Di solito si presume che, quando si impiega un capitale, l'ammontare di questo non rimanga costante al passare del tempo. Pertanto si presenta il problema di confrontare tra loro capitali che si rendono disponibili a scadenze diverse. Questo è il problema fondamentale della matematica finanziaria (quello che interessa è solo il numero delle unità monetarie che costituiscono il capitale e non questioni quali la svalutazione della moneta, le variazioni del suo potere di acquisto e simili).
Operazione finanziaria di capitalizzazione
TERMINI E SIMBOLI
+I
C > M ++> 0 t | C capitale investito t durata dell'investimento I interesse maturato, dipendente dal tasso d'interesse i nell'unità di tempo M montante (= capitale + interesse maturato) |
REGIME FINANZIARIO DELL'INTERESSE SEMPLICE
L'interesse maturato è direttamente proporzionale al capitale impiegato, alla durata e al tasso d'interesse unitario:
I = C·i·t e quindi M = C·(1 + i·t)
Il regime di capitalizzazione semplice viene in genere applicato per periodi inferiori all'anno.
Esempio: Ho un debito di 100 € con un interesse semplice mensile del 10%. Se saldo il debito dopo 4 mesi devo versare un interesse di 10·4 €, cioè devo "rendere" 100·(1+10%·4) = 100·1.4 = 140 €.
Si chiama cambiale una promessa scritta con la quale il debitore, chiamato anche trattario, si impegna a pagare al creditore, chiamato anche traente, una determinata somma, in genere gravata da un interesse, ad una fissata scadenza.
Esempio: il valore della cambiale "prometto di pagare a 90 giorni da oggi 1500 € con interesse del 7% annuo" è 1500*(1+7/100*90/360) = 1526.25 €.
REGIME FINANZIARIO DELL'INTERESSE COMPOSTO
La durata è divisa in t periodi e
l'interesse
maturato alla fine di ogni periodo viene sommato al capitale, o, come si usa dire,
viene capitalizzato:
dopo 1 periodo,
M = C·(1 + i), dopo 2, M = C·(1 + i)·(1 + i),
dopo t periodi, M = C·(1 + i)t
Esempio: Ho un debito di 100 € che devo restituire con un interesse composto mensile. Se dopo 4 mesi devo restituire 140 €, a quanto ammonta il tasso mensile? (1+i)4 = 1.4; i = 1.4(1/4)-1 = 0.0877573 = 8.78%.
Una legge di capitalizzazione è scindibile
se per trasferire un capitale nel tempo è indifferente che ciò
avvenga in una sola volta o con due o più spostamenti
successivi.
La legge
di capitalizzazione composta è scindibile, quella semplice no.
Vediamo la scindibilità della capitalizzazione composta: se t1, t2 e t3 sono tre istanti successivi e se B equivale ad A*(1+i)^(t2-t1) e C equivale a B*(1+i)^(t3-t2), allora C equivale ad A*(1+i)^(t2-t1)*(1+i)^(t3-t2) = A*(1+i)^(t2-t1+t3-t2) = A*(1+i)^(t3-t1):
Due tassi, relativi a due diversi periodi di capitalizzazione, sono equivalenti quando conducono, a parità di capitale e di tempo, ad uguali montanti. Se indichiamo con i il tasso annuo e con ik il tasso relativo a un periodo di 1/k di anno, in regime composto, l'equivalenza tra i e ik è data dall'equazione:
1 + i = (1 + ik)k
In presenza di periodi di capitalizzazione frazionati abbiamo la formula
( funz. esponenziale e logaritmo)
Operazione finanziaria di sconto
TERMINI E SIMBOLI
-S
V < C ++> 0 t | V valore attuale del capitale (somma scontata) C valore nominale del capitale S sconto (compenso che spetta a chi rende in anticipo C) (al posto di V e C si usano anche C0 e Ct ; S = Ct−C0) |
(il valore attuale [present value in inglese] è l'importo equivalente al tempo presente del denaro che ci si aspettetta di incassare in data futura)
SCONTO COMMERCIALE (o all'infuori)
Nella pratica commerciale ordinaria lo sconto si calcola come l'interesse che frutterebbe la somma C nel tempo t: lo sconto commerciale SC è proporzionale al valore nominale, al tasso di sconto i (indicato anche con d) e al tempo di anticipo t.
SC = C·i·t
SCONTO RAZIONALE (o all'indietro)
Più logico sarebbe invece calcolare lo sconto come
l'interesse nel tempo t della somma V il cui montante al tasso i
sia pari a C:
lo sconto razionale SR è
l'interesse semplice, a un dato tasso i, calcolato sulla somma
scontata V.
Poiché
SR = V·i·t
Si chiama tasso di sconto lo sconto razionale dell'unità di capitale in un anno:
SCONTO COMPOSTO
Per periodi superiori all'anno, nel caso di capitalizzazione composta, si usa lo sconto composto, calcolato come interesse composto, a un dato tasso i, sulla somma scontata V:
C = V·(1 + i)t ovvero V = C·(1 + i)−t
L'operazione
di sconto si effettua, in genere, in questi casi:
• cessione di un credito
• pagamento anticipato di un debito
• valutazione di somme da riscuotere o da pagare in futuro per registrarne il
valore in inventario o in bilancio.
PRINCIPIO DI EQUIVALENZA FINANZIARIA
In un regime, due somme, disponibili in tempi diversi, si dicono equivalenti in un dato tasso se i loro valori al tempo t sono uguali. In altre parole possiamo affermare che un'operazione finanziaria è equa se l'insieme delle prestazioni, valutate ad un tempo t, uguaglia l'insieme delle controprestazioni, valutate anch'esse al tempo t.
Poiché la legge composta è scindibile, non ha importanza l'epoca che scegliamo per il confronto: se due capitali hanno lo stesso valore ad una certa epoca lo hanno ad un'epoca qualunque.
Due capitali che sono equivalenti ad un certo tasso non sono equivalenti ad un tasso diverso.
Utilizzando
il principio di equivalenza si
possono risolvere varie situazioni in regime composto:
• riduzione di più crediti ad una scadenza data;
• sostituzione di più pagamenti dovuti a date scadenze con più
pagamenti in altre scadenze;
• ricerca
del tasso medio (se si hanno più capitali
impiegati ad interesse composto e
a tassi diversi, si vuole trovare il tasso a cui impiegare la somma
dei capitali per avere, ad una data scadenza, lo stesso montante).
Si dice rendita una successione di somme esigibili o pagabili in epoche diverse.
In genere si studiano rendite periodiche a rata costante e si classificano in base al periodo, alla scadenza delle rate, alla durata o alla decorrenza.
Si dice rendita una successione di somme esigibili o pagabili in epoche diverse.
In genere si studiano rendite periodiche a rata costante e si classificano in base al periodo, alla scadenza delle rate, alla durata o alla decorrenza.
Rispetto al periodo una rendita può essere: | |||
|
|||
Rispetto alla scadenza delle rate può essere: | |||
|
|||
Rispetto alla durata la rendita è detta: | |||
|
|||
Rispetto alla decorrenza: | |||
|
Montante di una rendita immediata posticipata
Tale montante è la somma dei montanti di ciascuna rata calcolati alla fine dell'ultimo periodo.
M = R | (1 + i)n − 1 | ||
| |||
i | |||
M montante; R rata; i tasso; n num. rate. |
Il calcolo del montante di una rendita si usa nei problemi di costituzione di un capitale.
Valore attuale di una rendita immediata posticipata
Il valore attuale di una rendita è il suo valore nel momento in cui è stipulato il contratto con cui si costituisce la rendita. È la somma dei valori attuali delle singole rate che la compongono. Resta inteso che la valutazione, però, può essere effettuata in qualsiasi istante.
V = R | 1 − (1 + i)−n |
| |
i |
Il calcolo del valore attuale di una rendita si usa nei problemi di rimborso di un prestito.
Rimborso di un prestito - Ammortamento
Per il rimborso di un debito si possono seguire, in generale, tre vie:
1)
il debitore
pagherà in una sola volta a una data scadenza il capitale più
l'interesse, cioè il montante (rimborso globale);
2)
il debitore
pagherà periodicamente gli interessi sul debito e, alla
scadenza convenuta, in una sola volta l'intero capitale
(rimborso globale con pagamento periodico degli interessi);
3)
il debitore
pagherà periodicamente gli interessi e anche una parte del
capitale, in modo da estinguere a poco a poco il debito (rimborso
graduale).
Del terzo tipo si distinguono due diverse forme:
− ammortamento a quote costanti di capitale (uniforme);
− ammortamento a rata costante (progressivo).
Ammortamento uniforme
Simboli:
D il debito
i
tasso d'interesse;
n
numero delle rate;
Q
la quota di capitale (da versare con la k-esima rata);
Rk
l'importo della k-esima rata;
Ik
l'interesse da pagare con la k-esima rata;
Dk
il debito residuo dopo aver pagato la k-esima rata;
Ek
il debito estinto dopo aver pagato la k-esima rata.
Q = D/n | Ek = k·Q | Dk = D − Ek | Ik = i·Dk−1 | Rk = Q + Ik |
Questo è l'ammortamento a quote capitale costanti a interessi posticipati. Simili sono i calcoli per quello a interessi anticipati: Ik = i·Dk.
Ammortamento progressivo
Simboli:
D il debito
i
tasso d'interesse;
n
numero delle rate;
R
l'importo della rata.
| ==> |
|
Questo è l'ammortamento a rata costante posticipata (o francese). Simili sono i calcoli per quello a rata costante e interessi anticipati (o tedesco): l'unica differenza è che gli interessi vengono pagati anticipatamente.
-------------
ATTIVITÀ 1
Versi 5000 euro in un deposito vincolato a 6 mesi, ottenendo un tasso d'interesse semplice del 4.5% annuo, al lordo delle ritenute di legge. Al momento del ritiro del montante, viene applicata la ritenuta di legge del 12.5% sugli interessi maturati. Calcola il tasso netto di remunerazione del deposito.
t = 6 mesi = 1/2 anno I = C·i·t = 5000·0.045·0.5 = 112.5 Tassa = 112.5·0.125 = 14.0625 I netto = 112.5 − 14.0625 = 98.4375
| ||||||
Col programma R basta battere: C = 5e3; t = 0.5; i = 4.5/100; Rit = 12.5/100 I = C*i*t; Tassa = I*Rit; I_netto = I-Tassa i_netto = I_netto/(C*t); i_netto; print(i_netto*100, 3) 0.039375 3.94 |
ATTIVITÀ 2
Ricerca del tasso medio di un'operazione (quel tasso che applicato al capitale iniziale produrrebbe nello stesso tempo un montante uguale alla somma dei montanti ottenuti dalle singole capitalizzazioni).
Una persona diversifica l'investimento dei suoi risparmi in questo modo:
capitale |
15000 |
20000 |
50000 |
i |
4% |
3.4% |
2.5% |
Calcola il tasso medio di rendimento, se si prevede un tempo di investimento di 5 anni.
Capitale complessivo = 85000 Quindi: 85000·(1 + i)5 = 15000·(1 + 0.04)5 + 20000·(1 + 0.034)5 + 50000·(1 + 0.025)5 da cui, utilizzando una CT, si ottiene: i = 0.02984 Col programma R basta battere: |
ATTIVITÀ 3
Calcola la rata posticipata necessaria a costituire con 20 versamenti semestrali un capitale di 100 mila euro al tasso semestrale del 2%.
M = 100000 i 2 = 0.02
|
ATTIVITÀ 4
Analizzare il seguente piano di ammortamento, individuare il tipo di procedimento seguito e il tasso dell'operazione:
n.rate |
rata |
quota |
quota |
debito |
debito |
0 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
100 000.00 |
1 |
13 615.29 |
8 500.00 |
5 115.29 |
5 115.29 |
94 884.71 |
2 |
13 615.29 |
8 065.20 |
5 550.09 |
10 665.37 |
89 334.63 |
3 |
13 615.29 |
7 593.44 |
6 021.84 |
16 687.21 |
83 312.79 |
4 |
13 615.29 |
7 081.59 |
6 533.70 |
23 220.91 |
76 779.09 |
5 |
13 615.29 |
6 526.22 |
7 089.06 |
30 309.98 |
69 690.02 |
6 |
13 615.29 |
5 923.65 |
7 691.63 |
38 001.61 |
61 998.39 |
7 |
13 615.29 |
5 269.86 |
8 345.42 |
46 347.03 |
53 652.97 |
8 |
13 615.29 |
4 560.50 |
9 054.78 |
55 401.82 |
44 598.18 |
9 |
13 615.29 |
3 790.85 |
9 824.44 |
65 226.26 |
34 773.74 |
10 |
13 615.29 |
2 955.77 |
10 659.52 |
75 885.77 |
24 114.23 |
11 |
13 615.29 |
2 049.71 |
11 565.58 |
87 451.35 |
12 548.65 |
12 |
13 615.29 |
1 066.64 |
12 548.65 |
100 000.00 |
0.00 |
(soluzione con R)
Per approfondimenti cerca "money & finance" in WolframAlpha e vedi, nella versione inglese di WikiPedia, Mathematical finance e Amortization.