Matematica attuariale   [in costruzione]

  Introduzione

La matematica attuariale si occupa della valutazione di capitali legati ad eventi aleatori, ai quali sia però possibile attribuire una probabilità, sulla base di indagini statistiche.

In particolare, la matematica attuariale si occupa delle assicurazioni sulla vita. Il codice civile italiano dà la seguente definizione di assicurazione:

L'assicurazione è un contratto nel quale l'assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere l'assicurato, entro i limiti convenuti, dei danni a lui prodotti da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umana.

Nei contratti di assicurazione quindi uno dei contraenti vuole coprire un rischio e l'altro accetta, dietro adeguato compenso (premio), di fornire copertura finanziaria nel caso si verifichino gli eventi assicurati.

Rispetto all'oggetto del contratto l'assicurazione è

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contro i danni        sulla vita

  Assicurazioni sulla vita

Riferiamoci, qui, solo alle assicurazioni sulla vita, prendendo in cosiderazione particolare solo tre casi:
•  assicurazione in caso di vita
•  assicurazione in caso di morte
•  assicurazione mista.

In un contratto d'assicurazione sulla vita si distinguono:
–  l'assicuratore, che si impegna a corrispondere le somme concordate al verificarsi di determinati eventi di vita o di morte;
–  il contraente, che stipula il contratto e che si impegna a pagare una o più somme;
–  il/i beneficiario/i, a cui l'assicuratore dovrà pagare le somme assicurate al verificarsi dell'evento stabilito;
–  l'assicurato, la cui esistenza in vita o la cui morte costituisce l'evento che determina il pagamento da parte dell'assicuratore delle somme dovute.

Il capitale versato dal contraente all'assicurazione si chiama premio, mentre quello che eventualmente l'assicuratore verserà al beneficiario è detto capitale assicurato.

Il premio è

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unico se pagato alla stipulazione del contratto   periodico se corrisposto in più rate

La matematica attuariale studia i modelli matematici che permettono il calcolo del premio puro, come il premio che si determina tenendo conto solo dell'impegno che l'assicurato ha nei confronti del beneficiario. Il premio puro è poi caricato dall'assicurazione per pagare le spese sostenute e per avere un guadagno.

  Gioco equo

L'assicuratore perde o guadagna, a seconda che si verifichi o no l'evento coperto dall'assicurazione. Pertanto un'assicurazione, se si prescinde dal suo significato sociale, non è altro che un gioco organizzato. Un assicuratore gestisce un gran numero di contratti e, quindi, se calcola i premi in modo che, rispetto ai capitali assicurati, ciascun contratto di assicurazione abbia le caratteristiche di un gioco equo, nel complesso non dovrebbe avere né perdite né guadagni.

Se in un gioco si ha la probabilità p di vincere la somma S, si definisce speranza matematica della somma S il prodotto della somma S per la probabilità p.     In generale, se S1, S2,...Sn sono delle somme (guadagni o perdite) la cui disponibilità è legata al verificarsi di n eventi che costituiscono una partizione dell'evento certo, si definisce speranza matematica la somma dei prodotti delle Si per le rispettive probabilità.     Questo valore non è altro che il valore medio della variabile casuale X = "guadagno del giocatore" [ leggi di distribuzione], la cui distribuzione è   X     S1    S2    ...     Sn  Pr p1 p2 ... pn       Σ i=1…n pi = 1 M(X) = S1·p1 + S2·p2 + ... + Sn·pn

Un gioco è equo se alla fine di molte partite i giocatori antagonisti si trovano (circa) nelle stesse condizioni di partenza; nel modello matematico ciò accade quando la speranza matematica di ciascun giocatore è nulla.

In un gioco organizzato, normalmente, per avere diritto a partecipare al gioco si paga una somma prima di iniziare a giocare, quindi le vincite sono vincite lorde.

Il prezzo che si paga per partecipare ad un gioco equo organizzato è uguale alla speranza matematica della vincita lorda.

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