Due cineclub, A e B, presentano le seguenti tariffe: il primo 10 € di tessera annuale più 3 € a spettacolo; il secondo
Nel caso vedessi solo 1 film, con A mi costerebbe 10+3 = 13 €, con B 16+3 = 19 €. Se ne vedessi 10 con A spenderei in tutto 10+30 = 40 €, con B 16+30 = 46 €.
Studiamo in generale la situazione rappresentando il costo totale annuo con tabelle e grafici.
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At (x) = costo annuale per A se vi vedo x film = 3·x + 10; Bt (x) = costo annuale per B se vi vedo x film = 3·x + 16. |
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I costi totali dei due cineclub tendono a coincidere per sempre più cifre (310 e 316 hanno lo stesso arrotondamento a 1 cifra, 1210 e 1216 hanno lo stesso arrotondamento a 2 cifre). |
Al crescere del numero di film visti, i costi totali tendono entrambi all'infinito, mantenendo una differenza costante di 6 €.
Ma la differenza relativa tra i costi dei due cineclub tende ad annullarsi. In altre parole, le ordinate dei grafici dei due cineclub hanno distanza 6, ma questa distanza tende ad essere trascurabile rispetto al valore delle ordinate stesse man mano che si avanza lungo i grafici. |
Abbiamo capito come vanno le cose: se vedo molti spettacoli non c'è praticamente differenza tra quanto spenderei nei due cineclub.
Per descrivere quanto messo in luce da tabelle e grafici, si usa dire che al crescere di x
Possiamo precisare questo modo di dire usando il concetto di
limx → α F(x) / G(x) = 1
Infatti il fatto che F(x) e G(x) tendono ad avere arrotondamenti che coincidono per sempre più cifre equivale al fatto che la divisione tra di essi ha risultato che tende ad 1.
Verifichiamo la bontà di questa definizione nel caso del nostro esempio.
Per x → ∞ abbiamo che: |
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[Invece di trasformare At(x)/Bt(x) in
e Bt(x) per x:
(3x+10) / (3x+16) = (3+10/x) / (3+16/x) → (3+0) / (3+0) = 1 ]
Nota. Nel caso dell'esempio iniziale, ovviamente, nella realtà non ha senso far tendere a ∞ il numero x degli spettacoli visti in un anno. Al massimo x potrà valere qualche centinaio, se il cineclub è aperto tutti i giorni. Tuttavia è comodo astrarre dalla situazione e far finta che x possa variare su tutto
pensando ai termini At(x) = 3x + 10 e Bt(x) = 3x + 16 e al loro comportamento per x → ∞ è più facile ragionare che facendo i calcoli caso per caso. Abbiamo già osservato in molte altre occasioni il fatto che il passaggio al modello matematico astratto (se fatto non a sproposito) serve non per complicarsi la vita ma per rendere più semplice l'esame della situazione.
Per x → ∞ i grafici delle funzioni tendenti a ∞ x 2x+2 e x 2x-7 "tendono a confondersi" con quello di
Il motivo di ciò è che, per x → ∞, i contributi dei termini 2 e -7 tendono a diventare trascurabili rispetto al valore complessivo di, rispettivamente, 2x+2 e 2x-7. È una situazione analoga a quella di At(x) e di Bt(x) dell'esempio iniziale. E infatti:
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Se traccio il grafico di F: x (sin(x) + x/2)2 ottengo una rappresentazione come quella qui a destra:
una curva che oscilla con apparente andamento parabolico. Provo a confrontare, per x → ∞, F(x) con x2: | |||||||||||||||
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[ per x→∞ sin(x)/x → 0 in quanto è compreso tra 1/x e -1/x entrambi i quali tendono a 0, e il passaggio al limite conserva la relazione "≤"] | |||||||||||||||
Dunque: per x → ∞ F(x)/x2 → (1/2)2 = 1/4, e quindi F(x)/(x2/4) → 1. | |||||||||||||||
Possiamo concludere che, per x → ∞, F(x) ≈ x2/4. |
La parola asintoticamente richiama il termine asintoto Si noti, tuttavia, che non è detto che se due funzioni F e G hanno grafico con uno stesso asintoto si abbia che In altre parole, 1/x2 all'avvicinarsi di x a 0 cresce più velocemente di 1/x, per cui i due numeri assumono rapidamente ordini di grandezza molto diversi, non tendono ad essere uguali (pur tendendo entrambi a ∞). | |
Nel caso di H(x) = 3/x ho invece H(x)/F(x) → 3, ovvero |
Sostituire un termine con un altro asintoticamente equivalente è molto spesso comodo per determinare limiti del tipo
Infatti lo studio del limite di F(x)/G(x) non cambia se sostituisco il termine F(x) con H(x) tale che H(x)≈F(x):
dato che F(x)/G(x) = F(x)/H(x)·H(x)/G(x) e che F(x)/H(x) → 1, H(x)/G(x) → L quando F(x)/G(x) → L.
Analogamente, lo studio del limite di F(x)/G(x) non cambia se sostituisco il termine G(x) con H(x) tale che H(x)≈G(x).
Esempio: limx → ∞ (sin(x) + x/2)2 / (3 + 2x2)
Sia (sin(x) + x/2)2 che 3 + 2x2 tendono a ∞, quindi siamo in un caso "∞/∞".
Abbiamo visto che, per x→∞, (sin(x) + x/2)2 ≈ x2/4.
3 + 2x2 ≈ 2x2. Infatti (3+2x2)/(2x2) = 3/(2x2) + 2x2/(2x2) = 3/(2x2) + 1 → 0+1 = 1.
Quindi:
limx → ∞ (sin(x) + x/2)2 / (3 + 2x2) = limx → ∞ x2/4 / (2x2) = limx → ∞ 1/4/2 = 1/8.
Siano F(x) e G(x) tendenti all'infinito per x → α. Se F(x) ≈ G(x)
si scrive anche
F(x) =
per x → α F(x) è uguale a G(x) a meno di un termine trascurabile rispetto a G(x)
[la o piccola sta a ricordare che si tratta di un termine che dà un contributo che tende avere un ordine di grandezza piccolo rispetto a quello del termine indicato tra parentesi]
Facendo riferimento ad alcuni degli esempi visti sopra possiamo dunque scrivere:
per x → ∞, 2x + 7 = 2x + o(2x), o anche 7 = o(2x): per → ∞, 7 è trascurabile rispetto a 2x.
per x → 0, x + 1/x = 1/x + o(1/x), o anche x = o(1/x): per → 0, x è trascurabile rispetto a 1/x.
per x → ∞, sin(x) + x2 = x2 + o(x2), o anche sin(x) = o(x2): per → ∞, sin(x) è trascurabile rispetto a x2.
Quando è che K(x) = o(G(x)), ossia che K(x) è trascurabile rispetto a G(x)?
Quando G(x)+K(x) ≈ G(x), ossia quando (G(x)+K(x))/G(x) → 1. Ma questo equivale a:
G(x)/G(x) + K(x)/G(x) = 1 + K(x)/G(x) → 1, ossia a K(x)/G(x) → 0.
Con queste notazioni: per x→∞ x = o(x) (se x→∞ in x+x il contributo di x tende ad essere trascurabile, ovvero x/x → 0), x3 = o(x4) e, in generale, xh = o(xk) se 0 < h < k (infatti xh/xk = 1/xh-k → 0 per x → ∞). Vedi figura a lato. Se F(x) e G(x) per x → ∞ sono infiniti (ossia tendono a ∞ o -∞) con F(x) = Un altro esempio di limite: lim x→∞(√x + x3 + x 130) / (3x3 + 2). |
√x + x3 + x 130 ≈ x3 in quanto √x, x e 130 sono tutti trascurabili rispetto a x3.
Analogamente 3x3 + 2 ≈ 3x3. Quindi il limite equivale a:
lim x→∞ x3 / (3x3) = lim x→∞ 1/3 = 1/3
Quando, per x → α, F(x) e G(x) tendono all'infinito e F(x) ≈ k·G(x), ossia
Abbiamo appena visto che √x + x3 + x 130 e 3x3 + 2 per x → ∞ sono infiniti dello stesso ordine.
Si noti che o(f(x)) non indica un termine ben preciso ma solo la presenza di un termine trascurabile rispetto a
Ad se ho che, per x → ∞, F(x) = f(x) + o(x2) e G(x) = g(x) + o(x2), gli
e posso scrivere F(x)+G(x) = f(x)+g(x) + o(x2) in quanto la somma di due termini trascurabili rispetto a x2 sarà ancora un termine trascurabile rispetto a x2.
Analogamente ho che F(x)G(x) = f(x)g(x) + o(x2): non posso semplificare un o(x2) con l'altro
Nota. Accanto alla o-notazione esiste la O-notazione, dove la lettera "o" ricorda sempre il significato di "ordine" di infinito (o, come verdremo più avanti, di infinitesimo). Mentre F(x) = f(x) + o(x²) indica che F(x) e f(x) differiscono per un termine di ordine trascurabile rispetto a x², F(x) = f(x) + O(x²) indica che F(x) e f(x) differiscono per un termine che è dello stesso ordine di x² o di ordine trascurabile rispetto a x². Occorre stare attenti a non confondere le due notazioni.
Considerazioni e definizioni analoghe si hanno per il caso in cui F(x) e G(x) per x → α (finito o infinito) tendano a 0, ossia siano degli infinitesimi.
Di fronte a lim x→0(x2+3x)/(2x+5x4), che è del tipo "0/0", cerchiamo di capire come si possono approssimare, per x→0, x2+3x e 2x+5x4.
I grafici che seguono mettono in luce che, per x→0, x2+3x e 3x tendono a confondersi, ovvero in 0 hanno la stessa pendenza, ovvero y=3x è la retta tangente a x2+3x per x=0 (la retta tangente al grafico di una funzione F per x=p è tra le rette passanti per (p,F(p)), quella che "meglio approssima" il grafico).
Anche in questo caso posso tradurre la cosa dicendo che la differenza tra x2+3x e 3x, ossia x2, è trascurabile rispetto a 3x:
per x → 0 | x2 / 3x = x/3 → 0 | (x2 è trascurabile rispetto a 3x: x2 = o(x)), |
ovvero | (x2+3x)/(3x) = x/3+1 → 1 | (x2+3x equivale asintoticamente a 3x: x2+3x ≈ 3x). |
Del resto, se faccio un po' di calcoli, osservo che per x = 1, 0.1, 0.01, il valore di x2 ha ordine di grandezza man mano sempre più piccolo di quello di 3x. Il valore di x2 incide sul valore di cifre di posto sempre più lontano dall'ordine di grandezza di 3x+x2: | ||||||||||||||||||||||||
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Dunque, per x→0, x2+3x ≈ 3x. Analogamente 2x+5x4 ≈ 2x, per cui
lim x→0(x2+3x)/(2x+5x4) lo riconduco a
lim x→03x/(2x) = lim x→03/2 = 1.5.
In generale, per x → 0 xh = o(xk) se h > k > 0 (infatti xh/xk = xh-k → 0 per x → 0).
La cosa può essere vista anche nei grafici di "2 figure fa". Più è alto l'esponente N più la curva y = xN velocemente si spiaccica sull'asse x, per cui, per x → 0, il contributo di xN tende ad essere trascurabile rispetto a quello di x elevato a un esponente minore. Esattamente il contrario di quanto accade per x → ∞.
Se ci si sposta orizzontalmente di α (α numero qualunque), cioè se si sostituisce x con per x → α (x-α)h = o((x-α)k) se h > k > 0. Se F(x) e G(x) per x → α sono infinitesimi con F(x) = o(G(x)) (F trascurabile rispetto a G) si dice anche che F(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a G(x) per x → α. Si dice che sono infinitesimi dello stesso ordine se |
Studiamo il comportamento di F: x 1/x, G: x 1/x2
e H: x 3/x già considerate sopra, ma questa volta
per x → ∞. Sono tutte e tre infinitesime, ossia hanno l'asse x come asintoto. G(x)/F(x) = 1/x2/(1/x) = 1/x → 0 per x → ∞ : 1/x2 al crescere di x si avvicina a 0 più velocemente di 1/x, ossia è un ininitesimo di ordine trascurabile rispetto a 1/x H(x)/F(x) → 3, ovvero H(x)/(3·F(x)) → 1 (H(x) ≈ 3F(x) per x → ∞). In generale, per x → ∞, 1/xh = o(1/xk) se h > k > 0. |
Ovviamente, limx → 0 sin(x) = 0, essendo sin continua. Per caratterizzare il modo in cui sin(x) tende a 0, osserviamo che per | |||||
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Sostituire un termine con un altro asintoticamente equivalente è comodo per determinare anche limiti del tipo "
Esempio: limx → 0 (sin(x) + x/2) / (2x + x2)
Sia (sin(x) + x/2) che 2x+x2 tendono a 0, quindi sono in un caso "0/0".
So che, per x→0, sin(x) = x+o(x), da cui sin(x)+x/2 = 3x/2+o(x) ≈ 3x/2, e che, per x→0, 2x+x2 ≈ 2x. Quindi:
limx → 0 (sin(x) + x/2) / (2x + x2) = limx → 0 3x/2 / (2x) = limx → 0 3x/(4x) = 3/4.
Un altro es.: lim x→∞(sin(1/x)+1/x2) / (1/x)
Poichè 1/x → 0 per x → ∞, siamo in un caso "0/0".
È comodo
limu → 0 (sin(u) + u2) / u
Per u → 0, sin(u) ≈ u, ossia sin(u) = u+o(u), quindi sin(u)+u2 = u+o(u)+u2 ≈ u in quanto u2=o(u) (e la somma di due termini trascurabili rispetto a u rimane trascurabile rispetto a u: o(u)+o(u) = o(u)). Dunque:
limu → 0 (sin(u) + u2) / u = limu → 0 u / u = limu → 0 1 = 1
Ancora un es.: lim x→1((x-1)2+(1-x)3+(x2-1)) / ((1-x)-(x-1)4)
Innanzi tutto osservo che considero x→1+ (per x<1 (x2-1) non è definito) e che si tratta di un caso "0/0".
√(x2-1) = √((x-1)(x+1)) ≈ √(x-1)√2 = √2(x-1)1/2
(x-1)2 = o((x-1)1/2) (x-1)3 = o((x-1)1/2)
e quindi (x-1)2+(1-x)3+√(x2-1) ≈ √2(x-1)1/2
Inoltre (x-1)4 = o(x-1) per cui (1-x)-(x-1)4 ≈ 1-x = -(x-1)
Concludendo, mi riconduco a:
limx → 1+ -(√2(x-1)1/2) / (x-1) = limx → 1+ -√2 / (x-1)1/2 = -√2 / 0+ = ∞
Potevo valutare il limite soprastante anche osservando direttamente che (x-1)1/2/(x-1) → ∞ per x → 1+ in quanto (x-1) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a (x-1)1/2.
In alcuni degli esempi fatti abbiamo usato implicitamente alcune proprietà intuitive di ≈ e di o, che ora mettiamo meglio a fuoco:
Se, per x → α, F(x) e G(x) sono entrambi infiniti o infinitesimi, F(x) ≈ f(x) e k è un numero, allora, per
F(x) · G(x) ≈ f(x) · G(x) , G(x) / F(x) ≈ G(x) / f(x), F(x) / G(x) ≈ f(x) / G(x)  e
[posso sostituire termini di prodotti o rapporti o basi di potenze con termini asintoticamente equivalenti]
e se H(x) → L (numero finito diverso da 0):
F(x) · H(x) ≈ f(x) · L
[posso sostituire anche il prodotto per un termine che ha limite non nullo con il prodotto per il limite]
Inoltre:
F(x)·o(G(x)) = o(F(x)·G(x))   e o(F(x)) ± o(F(x)) = o(F(x))
[posso inglobare "dentro" a o i termini moltiplicativi; la somma o la differenza di due termini trascurabili rispetto a un dato termine è anch'essa trascurabile rispetto ad esso]
Due esempi d'uso:
Per x → ∞, (x3 2x2 + 2)/(x + 1) + x2 x = x2+o(x2) + x2 x = 2x2+o(x2)+o(x2) ≈ 2x2.
il primo "=" usa (x32x2+2)/(x+1) ≈ (x32x2+2)/x dedotta da x+1 ≈ x
e (x32x2+2)/x ≈ x3/x = x2 dedotta da x32x2+2 ≈ x3;
(x32x2+2)/(x+1) ≈ x2 è poi trasformata in (x32x2+2)/x = x2 +o(x2);
si tiene poi conto che x = o(x2) e si usa o(x2)+o(x2) = o(x2).
Per x → 0, (sin(x) + tan(x))2 = (sin(x)·(1 + 1/cos(x)))2 ≈ (x·2)2 =
"≈" usa sin(x)·(1+1/cos(x)) ≈ x·2, dedotto da sin(x) ≈ x e da 1+1/cos(x) → 2,
da cui ricava l'equivalenza asintotica dei loro elevamenti alla 2.
La dimostrazione di queste proprietà è semplice.
Vediamo ad es. quelle relative alla moltiplicazione.
Sia, per x → α, F(x) ≈ f(x). Devo dimostrare che F(x)G(x) ≈ f(x)G(x); ipotizzo che G(x) non valga 0 avvicinandosi a 0 (se no sarei nel caso ovvio 0=0); devo dunque dimostrare che:
( F(x) · G(x) ) / ( f(x) · G(x) ) → 1 per x → α. Ho:
( F(x) · G(x) ) / ( f(x) · G(x) ) = F(x) / f(x) → 1
Siano, per x → α, F(x) ≈ f(x), H(x) → L0. Devo dimostrare che F(x)H(x) ≈ f(x)·:L, ossia che:
( F(x) · H(x) ) / ( f(x) · L ) → 1. Ho:
( F(x) · H(x) ) / ( f(x) · L) = ( F(x) / f(x) ) · (H(x)/L) → 1·1 = 1
Sia, per x → α, H(x) = F(x)·o(G(x)). Devo dimostrare che H(x) = o(F(x)·G(x)), ossia che:
H(x) / ( F(x) ·G(x) ) → 0. Ho:
H(x) / ( F(x) ·G(x) ) = F(x)·o(G(x)) / (F(x) ·G(x)) =
o(G(x)) /G(x) → 0
Si noti che, se, per x → α, F(x) ≈ f(x) e G(x) ≈ g(x),
non sempre valgono
F(x) + G(x) ≈ f(x) + g(x) e
F(x)G(x) ≈ f(x)g(x)
Per la prima relazione si consideri ad es., per x → 0, 2x+x2 + 2(x2x+x3) + xn con n intero positivo.
Posso osservare che 2x+x2 ≈ 2x e che 2(x2x+x3) ≈ 2x e potrei pensare di concludere che
Ma se evito le approssimazioni ottengo: 2x+x2 + 2(x2x+x3) + xn = 3x2+2x3+xn.
E questo termine è approssimabile con xn solo se n = 1.
Non avrei commesso errori scrivendo:
2x+x2 + 2(x2x+x3) + xn =
2x+o(x) 2x+o(x) + xn = o(x) + xn.
I problemi possono sorgere quando per x → α, come in questo caso, F(x) ≈ G(x).
Un esempio analogo, ma meno evidente, è il caso di
Verifichiamo sperimentalmente se (sin(x)+x3-x)/x3 → 1. Ecco, a destra, il valore che assume Si intuisce che il limite non è 1 ma 0.8333 = 8/10+1/30 = 25/30 = 5/6. E in effetti (come si vede in una voce successiva) si può dimostrare sin(x)-x ≈ -x3/6, per cui sin(x)+x3-x ≈ 5x3/6. | x = 1 | 0.841470984808 | |
x = 0.1 | 0.833416646828 | ||
x = 0.01 | 0.833334166664 | ||
| 0.833333341568 | ||
. . . | . . . |
[è una situazione in qualche modo analoga a quella del fenomeno della
cancellazione delle
Per la seconda relazione si possono considerare esempi già visti alla voce
Ad es. di fronte a (1+1/x)x2 per x → ∞ uno potrebbe pensare che, essendo 1+1/x ≈ 1, si abbia
(1+1/10)102 = 13780.6
, (1+1/100)1002 = 1.63
·1043,
Di fronte a lim x → 0 (cos(x) 1) / (sin(x)2 + tan(x)2), che è del tipo | ||||||||||||
sin(x) ≈ x, per cui [] sin(x)2 ≈ x2; tan(x) = sin(x)/cos(x) ≈ x (infatti per x→0 e quindi sin(x)2+tan(x)2 ≈ 2x2 (non vi sono i problemi discussi sopra in quanto i due addendi per x → 0 mantengono lo stesso segno: sin(x)2+tan(x)2 = x2+o(x2)+x2+o(x2) = 2x2+o(x2)). Per il primo termine del rapporto, |
||||||||||||
Cercando di ripetere quanto fatto sopra per studiare come si comporta sin(x) per x→0,
vediamo come approssimare il grafico di Studiamo sperimentalmente (con una calcolatrice o un programma o - qui è fatto con R) il limite per x → 0 di: K: x (cos(x) 1) / x2: | ||||||||||||
K <- function(x) (cos(x)-1)/x^2; x <- 1; a <- 0 showTree(K(x)); c(x, K(x)-a); a <- K(x); x <- x/10 showTree(K(x)); c(x, K(x)-a); a <- K(x); x <- x/10 ... -0.45969769413186 1.0000000000 -0.4596977 -0.499583472197418 0.1000000000 -0.03988578 -0.499995833347366 0.0100000000 -0.0004123611 -0.499999958325503 1.000000e-03 -4.124978e-06 -0.499999996961265 1.000000e-04 -3.863576e-08 -0.500000041370185 1.000000e-05 -4.440892e-08 -0.50004445029117 1.000000e-06 -4.440892e-05 K(x) x Δ | ||||||||||||
Dalle uscite si può congetturare che il limite sia 1/2 (il Δ indica la differenza rispetto all'uscita precedente, e consente di individuare il punto in cui le uscite incominciano a non variare più regolarmente, e ad non essere più attendibili, a causa del prevalere degli errori di arrotondamento). Si può effettivamente dimostrare che: | ||||||||||||
| ||||||||||||
Tornando al nostro limite, abbiamo lim x → 0 (cos(x) 1) / (sin(x)2 + tan(x)2) = lim x → 0 (-x2/2) / (2x2) = lim x → 0 1/4 = 1/4 La rappresentazione grafica a lato conferma questo risultato. Esercizio: testo / soluzione |
|
Alcuni esempi visti sopra, richiamati dalle figure seguenti, suggeriscono che per studiare il comportamento di una funzione F al tendere a k dell'input la si può approssimare con la funzione lineare il cui grafico sia la retta tangente al grafico di F nel punto di ascissa k. In questi esempi k=0. Nell'esempio più in basso a sinistra (discusso più avanti) k=1.
x sin(x) e x x |
Se hai già visto i concetti di derivata e differenziale
la cosa non stupisce: il differenziale F(x) = Infatti, per definizione di derivata, per x → k, (F(x)-F(k))/(x-k) → F'(k),
e questo equivale a: |
Nota. Il fatto che
Come esempio consideriamo lim x → 1(√x x) / (x2 1).
Si tratta di un caso
Per ricondurmi a un rapporto tra polinomi, approssimo √x con la funzione lineare che ha per grafico la tangente in x=1.
Dx(√x) = Dx(x1/2) = 1/2 x1/2. Per x=1 vale 1/2. Quindi, per x → 1:
√x = √1 + Dx=1(√x) (x-1) + o(x-1) = 1 + 1/2(x-1) + o(x-1) (vedi figura)
√x x = 1 + 1/2(x-1) x + o(x-1) = 1/2(1x) + o(x-1) ≈ 1/2(1x)
(√x 1) / (x2 1) ≈ 1/2 (1 x) / (x2 1)
= 1/2 (x1) / ((x1) (x+1))
= 1/(2 (x+1)) → 1/4
Verifica "grafica" e numerica: | x | (√xx) / (x21) |
1.1 | -0.2437673896659 | |
1.01 | -0.2493750192990 | |
1.001 | -0.2499375000195 | |
1.0001 | -0.2499937500006 | |
1.00001 | -0.2499993750031 |
In questo caso avrei potuto procedere anche con una manipolazione algebrica. Per x → 1:
√x x | = | (√x x)(√x + x) | = | x x2 | = | -x | → -1/4 |
| | | | ||||
x2 1 | (x2 1)(√x + x) | (x 1)(x + 1)(√x + x) | (x + 1)(√x + x) |
Infiniti/infinitesimi e congetture sperimentali
L'uso di una calcolatrice o di opportuni programmi in quasi tutte le situazioni
consente di congetturare facilmente la velocità
con cui una funzione F converge o diverge a un certo limite (L, ∞ o -∞) per
L'idea è questa: (1) 3·x2 per x = 1, 2, 4, 8,
assume i valori 3·1, 3·4, 3·16, 3·64,
,
ossia al raddoppiare dell'input l'output quadruplica. Analogamente per x = 1, 10, 100,
assume i valori 3·1, 3·100, 3·10000,
,
ossia alla moltiplicazione per 10 dell'input corrisponde una moltiplicazione per 100 dell'output.
Invece (2) 3·x2 per x = 1, 0.1, 0.001,
assume i valori 3·1, 3·0.01, 3·0.0001,
,
ossia alla divisione per 10 dell'input corrisponde una divisione per 100 dell'output.
Inoltre (3) 5/x2 per x = 1, 10, 100,
assume i valori 5, 0.05, 0.0005,
,
ossia alla moltiplicazione per 10 dell'input corrisponde una divisione per 100 dell'output.
Invece (4) 5/x2 per x = 1, 0.1, 0.001,
assume i valori 5, 500, 50000,
,
ossia alla divisione per 10 dell'input corrisponde una moltiplicazione per 100 dell'output.
Se una funzione F tende a comportarsi in modo simile a (1) posso supporre
che
Più in generale se congetturo che, per x → ∞, F(kx)/F(x) tenda
a kN (al moltiplicare l'input per k, l'output tende a moltiplicarsi per
kN) posso supporre che
Infatti se F(x) = xN + o(xN) ho:
limx → ∞ | F(kx) | = limx → ∞ | (kx)N+ o(xN) | = limx → ∞ | (kx)N | = kN |
| | | ||||
F(x) | xN+ o(xN) | xN |
Analogamente se congetturo che, per x → 0, F(x/k)/F(x) tenda
a 1/kN (al dividere l'input per k, l'output tende a dividersi per
kN) posso supporre che
In modo simile posso generalizzare quanto visto in (3) e in (4).
(sin(x)+x/2)2 per x → ∞ | |
F(x)=(sin(x)+x/2)^2 F(1) = 1.799544 F(10) = 19.85575 = 1.985575E1 F(100) = 2449.620 = 2.449620E3 F(1000) = 250827.6 = 2.508276E5 F(10000) = 2.499694E7 F(100000) = 2.500004E9 |
Al moltiplicare di x per 10 F(x) tende a moltiplicarsi per 100.
Congetturo che per |
G(x)=F(x)/x^2 G(10)=0.1985575 G(100)=0.2449620 G(1000)=0.2508276 G(10000)=0.2499694 G(100000)=0.2500003 |
A questo punto potrei studiare sperimentalmente l'approssimazione asintotica di |
... e congetturare che (sin(x)+x/2)2 ≈ 0.25 x2 per x → ∞. |
(x-1)2+(1-x)3+√(x2-1) per x → 1+ | |
F(x)=(x-1)^2+(1-x)^3+sqrt(x^2-1) F(1+1/10) = 0.4672576 F(1+1/100) = 0.1418735 F(1+1/1000) = 0.04473354 F(1+1/10000) = 0.01414250 F(1+1/100000) = 0.004472147 |
Al dividere per 100 della distanza tra x e 1 si ha che F(x) tende a dividersi per 10.
Ovvero al dividere per 10 della distanza tra x e 1 si ha che F(x) tende a dividersi per √10 =
|
G(X)=F(x)^2/(x-1) G(1+1/10)=2.183296 G(1+1/100)=2.012808 G(1+1/1000)=2.001089 G(1+1/10000)=2.000103 G(1+1/100000)=2.000010 |
A questo punto posso anche studiare sperimentalmente l'approssimazione asintotica di |
... e congetturare che (x-1)2+(1-x)3+√(x2-1) ≈ √2 √(x-1) per x → 1+. |
1 / √(sin(x)-tan(x)) per x → 0- | |
F(x)=1/sqrt(sin(x)-tan(x)) F(-1/10)=44.66532 F(-1/100)=1414.196 F(-1/1000)=44721.35 F(-1/10000)=1414214 F(-1/100000)=4.472135E8 |
Al dividere per 100 della distanza tra x e 0 si ha che F(x) tende a moltiplicarsi per 1000.
Ovvero al dividere per 10 della distanza tra x e 0 si ha che F(x) tende a moltiplicarsi per
|
G(X)=F(x)/(1/(-x)^(3/2)) G(-1/10)=1.412441 G(-1/100)=1.414196 G(-1/1000)=1.414213 H(x)=x^3/(tan(x)-sin(x)) H(1/10)=1.994991 H(1/100)=1.999950 |
Volendo posso studiare sperimentalmente l'approssimazione asintotica di Intuisco che il rapporto tra |
... congetturare che 1 / √(sin(x)-tan(x)) ≈ √2 (-x)-3/2 per x → 0-. |
Esercizi: testo/soluz.; testo/soluz.; testo (per l'ultimo limite serve la voce Funz. esponenziale e logaritmo)/soluz.; testo/soluz.
Nota. F: x → 1/x+1/2 e G: x → sin(x)+1/2, di cui è riprodotto parte del grafico a lato,
per |