Matematica finanziaria

#1  Introduzione

Di solito si presume che, quando si impiega un capitale, l'ammontare di questo non rimanga costante al passare del tempo. Pertanto si presenta il problema di confrontare tra loro capitali che si rendono disponibili a scadenze diverse. Questo il problema fondamentale della matematica finanziaria (quello che interessa è solo il numero delle unità monetarie che costituiscono il capitale e non questioni quali la svalutazione della moneta, le variazioni del suo potere di acquisto e simili).

#2  Operazione finanziaria di capitalizzazione

TERMINI E SIMBOLI

      +I
 C ———————> M
—+——————————+———> 
 0          t
  C   capitale investito
 t   durata dell'investimento
 I   interesse maturato, dipendente dal tasso d'interesse i nell'unità di tempo
M  montante (= capitale + interesse maturato)

Nota 1.  Spesso il tempo t viene espresso in anni. In questi casi, quando si ha una durata in giorni, si può procedere prendendo t = (numero di giorni)/365 o t = (numero di giorni)/360; il corrispondente interesse viene chiamato nel primo caso esatto e nel secondo ordinario. Il secondo tasso è quello più frequentemente usato (è più favorevole a chi concede il prestito), ed è quello a cui ci riferiremo in genere.  Per il calcolo dei giorni può essere utile, utilizzando un mezzo di calcolo, ricorrere ai seguenti termini, che possono essere opportunamente modificati, per calcolare intervalli temporali:
31+28+31+30+31+30+31+31+30+31+30+31
31+29+31+30+31+30+31+31+30+31+30+31

Ad esempio tra il 13 gennaio e il 24 giugno di un anno bisestile passano:
(31-13)+29+31+30+31+24 = 163 giorni.
Noi useremo questo metodo. Altri usano un metodo basato sulla durata convenzionale di 30 giorni per tutti i mesi.
Nota 2.  È sopravvissuto in molti manuali di matematica finanziaria l'uso, "strano", di simboli come quello a fianco - o simili con s od altre lettere al posto di a - per indicare il termine  (1−vn)/i  o simili, con altre lettere al posto di v.  Si controllino le notazioni usate nel manuale che eventualmente si consulti.    

REGIME FINANZIARIO DELL'INTERESSE SEMPLICE

L'interesse maturato è direttamente proporzionale al capitale impiegato, alla durata e al tasso d'interesse unitario:

I = C·i·t   e quindi   M = C·(1 + i·t)

    Il regime di capitalizzazione semplice viene in genere applicato per periodi inferiori all'anno.

Esempio:  Ho un debito di 100 € con un interesse semplice mensile del 10%. Se saldo il debito dopo 4 mesi devo versare un interesse di 10·4 €, cioè devo "rendere" 100·(1+10%·4) = 100·1.4 = 140 €.

    Si chiama cambiale una promessa scritta con la quale il debitore, chiamato anche trattario, si impegna a pagare al creditore, chiamato anche traente, una determinata somma, in genere gravata da un interesse, ad una fissata scadenza.

Esempio:  il valore della cambiale "prometto di pagare a 90 giorni da oggi 1500 € con interesse del 7% annuo" è 1500*(1+7/100*90/360) = 1526.25 €.

REGIME FINANZIARIO DELL'INTERESSE COMPOSTO

La durata è divisa in t periodi e l'interesse maturato alla fine di ogni periodo viene sommato al capitale, o, come si usa dire, viene capitalizzato:
dopo 1 periodo,  M = C·(1 + i),   dopo 2,  M = C·(1 + i)·(1 + i), …

dopo t periodi,  M = C·(1 + i)t

Esempio:  Ho un debito di 100 € che devo restituire con un interesse composto mensile. Se dopo 4 mesi devo restituire 140 €, a quanto ammonta il tasso mensile? (1+i)4 = 1.4; i = 1.4(1/4)-1 = 0.0877573 = 8.78%.

    Una legge di capitalizzazione è scindibile se per trasferire un capitale nel tempo è indifferente che ciò avvenga in una sola volta o con due o più spostamenti successivi.
    La legge di capitalizzazione composta è scindibile, quella semplice no.

Vediamo la scindibilità della capitalizzazione composta:  se t1, t2 e t3 sono tre istanti successivi e se B equivale ad A*(1+i)^(t2-t1) e C equivale a B*(1+i)^(t3-t2), allora C equivale ad A*(1+i)^(t2-t1)*(1+i)^(t3-t2) = A*(1+i)^(t2-t1+t3-t2) = A*(1+i)^(t3-t1)

    Due tassi, relativi a due diversi periodi di capitalizzazione, sono equivalenti quando conducono, a parità di capitale e di tempo, ad uguali montanti.  Se indichiamo con  i  il tasso annuo e con  i il tasso relativo a un periodo di 1/k di anno, in regime composto, l'equivalenza tra  i  e  i è data dall'equazione:

1 + i = (1 + ik)k

In presenza di periodi di capitalizzazione frazionati abbiamo la formula ( funz. esponenziale e logaritmoM = C·(1 + i)n·(1 + i·f)  dove n è intero,  t = n + f  e  0 < f < 1.

#3  Operazione finanziaria di sconto

TERMINI E SIMBOLI

      -S
 V <——————— C
—+——————————+———> 
 0          t
  V   valore attuale del capitale (somma scontata)
C   valore nominale del capitale
S    sconto (compenso che spetta a chi rende in anticipo C)
(al posto di V e C si usano anche C0 e Ct ; S = Ct−C0)

(il valore attuale [present value in inglese] è l'importo equivalente al tempo presente del denaro che ci si aspettetta di incassare in data futura)

SCONTO COMMERCIALE (o all'infuori)

Nella pratica commerciale ordinaria lo sconto si calcola come l'interesse che frutterebbe la somma C nel tempo t:  lo sconto commerciale SC è proporzionale al valore nominale, al tasso di sconto i (indicato anche con d) e al tempo di anticipo t.

SC = C·i·t

SCONTO RAZIONALE (o all'indietro)

Più logico sarebbe invece calcolare lo sconto come l'interesse nel tempo t della somma V il cui montante al tasso i sia pari a C:  lo sconto razionale SR è l'interesse semplice, a un dato tasso i, calcolato sulla somma scontata V.  Poiché  C = V·(1 + i·t)  abbiamo  V = C/(1 + i·t)  e  SR = C − V  da cui:

SR = V·i·t

Si chiama tasso di sconto lo sconto razionale dell'unità di capitale in un anno:  V·i / (V·(1 + i)) = i/(1 + i).

SCONTO COMPOSTO

Per periodi superiori all'anno, nel caso di capitalizzazione composta, si usa lo sconto composto, calcolato come interesse composto, a un dato tasso i, sulla somma scontata V:

C = V·(1 + i)t   ovvero   V = C·(1 + i)−t

L'operazione di sconto si effettua, in genere, in questi casi:
  cessione di un credito
  pagamento anticipato di un debito
  valutazione di somme da riscuotere o da pagare in futuro per registrarne il valore in inventario o in bilancio.

PRINCIPIO DI EQUIVALENZA FINANZIARIA

In un regime, due somme, disponibili in tempi diversi, si dicono equivalenti in un dato tasso se i loro valori al tempo t sono uguali.  In altre parole possiamo affermare che un'operazione finanziaria è equa se l'insieme delle prestazioni, valutate ad un tempo t, uguaglia l'insieme delle controprestazioni, valutate anch'esse al tempo t.

    Poiché la legge composta è scindibile, non ha importanza l'epoca che scegliamo per il confronto:  se due capitali hanno lo stesso valore ad una certa epoca lo hanno ad un'epoca qualunque.

    Due capitali che sono equivalenti ad un certo tasso non sono equivalenti ad un tasso diverso.

    Utilizzando il principio di equivalenza si possono risolvere varie situazioni in regime composto:
  riduzione di più crediti ad una scadenza data;
  sostituzione di più pagamenti dovuti a date scadenze con più pagamenti in altre scadenze;
  ricerca del tasso medio (se si hanno più capitali impiegati ad interesse composto e a tassi diversi, si vuole trovare il tasso a cui impiegare la somma dei capitali per avere, ad una data scadenza, lo stesso montante).

#4  Rendita

Si dice rendita una successione di somme esigibili o pagabili in epoche diverse.

In genere si studiano rendite periodiche a rata costante e si classificano in base al periodo, alla scadenza delle rate, alla durata o alla decorrenza.

Si dice rendita una successione di somme esigibili o pagabili in epoche diverse.

In genere si studiano rendite periodiche a rata costante e si classificano in base al periodo, alla scadenza delle rate, alla durata o alla decorrenza.

Rispetto al periodo una rendita può essere:
− annua    − frazionata    − poliennale.
Rispetto alla scadenza delle rate può essere:
− anticipata (si paga all'inizio d'ogni periodo)    − posticipata od ordinaria (si paga alla fine d'ogni periodo).
Rispetto alla durata la rendita è detta:
− temporanea     − perpetua.
Rispetto alla decorrenza:
immediata (l'inizio è il momento in cui si stipula il contratto)    − differita (l'inizio è più tardi).

Montante di una rendita immediata posticipata

Tale montante è la somma dei montanti di ciascuna rata calcolati alla fine dell'ultimo periodo.

         M = R (1 + i)n − 1          
—————
i 
M montante; R rata; i tasso; n num. rate.

Il calcolo del montante di una rendita si usa nei problemi di costituzione di un capitale.

Valore attuale di una rendita immediata posticipata

Il valore attuale di una rendita è il suo valore nel momento in cui è stipulato il contratto con cui si costituisce la rendita. È la somma dei valori attuali delle singole rate che la compongono.  Resta inteso che la valutazione, però, può essere effettuata in qualsiasi istante.

V = R  1 − (1 + i)−n
—————
i 

Il calcolo del valore attuale di una rendita si usa nei problemi di rimborso di un prestito.

#5  Rimborso di un prestito - Ammortamento

Per il rimborso di un debito si possono seguire, in generale, tre vie:

1)  il debitore pagherà in una sola volta a una data scadenza il capitale più l'interesse, cioè il montante (rimborso globale);
2)  il debitore pagherà periodicamente gli interessi sul debito e, alla scadenza convenuta, in una sola volta l'intero capitale (rimborso globale con pagamento periodico degli interessi);
3)  il debitore pagherà periodicamente gli interessi e anche una parte del capitale, in modo da estinguere a poco a poco il debito (rimborso graduale).

Del terzo tipo si distinguono due diverse forme:

− ammortamento a quote costanti di capitale (uniforme);
− ammortamento a rata costante (progressivo).

Ammortamento uniforme

Simboli:
 D   il debito
 i     tasso d'interesse;
 n    numero delle rate;
 Q   la quota di capitale (da versare con la k-esima rata);
 Rk  l'importo della k-esima rata;
 Ik   l'interesse da pagare con la k-esima rata;
 Dk  il debito residuo dopo aver pagato la k-esima rata;
 Ek  il debito estinto dopo aver pagato la k-esima rata.

Q = D/n Ek = k·Q Dk = D − Ek Ik = i·Dk−1 Rk = Q + Ik

Questo è l'ammortamento a quote capitale costanti a interessi posticipati. Simili sono i calcoli per quello a interessi anticipati: Ik = i·Dk.

Ammortamento progressivo

Simboli:
 D   il debito
 i     tasso d'interesse;
 n    numero delle rate;
 R  l'importo della rata.

D = R  1 − (1 + i)−n
—————
i 
    ==>   
R D·i
—————
1 − (1 + i)−n

Questo è l'ammortamento a rata costante posticipata (o francese). Simili sono i calcoli per quello a rata costante e interessi anticipati (o tedesco): l'unica differenza è che gli interessi vengono pagati anticipatamente.

-------------

ATTIVITÀ 1

Versi 5000 euro in un deposito vincolato a 6 mesi, ottenendo un tasso d'interesse semplice del 4.5% annuo, al lordo delle ritenute di legge. Al momento del ritiro del montante, viene applicata la ritenuta di legge del 12.5% sugli interessi maturati. Calcola il tasso netto di remunerazione del deposito.

   

t = 6 mesi = 1/2 anno

I = C·i·t = 5000·0.045·0.5 = 112.5

Tassa = 112.5·0.125 = 14.0625

I netto = 112.5 − 14.0625 = 98.4375

i netto 98.4375 = 3.9375% = 3.94% circa
————
5000·0.5

Col programma R basta battere:
C = 5e3; t = 0.5; i = 4.5/100; Rit = 12.5/100
I = C*i*t; Tassa = I*Rit; I_netto = I-Tassa
i_netto = I_netto/(C*t); i_netto; print(i_netto*100, 3)
    0.039375  3.94

ATTIVITÀ 2

Ricerca del tasso medio di un'operazione (quel tasso che applicato al capitale iniziale produrrebbe nello stesso tempo un montante uguale alla somma dei montanti ottenuti dalle singole capitalizzazioni).

Una persona diversifica l'investimento dei suoi risparmi in questo modo:

  capitale  

  15000  

  20000  

  50000  

i

4%

3.4%

2.5%

Calcola il tasso medio di rendimento, se si prevede un tempo di investimento di 5 anni.

   

Capitale complessivo = 85000

Quindi:

85000·(1 + i)5 = 15000·(1 + 0.04)5 + 20000·(1 + 0.034)5 + 50000·(1 + 0.025)5

da cui, utilizzando una CT, si ottiene:

i = 0.02984

Col programma R basta battere:
M = function(C,i,t) C*(1+i)^t
F = function(i) M(85e3,i,5)-(M(15e3,0.04,5)+M(20e3,0.034,5)+M(50e3,0.025,5))
i = solution(F,0, 0,10); i; print(i*100, 3)
    0.02984394  2.98

ATTIVITÀ 3

Calcola la rata posticipata necessaria a costituire con 20 versamenti semestrali un capitale di 100 mila euro al tasso semestrale del 2%.

   

M = 100000     i 2 = 0.02

da   M = R  (1 + i)n − 1
—————
i 
     
R 100000 · 0.02 = 4115.67… = 4116
——————
1.0220 − 1

Col programma R basta battere:
M = function(R,i,n) R*((1+i)^n-1)/i
F = function(R) M(R,0.02,20)-100e3
R = solution(F,0, 0,10e3); R; print(R, 4)
    4115.672   4116

ATTIVITÀ 4

Analizzare il seguente piano di ammortamento, individuare il tipo di procedimento seguito e il tasso dell'operazione:

n.rate
 

rata
 

quota
interessi

quota
capitale

debito
estinto

debito
residuo

0

0.00

0.00

0.00

0.00

100 000.00

1

13 615.29

8 500.00

5 115.29

5 115.29

94 884.71

2

13 615.29

8 065.20

5 550.09

10 665.37

89 334.63

3

13 615.29

7 593.44

6 021.84

16 687.21

83 312.79

4

13 615.29

7 081.59

6 533.70

23 220.91

76 779.09

5

13 615.29

6 526.22

7 089.06

30 309.98

69 690.02

6

13 615.29

5 923.65

7 691.63

38 001.61

61 998.39

7

13 615.29

5 269.86

8 345.42

46 347.03

53 652.97

8

13 615.29

4 560.50

9 054.78

55 401.82

44 598.18

9

13 615.29

3 790.85

9 824.44

65 226.26

34 773.74

10

13 615.29

2 955.77

10 659.52

75 885.77

24 114.23

11

13 615.29

2 049.71

11 565.58

87 451.35

12 548.65

12

13 615.29

1 066.64

12 548.65

100 000.00

0.00

(soluzione con R)

Esercizi:

Per approfondimenti cerca "money & finance" in WolframAlpha e vedi, nella versione inglese di WikiPediaMathematical finance  e  Amortization.