Matematica attuariale

#1  Introduzione

La matematica attuariale si occupa della valutazione di capitali legati ad eventi aleatori, ai quali sia però possibile attribuire una probabilità, sulla base di indagini statistiche. Il nome deriva dal latino actuarius, che in origine indicava lo scrivano incaricato di raccogliere i discorsi pronunciati al Senato e nelle altre riunioni ufficiali, e poi, nel Medioevo, il funzionario incaricato di registrare e conservare gli atti pubblici.

In particolare, la matematica attuariale si occupa delle assicurazioni sulla vita. Il codice civile italiano dà la seguente definizione di assicurazione (dove il termine "rivalere", usato un tempo nella lingua italiana come sinonimo di "rivalersi", qui si suppone che significhi "rimborsare" - è un significato con cui il termine è stato inserito nel codice senza che tale significato fosse presente in un alcun vocabolario della lingua italiana, come accade in vari casi nei codici e negli scritti "burocratici" italiani):

L'assicurazione è un contratto nel quale l'assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere l'assicurato, entro i limiti convenuti, dei danni a lui prodotti da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umana.

Nei contratti di assicurazione quindi uno dei contraenti vuole coprire un rischio e l'altro accetta, dietro adeguato compenso (premio), di fornire copertura finanziaria nel caso si verifichino gli eventi assicurati.

Rispetto all'oggetto del contratto l'assicurazione è  /
\
 contro i danni  
     sulla vita     

#2  Assicurazioni sulla vita

Riferiamoci, qui, solo alle assicurazioni sulla vita, prendendo in considerazione particolare solo tre casi:
•  assicurazione in caso di vita
•  assicurazione in caso di morte
•  assicurazione mista.

In un contratto d'assicurazione sulla vita si distinguono:
–  l'assicuratore, che si impegna a corrispondere le somme concordate al verificarsi di determinati eventi di vita o di morte;
–  il contraente, che stipula il contratto e che si impegna a pagare una o più somme;
–  il/i beneficiario/i, a cui l'assicuratore dovrà pagare le somme assicurate al verificarsi dell'evento stabilito;
–  l'assicurato, la cui esistenza in vita o la cui morte costituisce l'evento che determina il pagamento da parte dell'assicuratore delle somme dovute.

Il capitale versato dal contraente all'assicurazione si chiama premio, mentre quello che eventualmente l'assicuratore verserà al beneficiario è detto capitale assicurato.

Il premio è  /
\
 unico se pagato alla stipulazione del contratto 
 periodico se corrisposto in più rate 

La matematica attuariale studia i modelli matematici che permettono il calcolo del premio puro, che si determina tenendo conto solo dell'impegno che l'assicurato ha nei confronti del beneficiario. Il premio puro è poi caricato dall'assicurazione per pagare le spese sostenute e per avere un guadagno. Più precisamente:

Il premio puro (o "netto" o "di indifferenza") è la parte del premio versato dall'assicuratore all'assicurato in caso di sinistro. Il premio puro,  che con i caricamenti  (i costi sostenuti dall'assicuratore per l’acquisizione e l'amministrazione del contratto, comprese le spese per la gestione dei sinistri, e gli utili dell'assicuratore stesso)  va a comporre (assieme agli oneri fiscali) il premio di tariffa,  è calcolato sulla base del rischio assunto dall'assicuratore.  Nelle assicurazioni contro i danni, il premio puro viene calcolato in base alle previsioni relative alla frequenza e al costo medio dei sinistri.  Nelle assicurazioni sulla vita viene determinato sulla base di ipotesi demografiche (probabilità di morte o di sopravvivenza degli assicurati) e di ipotesi finanziarie (rendimento ottenibile sui mercati finanziari).

#3  Gioco equo

L'assicuratore perde o guadagna, a seconda che si verifichi o no l'evento coperto dall'assicurazione. Pertanto un'assicurazione, se si prescinde dal suo significato sociale, non è altro che un gioco organizzato. Un assicuratore gestisce un gran numero di contratti e, quindi, se calcola i premi in modo che, rispetto ai capitali assicurati, ciascun contratto di assicurazione abbia le caratteristiche di un gioco equo, nel complesso non dovrebbe avere né perdite né guadagni.

Se in un gioco si ha la probabilità p di vincere la somma S, si definisce speranza matematica della somma S il prodotto della somma S per la probabilità p.
    In generale, se S1, S2,...Sn sono delle somme (guadagni o perdite) la cui disponibilità è legata al verificarsi di n eventi che costituiscono una partizione dell'evento certo, si definisce speranza matematica la somma dei prodotti delle Si per le rispettive probabilità.
    Questo valore non è altro che il valore medio della variabile casuale X = "guadagno del giocatore" [ leggi di distribuzione], la cui distribuzione è

  X    S1   S2    ...     Sn 
Prp1p2...pn
     Σ i=1…n pi = 1

M(X) = S1·p1 + S2·p2 + ... + Sn·pn

Un gioco è equo se alla fine di molte partite i giocatori antagonisti si trovano (circa) nelle stesse condizioni di partenza; nel modello matematico ciò accade quando la speranza matematica di ciascun giocatore è nulla.

In un gioco organizzato, normalmente, per avere diritto a partecipare al gioco si paga una somma prima di iniziare a giocare, quindi le vincite sono vincite lorde.

Il prezzo che si paga per partecipare ad un gioco equo organizzato è uguale alla speranza matematica della vincita lorda.

Approfondimenti  nei seguenti appunti,   nella versione inglese di WikiPedia   e in   WolframAlpha  (vedi gli esempi in  Money&Finance  e le voci  Mathworld subject actuarial mathematicsMathworld subject financeMathworld subject economicsMathWorld subject population dynamics).