "quattro operazioni" ]

a –  b + c   →   –  b + c  + a :           [sottrarre equivale a sommare l'opposto] —— —— d d

11 –   17 + 45   →   17 45 13 11 ——— 13

a − b   →   a + (−b) :          [sottrarre equivale a sommare l'opposto]

17 − (−4)   →   17 + 4 = 21     [ Le "quattro operazioni" ]

Esercizi:  testo 1 e soluzione,  testo 2 e soluzione,  testo 3 e soluzione,  testo 4 e soluzione,  testo 5 e soluzione,  altri: .

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