Essendo f continua abbiamo (assumendo come definizione di continuità quella usata alle voci continutà e limite) che comunque fissi n (intero positivo) posso trovare δn > 0 tale che, se due punti x' e x" dell'intervallo [a, b] distano tra loro meno di δn , la funzione assume in essi valori che differiscono al più 1/n.  La funzione ha quindi grafico che sta in una specie di striscia ampia b − a e alta al più 1/n.  Prendendo n sufficientemente grande posso trovare una striscia contenente il grafico di f piccola a piacere, di area al più (b-a)/n, che tende a 0 per n→∞.  Le aree dei due istrogrammi, quello col bordo superiore al di sopra del grafico e quello col bordo superiore al di sotto di esso, differiscono per una striscia di area che tende a 0, quindi tendono ad essere uguali, e di area uguale all'integrale cercato, ossia all'integrale tra a e b della nostra f.