Infiniti e infinitesimi

#1  Confronto tra infiniti

Due cineclub, A e B, presentano le seguenti tariffe: il primo 10 € di tessera annuale più 3 € a spettacolo; il secondo 16 € di tessera annuale più 3 € a spettacolo. I film proiettati sono delle stesso livello, ma il secondo cineclub ha una sala più accogliente (poltrone più comode, suono migliore, …). Quanto mi verrebbe a costare in più il cineclub B?
    Nel caso vedessi solo 1 film, con A mi costerebbe 10+3 = 13 €, con B 16+3 = 19 €. Se ne vedessi 10 con A spenderei in tutto 10+30 = 40 €, con B 16+30 = 46 €.

    Studiamo in generale la situazione rappresentando il costo totale annuo con tabelle e grafici.

xAt (x)
13+10 = 13
23·2+10 = 18
33·3+10 = 19
43·4+10 = 22
53·5+10 = 25
. . .. . .
103·10+10 = 40
. . .. . .
 100 310
. . .. . .
 400 1210
. . .. . .
xBt (x)
13+16 = 19
23·2+16 = 22
33·3+16 = 25
43·4+16 = 28
53·5+16 = 31
. . .. . .
103·10+16 = 46
. . .. . .
 100 316
. . .. . .
 400 1216
. . .. . .
At (x) = costo annuale per A se vi vedo x film
  = 3·x + 10;
Bt (x) = costo annuale per B se vi vedo x film
  = 3·x + 16.
I costi totali dei due cineclub tendono a coincidere per sempre più cifre (310 e 316 hanno lo stesso arrotondamento a 1 cifra, 1210 e 1216 hanno lo stesso arrotondamento a 2 cifre).

  Al crescere del numero di film visti, i costi totali tendono entrambi all'infinito, mantenendo una differenza costante di 6 €.  Ma la differenza relativa tra i costi dei due cineclub tende ad annullarsi.
  In altre parole, le ordinate dei grafici dei due cineclub hanno distanza 6, ma questa distanza tende ad essere trascurabile rispetto al valore delle ordinate stesse man mano che si avanza lungo i grafici.
 

    Abbiamo capito come vanno le cose:  se vedo molti spettacoli non c'è praticamente differenza tra quanto spenderei nei due cineclub.
    Per descrivere quanto messo in luce da tabelle e grafici, si usa dire che al crescere di x At (x) e Bt (x) sono asintoticamente uguali (o equivalenti); in simboli: At (x) Bt (x)  per x → ∞.

    Possiamo precisare questo modo di dire usando il concetto di limite per "definire"  F(x) e G(x) (che tendano aper x → α) asintoticamente uguali per x → α  quando:

limx → α F(x) / G(x) = 1

Infatti il fatto che F(x) e G(x) tendono ad avere arrotondamenti che coincidono per sempre più cifre equivale al fatto che la divisione tra di essi ha risultato che tende ad 1.

Verifichiamo la bontà di questa definizione nel caso del nostro esempio.

Per x → ∞ abbiamo che:
At (x) =  3x+10 = 1 + –6  →  1+0 = 1
—————— ———
Bt (x)3x+163x+16

[Invece di trasformare At(x)/Bt(x) in  Quoziente + Resto / Bt(x)  potevo dividere At(x)
e Bt(x) per x:   (3x+10) / (3x+16) = (3+10/x) / (3+16/x)  →  (3+0) / (3+0) = 1 ]

Nota. Nel caso dell'esempio iniziale, ovviamente, nella realtà non ha senso far tendere a ∞ il numero x degli spettacoli visti in un anno. Al massimo x potrà valere qualche centinaio, se il cineclub è aperto tutti i giorni. Tuttavia è comodo astrarre dalla situazione e far finta che x possa variare su tutto (0,∞):
pensando ai termini  At(x) = 3x + 10  e  Bt(x) = 3x + 16  e al loro comportamento per x → ∞ è più facile ragionare che facendo i calcoli caso per caso. Abbiamo già osservato in molte altre occasioni il fatto che il passaggio al modello matematico astratto (se fatto non a sproposito) serve non per complicarsi la vita ma per rendere più semplice l'esame della situazione.

#2  Qualche altro esempio.

  Per x → i grafici delle funzioni tendenti a x 2x+2 e x 2x-7 "tendono a confondersi" con quello di x 2x :  man mano che scelgo un "rettangolo cartesiano" più grande la distanza tra i grafici tende ad annullarsi:

Il motivo di ciò è che, per x → ∞, i contributi dei termini 2 e -7 tendono a diventare trascurabili rispetto al valore complessivo di, rispettivamente, 2x+2 e 2x-7.  È una situazione analoga a quella di At(x) e di Bt(x) dell'esempio iniziale. E infatti:

2x + 2 = 1 +  2  →  1+0 = 1
—————
2x2x
2x – 7 = 1 +  –7  →  1+0 = 1
—————
2x2x

  I termini F(x) = 2+1/x, G(x) = x+1/x e H(x) = 1/x, che per x → ∞ hanno comportamenti molto diversi, per x → 0+ e per x → 0- tendono tutti a e a –∞.
    I fattori additivi 2 in F(x) e x in G(x), man mano che x si avvina a 0 e 1/x cresce, diventano trascurabili rispetto al valore complessivo, da cui si può dedurre che sia F(x) che G(x) tendono a comportarsi come se avessero solo il fattore 1/x, ossia come H(x). I grafici, a destra, sembrano confermare ciò. Proviamo a usare la definizione, con 0 come α.
per  x → 0     x + 1/x  =  x2 + 1  →  02 + 1  = 1
—————————
1/x11
per  x → 0     2 + 1/x = 2x + 1  → 0 + 1 = 1
—————————
1/x11
Dunque:   per  x → 0   x + 1/x  ≈  2 + 1/x  ≈  1/x.

  Se traccio il grafico di F: x (sin(x) + x/2)2 ottengo una rappresentazione come quella qui a destra: una curva che oscilla con apparente andamento parabolico. Provo a confrontare, per x → ∞, F(x) con x2:
F(x)  =   (sin(x) + x/2)2  =  ( sin(x) + x/2 )2
————————————
x2x2x
per  x →     sin(x) + x/2 = sin(x) + 1/2   →  0 + 1/2 = 1/2
———————
xx
[ per x→∞ sin(x)/x → 0 in quanto è compreso tra 1/x e -1/x entrambi i quali tendono a 0, e il passaggio al limite conserva la relazione "≤"]
Dunque:   per  x → ∞   F(x)/x2 → (1/2)2 = 1/4, e quindi F(x)/(x2/4) → 1.
Possiamo concludere che, per x → ,   F(x) x2/4.

#3 La parola asintoticamente richiama il termine asintoto [ figure 2, distanza tra figure] e ricorda il fatto che, se F(x) ≈ G(x) per x → α, i grafici di F e G, per l'ascissa che tende ad α, tendono a confondersi. Nel penultimo esempio i grafici di F, G ed H avevano effettivamente tutti l'asse y come asintoto.
  Si noti, tuttavia, che non è detto che se due funzioni F e G hanno grafico con uno stesso asintoto si abbia che F(x)/G(x) → 1.  Ad es.: se F(x) = 1/x e G(x) = 1/x2 i loro grafici per x → 0+ hanno l'asse y come asintoto ma il loro rapporto è   F(x)/G(x) = 1/x/(1/x2) = x   che non tende a 1, ma a 0.
In altre parole, 1/x2 all'avvicinarsi di x a 0 cresce più velocemente di 1/x, per cui i due numeri assumono rapidamente ordini di grandezza molto diversi, non tendono ad essere uguali (pur tendendo entrambi a ∞).
 
    Nel caso di H(x) = 3/x ho invece H(x)/F(x) → 3, ovvero H(x)/(3·F(x)) → 1:  H(x) ≈ 3F(x).

#4  Sostituire un termine con un altro asintoticamente equivalente è molto spesso comodo per determinare limiti del tipo "∞/∞".
    Infatti lo studio del limite di F(x)/G(x) non cambia se sostituisco il termine F(x) con H(x) tale che H(x)≈F(x):

  dato che  F(x)/G(x) = F(x)/H(x)·H(x)/G(x)  e che  F(x)/H(x) → 1,  H(x)/G(x) → L quando F(x)/G(x) → L.

    Analogamente, lo studio del limite di F(x)/G(x) non cambia se sostituisco il termine G(x) con H(x) tale che H(x)≈G(x).

Esempio:  limx → ∞ (sin(x) + x/2)2 / (3 + 2x2)

Sia (sin(x) + x/2)2 che 3 + 2x2 tendono a ∞, quindi siamo in un caso "∞/∞".

Abbiamo visto che, per x→∞, (sin(x) + x/2)2 ≈ x2/4.
3 + 2x2 ≈ 2x2. Infatti (3+2x2)/(2x2) = 3/(2x2) + 2x2/(2x2) = 3/(2x2) + 1 → 0+1 = 1.
Quindi:

limx → ∞ (sin(x) + x/2)2 / (3 + 2x2) = limx → ∞ x2/4 / (2x2) = limx → ∞ 1/4/2 = 1/8.

#5  Siano F(x) e G(x) tendenti all'infinito per x → α. Se  F(x) ≈ G(x)   si scrive anche   F(x) = G(x) + o(G(x))  o  F(x)–G(x) = o(G(x)) dove  o(G(x))  ("o piccolo G di x") indica la presenza di un termine che per x→α è trascurabile rispetto a G(x):

per x → α F(x) è uguale a G(x) a meno di un termine trascurabile rispetto a G(x)

[la o piccola sta a ricordare che si tratta di un termine che dà un contributo che tende avere un ordine di grandezza piccolo rispetto a quello del termine indicato tra parentesi]

Facendo riferimento ad alcuni degli esempi visti sopra possiamo dunque scrivere:
per x → ∞, 2x + 7 = 2x + o(2x), o anche 7 = o(2x): per → ∞, 7 è trascurabile rispetto a 2x.
per x → 0, x + 1/x = 1/x + o(1/x), o anche x = o(1/x): per → 0, x è trascurabile rispetto a 1/x.
per x → ∞, sin(x) + x2 = x2 + o(x2), o anche sin(x) = o(x2): per → ∞, sin(x) è trascurabile rispetto a x2.

   Quando è che K(x) = o(G(x)), ossia che K(x) è trascurabile rispetto a G(x)?
Quando G(x)+K(x) ≈ G(x), ossia quando (G(x)+K(x))/G(x) → 1. Ma questo equivale a:
G(x)/G(x) + K(x)/G(x) = 1 + K(x)/G(x) → 1, ossia a  K(x)/G(x) → 0.

    Con queste notazioni:
  per x→∞  x = o(x) (se x→∞ in x+x il contributo di x tende ad essere trascurabile, ovvero x/x → 0),  x3 = o(x4) e, in generale,
xh = o(xk)   se 0 < h < k   (infatti xh/xk = 1/xh-k → 0 per x → ∞). Vedi figura a lato.
  Se F(x) e G(x) per x → ∞ sono infiniti (ossia tendono a ∞ o -∞) con F(x) = o(G(x)) (F trascurabile rispetto a G) si dice anche che F(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a G(x).

Un altro esempio di limite:   lim x→∞(√x + x3 + x – 130) / (3x3 + 2).
 

√x + x3 + x – 130 ≈ x3 in quanto √x, x e –130 sono tutti trascurabili rispetto a x3.  Analogamente 3x3 + 2 ≈ 3x3.  Quindi il limite equivale a:
              lim x→∞ x3 / (3x3) = lim x→∞ 1/3 = 1/3

#6  Quando, per x → α, F(x) e G(x) tendono all'infinito e F(x) ≈ k·G(x), ossia F(x)/G(x) → k (0), si dice che F(x) e G(x) sono due infiniti dello stesso ordine.

Abbiamo appena visto che  √x + x3 + x – 130  e  3x3 + 2  per x → ∞ sono infiniti dello stesso ordine.

#7  Si noti che o(f(x)) non indica un termine ben preciso ma solo la presenza di un termine trascurabile rispetto a f(x).
    Ad se ho che, per x → ∞,  F(x) = f(x) + o(x2)  e  G(x) = g(x) + o(x2),  gli "o(x2)" che compaiono nelle due formule indicano termini diversi,
e posso scrivere  F(x)+G(x) = f(x)+g(x) + o(x2)  in quanto la somma di due termini trascurabili rispetto a x2 sarà ancora un termine trascurabile rispetto a x2.
    Analogamente ho che F(x)–G(x) = f(x)–g(x) + o(x2):  non posso semplificare un o(x2) con l'altro o(x2); infatti di una differenza di due termini trascurabili rispetto a x2 posso solo dire, in assenza di altre informazioni, che sarà anch'essa trascurabile rispetto a x2.

Nota. Accanto alla o-notazione esiste la O-notazione, dove la lettera "o" ricorda sempre il significato di "ordine" di infinito (o, come verdremo più avanti, di infinitesimo).  Mentre  F(x) = f(x) + o(x²)  indica che F(x) e f(x) differiscono per un termine di ordine trascurabile rispetto a x²,  F(x) = f(x) + O(x²)  indica che F(x) e f(x) differiscono per un termine che è dello stesso ordine di x² o di ordine trascurabile rispetto a x².  Occorre stare attenti a non confondere le due notazioni.

 

#8 Confronto tra infinitesimi

Considerazioni e definizioni analoghe si hanno per il caso in cui F(x) e G(x) per x → α (finito o infinito) tendano a 0, ossia siano degli infinitesimi.

Di fronte a  lim x→0(x2+3x)/(2x+5x4),  che è del tipo "0/0", cerchiamo di capire come si possono approssimare, per x→0, x2+3x e 2x+5x4.

I grafici che seguono mettono in luce che, per x→0, x2+3x e 3x tendono a confondersi, ovvero in 0 hanno la stessa pendenza, ovvero y=3x è la retta tangente a x2+3x per x=0 (la retta tangente al grafico di una funzione F per x=p è tra le rette passanti per (p,F(p)), quella che "meglio approssima" il grafico).

Anche in questo caso posso tradurre la cosa dicendo che la differenza tra x2+3x e 3x, ossia x2, è trascurabile rispetto a 3x:

per x → 0 x2 / 3x = x/3 → 0(x2 è trascurabile rispetto a 3x: x2 = o(x)),
ovvero(x2+3x)/(3x) = x/3+1 → 1  (x2+3x equivale asintoticamente a 3x: x2+3x 3x).

    Del resto, se faccio un po' di calcoli, osservo che per x = 1, 0.1, 0.01, … il valore di x2 ha ordine di grandezza man mano sempre più piccolo di quello di 3x. Il valore di x2 incide sul valore di cifre di posto sempre più lontano dall'ordine di grandezza di 3x+x2:
x10.10.010.001...
3x30.30.030.003...
x210.010.00010.000001...
3x+x2   40.310.03010.003001...

Dunque, per x→0, x2+3x ≈ 3x.  Analogamente 2x+5x4 ≈ 2x, per cui
lim x→0(x2+3x)/(2x+5x4)  lo riconduco a  lim x→03x/(2x) = lim x→03/2 = 1.5.

    In generale, per x → 0   xh = o(xk)  se h > k > 0  (infatti xh/xk = xh-k → 0 per x → 0).

      La cosa può essere vista anche nei grafici di "2 figure fa".  Più è alto l'esponente N più la curva y = xN velocemente si spiaccica sull'asse x, per cui, per x → 0, il contributo di xN tende ad essere trascurabile rispetto a quello di x elevato a un esponente minore.  Esattamente il contrario di quanto accade per x → ∞.
   Se ci si sposta orizzontalmente di α (α numero qualunque), cioè se si sostituisce x con x–α e si considera x → α, l'andamento dei grafici non cambia (vedi figura a lato, con α = 1.5), e si ha:
    per x → α   (x-α)h = o((x-α)k) se h > k > 0.
   Se F(x) e G(x) per x → α sono infinitesimi con F(x) = o(G(x)) (F trascurabile rispetto a G) si dice anche che F(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a G(x) per x → α.  Si dice che sono infinitesimi dello stesso ordine se F(x)/G(x) → k 0.

#9  Studiamo il comportamento di F: x 1/x, G: x 1/x2 e H: x 3/x già considerate sopra, ma questa volta per x → . Sono tutte e tre infinitesime, ossia hanno l'asse x come asintoto.
G(x)/F(x) = 1/x2/(1/x) = 1/x → 0 per x → ∞ :  1/x2 al crescere di x si avvicina a 0 più velocemente di 1/x, ossia è un ininitesimo di ordine trascurabile rispetto a 1/x (1/x2 = o(1/x) per x → ∞);
H(x)/F(x) → 3, ovvero H(x)/(3·F(x)) → 1  (H(x) ≈ 3F(x) per x → ∞).
    In generale, per x → ,   1/xh = o(1/xk)  se h > k > 0.
 

#10   Ovviamente, limx → 0 sin(x) = 0, essendo sin continua.
Per caratterizzare il modo in cui sin(x) tende a 0, osserviamo che per x → 0 i grafici  y = sin(x)  e  y = x  tendono a confondersi, come si può osservare meglio dagli zoom del grafico della funzione seno ottenibili cliccando sull'immagine a fianco.  La animazione che si apre presenta anche una tabulazione di sin(x)/x che ci consolida la congettura (effettivamente dimostrabile) che:
per x → 0,   sin(x) ≈ x,  ovvero:   sin(x)  1
———
x

#11  Sostituire un termine con un altro asintoticamente equivalente è comodo per determinare anche limiti del tipo "0/0".

Esempio:  limx → 0 (sin(x) + x/2) / (2x + x2)

Sia  (sin(x) + x/2)  che  2x+x2  tendono a 0, quindi sono in un caso "0/0".

So che, per x→0, sin(x) = x+o(x), da cui sin(x)+x/2 = 3x/2+o(x) ≈ 3x/2, e che, per x→0, 2x+x2 ≈ 2x. Quindi:

limx → 0 (sin(x) + x/2) / (2x + x2) = limx → 0 3x/2 / (2x) = limx → 0 3x/(4x) = 3/4.

Un altro es.:  lim x→∞(sin(1/x)+1/x2) / (1/x)

Poichè 1/x → 0 per x → ∞, siamo in un caso "0/0".
È comodo [ limiti] indicare 1/x con u e ripensare il limite come:

limu → 0 (sin(u) + u2) / u

Per u → 0, sin(u) ≈ u, ossia sin(u) = u+o(u), quindi sin(u)+u2 = u+o(u)+u2 ≈ u in quanto u2=o(u) (e la somma di due termini trascurabili rispetto a u rimane trascurabile rispetto a u: o(u)+o(u) = o(u)). Dunque:

limu → 0 (sin(u) + u2) / u = limu → 0 u / u = limu → 0 1 = 1

Ancora un es.:  lim x→1((x-1)2+(1-x)3+(x2-1)) / ((1-x)-(x-1)4)

Innanzi tutto osservo che considero x→1+ (per x<1  (x2-1) non è definito) e che si tratta di un caso "0/0".
√(x2-1) = √((x-1)(x+1)) ≈ √(x-1)√2 = √2(x-1)1/2
(x-1)2 = o((x-1)1/2)     (x-1)3 = o((x-1)1/2)
e quindi   (x-1)2+(1-x)3+√(x2-1) ≈ √2(x-1)1/2
Inoltre  (x-1)4 = o(x-1) per cui  (1-x)-(x-1)4 ≈ 1-x = -(x-1)
Concludendo, mi riconduco a:

limx → 1+ -(√2(x-1)1/2) / (x-1) = limx → 1+ -√2 / (x-1)1/2 = -√2 / 0+ = –∞

Potevo valutare il limite soprastante anche osservando direttamente che  (x-1)1/2/(x-1) → ∞ per x → 1+  in quanto (x-1) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a (x-1)1/2.

#12 Proprietà di  e di o

In alcuni degli esempi fatti abbiamo usato implicitamente alcune proprietà intuitive di e di o, che ora mettiamo meglio a fuoco:

Se, per x → α, F(x) e G(x) sono entrambi infiniti o infinitesimi, F(x) ≈ f(x) e k è un numero, allora, per x → α,

F(x) · G(x) f(x) · G(x) ,   G(x) / F(x) G(x) / f(x),   F(x) / G(x) f(x) / G(x)  e   F(x)kf(x)k.

[posso sostituire termini di prodotti o rapporti o basi di potenze con termini asintoticamente equivalenti]

e se H(x) → L (numero finito diverso da 0):

F(x) · H(x) f(x) · L

[posso sostituire anche il prodotto per un termine che ha limite non nullo con il prodotto per il limite]

Inoltre:

F(x)·o(G(x)) = o(F(x)·G(x))   e   o(F(x)) ± o(F(x)) = o(F(x))

[posso inglobare "dentro" a o i termini moltiplicativi; la somma o la differenza di due termini trascurabili rispetto a un dato termine è anch'essa trascurabile rispetto ad esso]

Due esempi d'uso:

Per x → ∞,  (x3 – 2x2 + 2)/(x + 1) + x2 – x   =   x2+o(x2) + x2 – x  =   2x2+o(x2)+o(x2)  ≈   2x2.

il primo "=" usa   (x3–2x2+2)/(x+1) ≈ (x3–2x2+2)/x  dedotta da  x+1 ≈ x
e  (x3–2x2+2)/x ≈ x3/x = x2  dedotta da  x3–2x2+2 ≈ x3;
(x3–2x2+2)/(x+1) ≈ x2 è poi trasformata in  (x3–2x2+2)/x = x2 +o(x2);
si tiene poi conto che –x = o(x2) e si usa o(x2)+o(x2) = o(x2).

Per x → 0,  (sin(x) + tan(x))2  =  (sin(x)·(1 + 1/cos(x)))2  ≈  (x·2)2  =  4x2

"" usa  sin(x)·(1+1/cos(x)) ≈ x·2, dedotto da sin(x) ≈ x e da 1+1/cos(x) → 2,
da cui ricava l'equivalenza asintotica dei loro elevamenti alla 2.

    La dimostrazione di queste proprietà è semplice. Vediamo ad es. quelle relative alla moltiplicazione.
Sia, per x → α, F(x) ≈ f(x). Devo dimostrare che F(x)G(x) ≈ f(x)G(x); ipotizzo che G(x) non valga 0 avvicinandosi a 0 (se no sarei nel caso ovvio 0=0); devo dunque dimostrare che:
( F(x) · G(x) ) / ( f(x) · G(x) )  → 1 per x → α.   Ho:
( F(x) · G(x) ) / ( f(x) · G(x) )  =  F(x) / f(x) → 1

Siano, per x → α, F(x) ≈ f(x), H(x) → L0. Devo dimostrare che F(x)H(x) ≈ f(x)·:L, ossia che:
( F(x) · H(x) ) / ( f(x) · L )  → 1.   Ho:
( F(x) · H(x) ) / ( f(x) · L)  =  ( F(x) / f(x) ) · (H(x)/L) → 1·1 = 1 

Sia, per x → α, H(x) = F(x)·o(G(x)). Devo dimostrare che H(x) = o(F(x)·G(x)), ossia che:
H(x) / ( F(x) ·G(x) )  → 0.   Ho:
H(x) / ( F(x) ·G(x) )  =  F(x)·o(G(x)) / (F(x) ·G(x))   =  o(G(x)) /G(x) → 0 

#13   Si noti che, se, per x → α, F(x) ≈ f(x) e G(x) ≈ g(x),
non sempre valgono  F(x) + G(x) f(x) + g(x)   e   F(x)G(x) f(x)g(x)

Per la prima relazione si consideri ad es., per x → 0,  2x+x2 + 2(x2–x+x3) + xn con n intero positivo.
Posso osservare che  2x+x2 ≈ 2x  e che  2(x2–x+x3) ≈ –2x  e potrei pensare di concludere che  2x+x2 + 2(x2–x+x3) + xn ≈ 2x + –2x + xn = xn.
    Ma se evito le approssimazioni ottengo:  2x+x2 + 2(x2–x+x3) + xn = 3x2+2x3+xn.
E questo termine è approssimabile con xn solo se n = 1.
    Non avrei commesso errori scrivendo:
2x+x2 + 2(x2–x+x3) + xn  =  2x+o(x) –2x+o(x) + xn  =  o(x) + xn.
    I problemi possono sorgere quando per x → α, come in questo caso, F(x) ≈ –G(x).
Un esempio analogo, ma meno evidente, è il caso di  sin(x)+x3-x  per x → 0:  si potrebbe pensare che, dato che sin(x) ≈ x, si abbia: sin(x)+x3-xx+x3-x = x3.

Verifichiamo sperimentalmente se (sin(x)+x3-x)/x3 → 1.
Ecco, a destra, il valore che assume sin(x)+x3-x assegnando a x una successione di valori tendente a 0.
Si intuisce che il limite non è 1 ma 0.8333… = 8/10+1/30 = 25/30 = 5/6. E in effetti (come si vede in una voce successiva) si può dimostrare sin(x)-x ≈ -x3/6, per cui sin(x)+x3-x ≈ 5x3/6.
     x = 10.841470984808
x = 0.10.833416646828
x = 0.010.833334166664
x = 0.001   0.833333341568
. . .. . .

[è una situazione in qualche modo analoga a quella del fenomeno della cancellazione delle cifre :  facendo la differenza tra le approssimazioni di due numeri con lo stesso ordine di grandezza si può ottenere un risultato che male approssima il risultato effettivo].

Per la seconda relazione si possono considerare esempi già visti alla voce limite.
Ad es. di fronte a (1+1/x)x2 per x → ∞ uno potrebbe pensare che, essendo 1+1/x ≈ 1, si abbia (1+1/x)x2 ≈ 1x2 = 1, mentre (1+1/x)x2 → ∞:
(1+1/10)102 = 13780.6…,  (1+1/100)1002 = 1.63…·1043, …

Esercizio (e soluzione)

#14  Ancora un esempio

Di fronte a  lim x → 0 (cos(x) – 1) / (sin(x)2 + tan(x)2), che è del tipo "0/0", non ho problemi ad approssimare con un polinomio il secondo termine del rapporto:
sin(x) ≈ x, per cui [] sin(x)2 ≈ x2;
tan(x) = sin(x)/cos(x) ≈ x (infatti per x→0 sin(x)≈x e cos(x)→1), per cui tan(x)2 ≈ x2;
e quindi sin(x)2+tan(x)2 ≈ 2x2  (non vi sono i problemi discussi sopra in quanto i due addendi per x → 0 mantengono lo stesso segno: sin(x)2+tan(x)2 = x2+o(x2)+x2+o(x2) = 2x2+o(x2)).
    Per il primo termine del rapporto, cos(x) – 1, ragioniamo facendo riferimento alla figura a fianco.
 
    Cercando di ripetere quanto fatto sopra per studiare come si comporta sin(x) per x→0, vediamo come approssimare il grafico di x cos(x)–1 con una funzione polinomiale. In questo caso sembra che l'andamento vicino a x=0 sia più o meno quello di una parabola, ossia il grafico di una funzione del tipo x h·x2. Proviamo dunque a vedere se cos(x)–1 ≈ h·x2 per qualche h diverso da 0.
    Studiamo sperimentalmente (con una calcolatrice o un programma o … - qui è fatto con R) il limite per x → 0 di:
      K: x (cos(x) – 1) / x2:

K <- function(x) (cos(x)-1)/x^2; x <- 1; a <- 0
showTree(K(x)); c(x, K(x)-a); a <- K(x); x <- x/10
showTree(K(x)); c(x, K(x)-a); a <- K(x); x <- x/10
...
-0.45969769413186    1.0000000000  -0.4596977
-0.499583472197418   0.1000000000  -0.03988578
-0.499995833347366   0.0100000000  -0.0004123611
-0.499999958325503   1.000000e-03  -4.124978e-06
-0.499999996961265   1.000000e-04  -3.863576e-08
-0.500000041370185   1.000000e-05  -4.440892e-08
-0.50004445029117    1.000000e-06  -4.440892e-05
      K(x)                x              Δ
Dalle uscite si può congetturare che il limite sia –1/2  (il Δ indica la differenza rispetto all'uscita precedente, e consente di individuare il punto in cui le uscite incominciano a non variare più regolarmente, e ad non essere più attendibili, a causa del prevalere degli errori di arrotondamento). Si può effettivamente dimostrare che:
per x → 0,   cos(x) – 1 ≈ –x2/2,  ovvero:   cos(x) – 1  1
—————– 
x22
Tornando al nostro limite, abbiamo
  lim x → 0 (cos(x) – 1) / (sin(x)2 + tan(x)2) =
  lim x → 0 (-x2/2) / (2x2) = lim x → 0 –1/4 = –1/4
La rappresentazione grafica a lato conferma questo risultato.

    Esercizio:  testo / soluzione
 

#15  Infinitesimi e differenziali

Alcuni esempi visti sopra, richiamati dalle figure seguenti, suggeriscono che per studiare il comportamento di una funzione F al tendere a k dell'input la si può approssimare con la funzione lineare il cui grafico sia la retta tangente al grafico di F nel punto di ascissa k. In questi esempi k=0. Nell'esempio più in basso a sinistra (discusso più avanti) k=1.

x sin(x)   e   x x

   

Se hai già visto i concetti di  derivata e differenziale la cosa non stupisce: il differenziale dF(x) [= F'(k)Δx] viene introdotto in modo da approssimare la variazione ΔF(x) mediante una relazione di proporzionalità con Δx, e il fattore di proporzionalità, ossia F'(k), non è altro che la pendenza della retta che approssima il grafico di F. Con le notazioni introdotte in questa voce possiamo scrivere, se F'(k) 0,  F(x)-F(k)F'(k)(x-k), ovvero:

F(x) = F(k) + F'(k)(x-k) + o(x-k)

    Infatti, per definizione di derivata, per x → k,  (F(x)-F(k))/(x-k) → F'(k), e questo equivale a:  F(x)-F(k)F'(k)(x-k) ossia a:  F(x)-F(k) = F'(k)(x-k) + o(x-k), che equivale alla relazione scritta sopra (e che possiamo leggere: "la variazione di F(x) è uguale al differenziale a meno di infinitesimi di ordine superiore rispetto a Δx").

NotaIl fatto che F(x)-F(k)F'(k)(x-k) permette di valutare approssimativamente il legame tra la precisione con cui si conosce k e quella con cui prendere F(k). Se, in particolare, F(x) = xα, e quindi F'(x) = α·xα-1, abbiamo Δxαα·xα-1·Δx; la precisione relativa è dunque  Δxα/xαα·Δx/x, ossia circa α volte quella di x.  Ad esempio se so che la grandezza B è pari al cubo della grandezza A e conosco i valori di A con la precisione relativa del 2%, posso dedurre che i valori di B che ne ricavo hanno una precisione relativa di circa il 3·2% = 6%.  Verifichiamolo praticamente: il cubo di x·(1+2%) = x·(1.02) è x³·1.061208 = x³·(1+6.1208%) ≈ x³·(1+6%).  Questo generalizza considerazioni già svolte introducendo i concetti di  derivata e differenziale (là avevamo la radice quadrata, ossia l'elevamento alla 1/2, che dà luogo ad una precisione relativa circa dimezzata).

Come esempio consideriamo  lim x → 1(√x – x) / (x2 – 1).  Si tratta di un caso "0/0".
Per ricondurmi a un rapporto tra polinomi, approssimo √x con la funzione lineare che ha per grafico la tangente in x=1.
Dx(√x) = Dx(x1/2) = 1/2 x–1/2. Per x=1 vale 1/2. Quindi, per  x → 1:
√x = √1 + Dx=1(√x) (x-1) + o(x-1) = 1 + 1/2(x-1) + o(x-1)  (vedi figura)
√x – x = 1 + 1/2(x-1) – x + o(x-1) = 1/2(1–x) + o(x-1) ≈ 1/2(1–x)
(√x – 1) / (x2 – 1)  ≈  1/2 (1 – x) / (x2 – 1) = –1/2 (x–1) / ((x–1) (x+1)) = –1/(2 (x+1))  → –1/4

 Verifica "grafica" e numerica:
x(√x–x) / (x2–1) 
1.1-0.2437673896659
1.01-0.2493750192990
1.001-0.2499375000195
1.0001-0.2499937500006
1.00001-0.2499993750031

In questo caso avrei potuto procedere anche con una manipolazione algebrica. Per x → 1:

√x – x  = (√x – x)(√x + x)  = x – x2  = -x  → -1/4
——— ——————— ————————— ——————
x2 – 1 (x2 – 1)(√x + x) (x – 1)(x + 1)(√x + x) (x + 1)(√x + x)
[per x → 1 i termini di questa catena di eguaglianze sono equivalenti, in quanto non ci importa che cosa accade per x=1, in cui i primi termini della catena non sono definiti mentre lo è l'ultimo]

#16  Infiniti/infinitesimi e congetture sperimentali

L'uso di una calcolatrice o di opportuni programmi in quasi tutte le situazioni consente di congetturare facilmente la velocità con cui una funzione F converge o diverge a un certo limite (L, ∞ o -∞) per x → α, ossia l'ordine di infinitesimo con cui tende a 0 la distanza tra F(x) e L o l'ordine di infinito con cui F(x) tende a ∞ o a -∞.
    L'idea è questa:  (1) 3·x2 per x = 1, 2, 4, 8, … assume i valori 3·1, 3·4, 3·16, 3·64, …, ossia al raddoppiare dell'input l'output quadruplica. Analogamente per x = 1, 10, 100, … assume i valori 3·1, 3·100, 3·10000, …, ossia alla moltiplicazione per 10 dell'input corrisponde una moltiplicazione per 100 dell'output.
    Invece (2) 3·x2 per x = 1, 0.1, 0.001, … assume i valori 3·1, 3·0.01, 3·0.0001, …, ossia alla divisione per 10 dell'input corrisponde una divisione per 100 dell'output.
    Inoltre (3) 5/x2 per x = 1, 10, 100, … assume i valori 5, 0.05, 0.0005, …, ossia alla moltiplicazione per 10 dell'input corrisponde una divisione per 100 dell'output.
    Invece (4) 5/x2 per x = 1, 0.1, 0.001, … assume i valori 5, 500, 50000, …, ossia alla divisione per 10 dell'input corrisponde una moltiplicazione per 100 dell'output.
    Se una funzione F tende a comportarsi in modo simile a (1) posso supporre che F(x) per x → ∞ sia un infinito dello stesso ordine di x2. Se tende a comportarsi in modo simile a (2) posso supporre che F(x) per x → 0 sia un infinitesimo dello stesso ordine di x2. Se tende a comportarsi in modo simile a (3) posso supporre che F(x) per x → ∞ sia un infinitesimo dello stesso ordine di 1/x2. Se tende a comportarsi in modo simile a (4) posso supporre che F(x) per x → 0+ sia un infinitesimo dello stesso ordine di 1/x2.

    Più in generale se congetturo che, per x → ∞, F(kx)/F(x) tenda a kN (al moltiplicare l'input per k, l'output tende a moltiplicarsi per kN) posso supporre che F(x) sia un infinito dello stesso ordine di xN.
    Infatti se  F(x) = xN + o(xN)  ho:

limx → ∞ F(kx)  = limx → ∞ (kx)N+ o(xN)  = limx → ∞ (kx)N  = kN
—— ———— ———
F(x) xN+ o(xN) xN

    Analogamente se congetturo che, per x → 0, F(x/k)/F(x) tenda a 1/kN (al dividere l'input per k, l'output tende a dividersi per kN) posso supporre che F(x) sia un infinitesimo dello stesso ordine di xN.

    In modo simile posso generalizzare quanto visto in (3) e in (4).

#17 Facciamo qualche esempio:

(sin(x)+x/2)2 per x → ∞
F(x)=(sin(x)+x/2)^2
F(1) = 1.799544
F(10) = 19.85575 = 1.985575E1
F(100) = 2449.620 = 2.449620E3
F(1000) = 250827.6 = 2.508276E5 
F(10000) = 2.499694E7
F(100000) = 2.500004E9
Al moltiplicare di x per 10 F(x) tende a moltiplicarsi per 100. Congetturo che per x → ∞ sia un infinito dello stesso ordine rispetto a x2. Sopra abbiamo visto come si può confermare questa congettura.
 
G(x)=F(x)/x^2
G(10)=0.1985575
G(100)=0.2449620
G(1000)=0.2508276
G(10000)=0.2499694
G(100000)=0.2500003
A questo punto potrei studiare sperimentalmente l'approssimazione asintotica di F(x) ...
... e congetturare che (sin(x)+x/2)20.25 x2 per x → ∞.

(x-1)2+(1-x)3+√(x2-1) per x → 1+
F(x)=(x-1)^2+(1-x)^3+sqrt(x^2-1) 
F(1+1/10) = 0.4672576
F(1+1/100) = 0.1418735
F(1+1/1000) = 0.04473354
F(1+1/10000) = 0.01414250
F(1+1/100000) = 0.004472147
Al dividere per 100 della distanza tra x e 1 si ha che F(x) tende a dividersi per 10. Ovvero al dividere per 10 della distanza tra x e 1 si ha che F(x) tende a dividersi per √10 = 101/2. Congetturo che per x → 1+ sia un infinitesimo dello stesso ordine rispetto a √(x-1) = (x-1)1/2. La conferma teorica può essere trovata con considerazioni simili a quelle svolte sopra per studiare un limite che coinvolgeva questo termine F(x).
 
G(X)=F(x)^2/(x-1)
G(1+1/10)=2.183296
G(1+1/100)=2.012808
G(1+1/1000)=2.001089
G(1+1/10000)=2.000103
G(1+1/100000)=2.000010
A questo punto posso anche studiare sperimentalmente l'approssimazione asintotica di F(x)  (per analizzare meglio le uscite posso eliminare la radice elevando al quadrato il rapporto tra F(x) e √(x-1), poi farò la radice del valore su cui le uscite tendono a stabilizzarsi) ...
... e congetturare che  (x-1)2+(1-x)3+√(x2-1) ≈ √2 √(x-1) per x → 1+.

1 / √(sin(x)-tan(x)) per x → 0-
F(x)=1/sqrt(sin(x)-tan(x)) 
F(-1/10)=44.66532
F(-1/100)=1414.196
F(-1/1000)=44721.35
F(-1/10000)=1414214
F(-1/100000)=4.472135E8
Al dividere per 100 della distanza tra x e 0 si ha che F(x) tende a moltiplicarsi per 1000. Ovvero al dividere per 10 della distanza tra x e 0 si ha che F(x) tende a moltiplicarsi per 103/2. Congetturo che per x → 0- sia un infinito dello stesso ordine rispetto a 1/(-x)3/2 (ho considerato -x in modo che da ottenere un termine definito per x<0).
 
G(X)=F(x)/(1/(-x)^(3/2))
G(-1/10)=1.412441
G(-1/100)=1.414196
G(-1/1000)=1.414213

H(x)=x^3/(tan(x)-sin(x))
H(1/10)=1.994991
H(1/100)=1.999950
Volendo posso studiare sperimentalmente l'approssimazione asintotica di F(x).
Intuisco che il rapporto tra F(x) e 1/(-x)3/2 tende a √2; posso veder meglio la cosa studiando il quadrato di questo rapporto e osservando che tende a 2. In definitiva posso ...
... congetturare che  1 / √(sin(x)-tan(x)) ≈ √2 (-x)-3/2 per x → 0-.

Esercizi:   testo/soluz.;   testo/soluz.;   testo (per l'ultimo limite serve la voce Funz. esponenziale e logaritmo)/soluz.;   testo/soluz.

#17 Nota.  F: x → 1/x+1/2 e G: x → sin(x)+1/2, di cui è riprodotto parte del grafico a lato, per x → ∞ tendono entrambe ad 1/2. Entrambe, per x → ∞, hanno la retta y = 1/2 come asintoto. Ma, se consideriamo F e G nel dominio (0,∞), solo la prima ha 1/2 come estremo inferiore in quanto solo il suo grafico sta sempre sopra alla retta y = 1/2. G, invece, ha punti del grafico che stanno sotto ad essa.   

 altri collegamenti     [nuova pagina]     Considerazioni Didattiche