Ad esempio la tabella a fianco esprime (per un dato anno, in cui era in vigore ancora la lira) il costo in lire di una corsa ferroviaria in funzione della lunghezza del percorso.

La formula  V = l³  esprime il volume V di un cubo [espresso, ad es., in cm³] in funzione della lunghezza l del suo spigolo [espressa in cm].

Posso rappresentare queste situazioni con gli schemi seguenti: 

input				output
lunghezza del tragitto	→	f	→	costo della corsa
lunghezza dello spigolo	→	g	→	volume del cubo

    Se il grafico contiene dei punti che hanno la medesima ascissa non siamo di fronte a una funzione.

Ad esempio nel caso B (figura a destra) in corrispondenza dell'ascissa 9 abbiamo sia un punto con ordinata 3 che un punto con ordinata –3: non possiamo stabilire quale sia l'output di 9!

Esercizio  [soluzione]

Esercizio  [soluzione]

Esercizio  [soluzione]

Nota.  Vedrai più avanti che vi sono funzioni (come x → xx il cui grafico è parzialmente tracciato a fianco) che sembrano non rispettare quanto ora detto. Il fatto è che, in questo caso, i due rami del grafico a sinistra dell'asse verticale sono ciascuno costituiti da un'infinità di punti fittissimi che hanno ascisse diverse da quelle dell'altro ramo. L'impressione è che siano due tratti di rami di curva continua mentre in realtà essi presentano un'infinità di buchi. È un po' come accade per l'insieme dei numeri esprimibili come frazioni tra interi: è possibile trovare due frazioni diverse sempre più vicine l'una all'altra; ad esempio le approssiazioni per difetto e per eccesso di √5 (vedi ) sono sempre più vicine (2 e 3, 2.2 e 2.3, 2.23 e 2.24, 2.236 e 2.237, …) ma tra esse vi sarà sempre √5 che non è esprimibile come rapporto tra due interi.

  Se a un input w la funzione f associa [non associa] un output si dice che f è [non è] definita in w o che il termine f(w) è definito [indefinito]. Nel caso A sopra considerato possiamo dire che √9 è definito e che √-2 è indefinito. L'insieme degli input in cui f è definita si dice insieme di definizione (o dominio) di f. Nel caso della radice quadrata il dominio è l'insieme di tutti i numeri non negativi.

  Se agli output di una funzione f si applica un'altra funzione g il risultato è una nuova funzione h.

Ad esempio a fianco è illustrato il caso in cui f e g siano x → x · 2 (la funzione che a x associa x · 2) e x → x · 3. Componendo f e g ottengo la funzione x → x · 6.
In altre parole: ingrandire con scala 2 e poi ingrandire con scala 3 equivale a ingrandire con scala 6. h(x) = g(f(x)), per cui h può essere indicata g(f(.)).     È interpretabile come una composizione di funzioni anche l'applicazione di due successive  variazioni percentuali.

Quando, sia applicando prima f e poi g, sia, viceversa, applicando prima g e poi f, si riottiene l'input dato alla prima funzione, come nel caso a fianco, si dice che f e g sono funzioni una inversa dell'altra: raddoppiare e poi dimezzare o, viceversa, dimezzare e poi raddoppiare ha, comunque, come risultato il numero di partenza.
Nel caso in cui una funzione esprima una relazione di  proporzionalità con fattore di proporzionalità K, la sua funzione inversa esprime la relazione di proporzionalità con fattore 1/K.

  La radice quadrata composta con l'elevamento al quadrato restituisce l'input iniziale. Scambiando l'ordine delle due funzioni ciò continua ad accadere per gli input non negativi, mentre per questi ultimi si ottiene come output il loro opposto:

Il valore che mediante questa seconda composizione corrisponde all'input x viene chiamato valore assoluto di x e indicato | x |  ( rappr. decimale dei numeri).
	F: x → x2   G: x → √x   H: x → G(F(x)) = √(x2) = |x|   K: x → F(G(x)) = (√x) 2
[per il calcolo della radice quadrata Approfondimenti]
Nota 1. A volte qualcuno dice che il valore assoluto di un numero è il numero stesso privato del segno. Si tratta di un errore che, a sua volta, è fonte di altri errori. Il valore assoluto di –3 è il suo opposto, ossia 3, ma il valore assoluto di 3 è 3 stesso, da cui non ho tolto nulla: è un numero positivo, non un numero "senza segno". Più in generale, il valore assoluto di x è l'opposto di x se x è negativo, è x stesso altrimenti. Pensare in termini di "togliere il segno" induce l'errore di pensare che il valore assoluto di –N sia N; ciò è vero se N è positivo, ma se è N è negativo il suo valore assoluto è –N: se N è –3, –N è –(–3), che equivale a 3, e ha valore assoluto 3, non N, ossia –3.     Per inciso, non ha alcun senso scrivere +3 per indicare il numero positivo 3, quel "+" è un ingombro inutile, che spesso è fonte di confusioni. Può aver senso impiegarlo, volendo, in alcune occasioni per indicare delle variazioni:  nel caso di un fenomeno che fluttui nel tempo si può dire: "ieri la variazione è stata –1.2, oggi +0.4", in quanto mette in luce che al dato dell'altroieri è stata applicata la funzione "–1.2": x → x – 1.2, a quello di ieri la funzione "+0.5": x → x + 0.5.  Anche il software, in alcuni casi, per esigenze tipografiche, mette il "+": in R, ad es., se introduco 7 miliardi in notazione esponenziale, come 7e9 (7 per 10 alla 9), il numero viene poi visualizzato come 7e+9, in modo da mantenere lo stesso spazio occupato dal caso di esponenti negativi, come 7 milardesimi: 7e-9.     Analogamente, non ha alcun senso parlare di numeri assoluti (numeri interi assoluti, numeri razionali assoluti, …) come entità distinte sia dai numeri positivi che da quelli negativi (3 sarebbe un numero assoluto, diverso da +3 e –3): i numeri (interi, razionali e reali) diversi da 0 sono positivi o negativi; non ci sono altri numeri!
Nota 2. L'aggettivo assoluto in matematica viene usato anche in altri modi. In particolare spesso si usa  "variazione assoluta" invece che "variazione", quando si vuole mettere in evidenza che non si sta considerando la "variazione percentuale". Ma quest'uso non ha niente a che fare con il "valore assoluto": la variazione assoluta da 27 a 23 è –4 (che è un numero negativo), mentre il valore assoluto della variazione è 4.
Nota 3. Il valore assoluto di un numero viene chiamato anche modulo di esso (è un termine usato non solo per i numeri reali ma, più in generale, nel caso dei vettori).

  Le funzioni sopra considerate sono a 1 input e 1 output. Vengono anche dette funzioni a 1 argomento e 1 valore. Sulle calcolatrici sono tasti di funzione a 1 argomento e 1 valore: , , , , …

  Ad esempio se voglio introdurre il numero –12 uso il tasto ("cambio-segno" o "negazione"):

batto	12	premo	ottengo	– 12
input		funzione		output

  Se voglio calcolare l'espressione decimale di 1/12 usando il tasto :

batto	12	premo	ottengo	8.3333-02
input		funzione		output

  Se invece vogliamo calcolare 2.45 ·1800 usiamo il tasto nel modo seguente:

batto	1800	premo	batto		2.45	premo	ottengo	4410
input		funzione		input			output

La moltiplicazione, cosi come la divisione, l'addizione, …, è una funzione a 2 argomenti (2 input) e 1 valore (1 output).
Ma nel caso della sottrazione e della divisione a seconda dell'ordine in cui si mettono le frecce in ingresso può cambiare il risultato.  Ciò non accade per l'addizione e la moltiplicazione, che per questo sono chiamate operazioni commutative  ("commutare" vuol dire "scambiare").

Le  quattro operazioni sono le prime funzioni di cui, a scuola, si fa conoscenza. Gran parte delle funzioni che si usano sono costruite ricorrendo alla composizione delle quattro operazioni. Ad es. (vedi figura a sinistra) la media tra due numeri è ottenuta componendo una addizione e una divisione per 2.

Nota.  La parola "operazione" è spesso usata in matematica per indicare funzioni che hanno input ed output appartenenti allo stesso insieme (l'addizione, a due input e un output, il cambio segno, a un input e un output, la divisione intera con resto, a due input e due output, discussa nel prossimo paragrafo, …), ma anche altri tipi particolari di funzioni, che, eventualmente, incontrerai nella prosecuzione degli studi.

  Su alcune CT è presente il tasto (o un tasto simile) che opera nel modo seguente:

batto	170	premo	batto	18	premo	ottengo	9      R 8
input		funzione	input			output

  Dati come input i numeri interi 170 e 18 vengono visualizzati due output:
•  il risultato della divisione intera (cioè il troncamento agli interi di 170/18, che a volte viene indicato 170\18), cioè 9 (infatti 170 diviso 18 fa 9 e rotti)
•  e (preceduto da una r) il relativo resto, cioè 8 (infatti prendendo 18 parti grandi 9 ottenendo 162, e mi rimane ancora 170-162 = 8 da suddividere).

[vedi qui se non ti ricordi come si effettua "a mano" il calcolo della divisione intera con resto]

In questo caso siamo di fronte a una funzione a 2 argomenti (2 input) e 2 valori (2 output).

Nota.  Spesso (ma non sempre) vengono distinte le parole quoziente e quoto per indicare in un caso il risultato di una divisione con resto, nell'altro il risultato di una divisione esatta.

    Un'applicazione (che opera su tutte le piattaforme) che ti consente di calcolare facilmente i valori di funzioni ad uno o più output è R, il cui uso è discusso ed esemplificato qui.  Un semplice esempio qui sotto; un altro più avanti: 
F <- function(x) x^2; G <- function(x) sqrt(x)
G(F(-5))
[1] 5
F(G(-5))
[1] NaN   [Non è un Numero]

Esercizi:  testo 1  e  soluzione,   testo 2  e  soluzione,   testo 3  e  soluzione.
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