Funzione (1)
Quando il valore di una grandezza B può essere individuato sulla base del valore assunto da un'altra grandezza A si dice che B varia in funzione di A.
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Ad esempio la tabella a fianco esprime (per un dato anno, in cui era in vigore ancora la lira) il costo in lire di una corsa ferroviaria in funzione della lunghezza del percorso. La formula V = l3 esprime il volume V di un cubo [espresso, ad es., in cm3] in funzione della lunghezza l del suo spigolo [espressa in cm]. Posso rappresentare queste situazioni con gli schemi seguenti:
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cioè
come due "macchine" f e g che trasformano il
valore x che entra, input, in un nuovo valore
che esce, output, che indichiamo
Mentre
ciò che fa la macchina g è sintetizzato
dalla equazione g(x) = x3
(l'input, cioè la lunghezza dello spigolo, viene elevata al cubo) per la macchina f non
c'è descrizione più breve della
tabella.
Possiamo, tuttavia,
ottenerne una descrizione approssimata [ esempio ] mediante l'algoritmo
rappresentato sotto.
Invece di considerare come la misura di una particolare grandezza (fisica, economica, ) varia in funzione di quella di un'altra, si possono considerare anche trasformazioni di numeri astratti, come nel caso a fianco, che esprime un aumento del 25%. |
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(x può rappresentare un valore monetario, un peso, una popolazione, ) | |||||
In ogni caso, se indichiamo con x (o con un altro nome) il numero dato come input e con y (o con un altro nome) il numero che la macchina fornisce come output, invece di parlare di una grandezza che varia in funzione di un'altra, possiamo parlare della variabile y che varia in funzione della variabile x [ formule ]; x e y vengono dette, rispettivamente, variabile di input e variabile di output (o variabile indipendente e variabile dipendente). La relazione che intercorre tra x e y viene chiamata funzione. Invece che di macchina f, macchina g, parleremo, quindi, di funzione f, funzione g, . |
Nota. Se voglio indicare con F la funzione che aumenta ogni input di 7 posso anche dire "sia F la funzione che a x associa x+7" o scrivere
Sotto sono rappresentati i grafici [ Diagrammi ] delle tre funzioni considerate sopra.
y = g(x) [] | y = h(x) [] |
y = f(x) [] |
Una relazione tra una variabile x e una variabile y in alcuni casi può essere descritta con una tabella, in altri con una formula, in altri con un algoritmo, , in altri a parole (ad esempio: "x e y hanno lo stesso ordine di grandezza", "x e y sono numeri interi e y è un multiplo di x", ). In ogni caso possiamo rappresentarla mediante un grafico, come un insieme di punti (x,y) in un sistema di riferimento fissato.
Se
la relazione è una funzione esaminandone il grafico
possiamo stabilire se a un dato input x corrisponde un output
y e, in caso affermativo, trovarne il valore.
Ad
esempio nel caso A sotto raffigurato possiamo vedere che all'input 2
non corrisponde alcun output: se traccio la retta verticale che
corrisponde a x = 2 non trovo alcuna intersezione con il
grafico. Invece per l'input 9 posso trovare graficamente l'output 3.
Se il grafico contiene dei punti che hanno la medesima ascissa non siamo di fronte a una funzione. Ad esempio nel caso B (figura a destra) in corrispondenza dell'ascissa 9 abbiamo sia un punto con ordinata 3 che un punto con ordinata 3: non possiamo stabilire quale sia l'output di 9! |
(A) y = √x (y è funzione di x) |
(B) y2 = x (y non è funzione di x) |
Se a un input w la funzione f associa [non associa] un output si dice che f è [non è] definita in w o che il termine f(w) è definito [indefinito]. Nel caso A sopra considerato possiamo dire che √9 è definito e che √-2 è indefinito. L'insieme degli input in cui f è definita si dice insieme di definizione (o dominio) di f. Nel caso della radice quadrata il dominio è l'insieme di tutti i numeri non negativi. Se agli output di una funzione f si applica un'altra funzione g il risultato è una nuova funzione h.
La radice quadrata composta con l'elevamento al quadrato restituisce l'input iniziale. Scambiando l'ordine delle due funzioni ciò continua ad accadere per gli input non negativi, mentre per questi ultimi si ottiene come output il loro opposto:
Le funzioni sopra considerate sono a 1 input e 1 output. Vengono anche dette funzioni a 1 argomento e 1 valore. Sulle calcolatrici sono tasti di funzione a 1 argomento e 1 valore: , , , , Ad esempio se voglio introdurre il numero 12 uso il tasto ("cambio-segno" o "negazione"):
Se voglio calcolare l'espressione decimale di 1/12 usando il tasto :
Se invece vogliamo calcolare 2.45 ·1800 usiamo il tasto nel modo seguente:
Su alcune CT è presente il tasto (o un tasto simile) che opera nel modo seguente:
Dati come input i
numeri interi 170 e 18 vengono visualizzati due output: [vedi qui se non ti ricordi come si effettua "a mano" il calcolo della divisione intera con resto]
Nota. Spesso (ma non sempre) vengono distinte le parole quoziente e quoto per indicare in un caso il risultato di una divisione con resto, nell'altro il risultato di una divisione esatta.
Un'applicazione (che opera su tutte le piattaforme) che ti consente di
calcolare facilmente i valori di funzioni ad uno o più output è
R, il cui uso è discusso ed esemplificato qui.
Un semplice esempio qui sotto; un altro più avanti: Esercizi: testo 1 e soluzione, testo 2 e soluzione, testo 3 e soluzione. altri collegamenti [nuova pagina]
Sul calcolo della radice quadrata di un numero
Se mi fermo a questo punto posso concludere che √5 è compresa tra 2.236 e 2.237, ossia che, troncando, √5 = 2.236. Procedendo posso trovare √5 con tutte le cifre che voglio. Il calcolo col software R (senza usare "sqrt"): Nota. In una voce successiva ( Strutture numeriche)
si spiega come si eseguono le operazioni tra numeri reali di infinite cifre. Osserviamo che, per quanto riguarda il numero
che sopra abbiamo descritto come trovare,
il fatto che il suo quadrato sia 5 deriva dal fatto che i prodotti delle sue approssimazioni per difetto e di quelle per
eccesso ai decimi, di quelle ai centesimi, di quelle ai millesimi,
vengono a formare intervalli ( Come opera una calcolatrice tascabile quando premo ? Una macchina non può procedere per tentativi "ragionati", cioè di volta in volta scegliere con qualche "ragionamento" il nuovo numero di cui provare a calcolare il quadrato. Deve seguire un procedimento meccanico, cioè un algoritmo in senso stretto, in cui lo sviluppo sia determinato in modo univoco, senza libere scelte come invece avveniva nel diagramma precedente.
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