I Numeri

Nel linguaggio comune alla parola numero sono dati vari significati [ appendice].

In matematica, quando parliamo di numero ci riferiamo a un oggetto matematico particolare, che possiamo descrivere come una sequenza finita di cifre, eventualmente preceduta dal segno "–", seguita dal segno "." e da una successione senza fine di altre cifre.
Una descrizione più chiara è fornita dai diagrammi di flusso a fianco.
Più precisamente, gli oggetti così descritti vengono chiamati numeri reali, per distinguerli dai numeri complessi, oggetti matematici più generali di cui si discuterà in una successiva sezione.

Esercizio: testo e soluzione

Esempi:
  (a) 16.083838383… (b) –0.43000000000…
  (c) 27.000000000… (d) 2.23606797749978…
  (e) 395.7121122111222111122221111122222…

• Il numero (a) potrebbe proseguire in molti modi: 16.08383838370513…, 16.08383838367689…, …. Se proseguisse ripetendo senza fine "83" potremmo descriverlo con il procedimento a fianco. (1) scrivi "16.0"
(2) scrivi "83"
(3) vai a (2)

In questo caso il numero può essere scritto nel modo indicato a lato. La sequenza di cifre che si ripete viene detta periodo. I numeri che da un certo punto in poi presentano un periodo (cioè una sequenza di cifre che si ripete) vengono detti numeri periodici. Spesso, per comodità, invece di scrivere il periodo sopralineato lo si scrive tre volte seguito da "…", ad esempio scrivendo 7.15316316316… si intende che "316" è il periodo. __
16.083
16.0838383…

• Seguendo quest'ultima convenzione (b) (–0.4300000…) avrebbe periodo "0". Per abbreviare, la scrittura la sequenza finale di "0" viene in genere omessa, cioè, invece di –0.43000…, si scrive più brevemente l'espressione "limitata" (cioè la sequenza finita di simboli) –0.43. _
-0.430
-0.43000…
-0.43

Per questo motivo i numeri con periodo 0 vengono detti anche numeri limitati.

• Nel caso del numero limitato 27.000… – caso (c) – si usa omettere anche il punto, ".", e scrivere più brevemente 27.
Numeri come quest'ultimo, in cui le cifre frazionarie (cioè le cifre di posto negativo, utilizzate per rappresentare parti di "unità" []) sono tutte "0", vengono detti numeri interi.

• Nel caso (e) il numero potrebbe proseguire in vari modi. Supponiamo che prosegua con sequenze di 1 e di 2 man mano più lunghe:
scrivi "395.7" | N = 1 ------> | | scrivi N volte "1" | scrivi N volte "2" | | ---- N = N + 1
Possiamo prevedere come si sviluppa il numero, ma non siamo di fronte a un numero periodico.

• Si può dimostrare che non è periodico neanche il numero √5, che inizia come (d) e le cui cifre successive possono essere calcolate risolvendo con un metodo numerico l'equazione x·x=5 [].

I numeri sono i modelli matematici impiegati per rappresentare misure di grandezze.
Consideriamo, ad esempio, la misura della lunghezza di un'asta mediante un nastro metallico.

(A) Segno su di esso una tacca 0 e, alla distanza di 1 metro, la tacca 1; riportando successivamente 1 metro posso segnare le tacche 2,3,….
Steso il nastro con la tacca 0 a una estremità dell'asta, all'altra estremità corrisponde una tacca compresa tra 2 e 3: 2 metri è una misura approssimata per difetto con errore al più di 1 metro.
(B) Suddivido, poi, ogni divisione, cioè ogni parte di nastro compresa tra due tacche, in 10 parti uguali. In corrispondenza delle vecchie tacche aggiungo ".0"; in corrispondenza delle nuove tacche scrivo 0.1, 0.2, …, 0.9, 1.0, 1.2, ….
L'estremità dell'asta cade tra le tacche 2.7 e 2.8; posso dire che 2.7 m (2 m e 7 decimi di metro) è la misura dell'asta approssimata per difetto con errore al più di 0.1 m (1 decimo di metro).
(C) Posso andare avanti con ulteriori suddivisioni e ottenere che la lunghezza dell'asta in metri è compresa tra 2.70 e 2.71, o, con ulteriori suddivisioni (se le estremità dell'asta sono tagliate bene, in modo che si possano individuare con precisione i punti del nastro misuratore a cui esse corrispondono), che è compresa tra 2.708 e 2.709, cioè che l'asta misura 2 m 70 cm 8 mm e rotti.

Ma con il mio nastro misuratore non posso ottenere misure più precise.
La misura in metri dell'asta non posso, quindi, rappresentarla esattamente con un numero reale, ma solo approssimarla con l'intervallo [2.708, 2.709] (che ne è un'intervallo di indeterminazione [ calcolo approssimato]). [clicca per una animazione]

Per le misure (in gradi Celsius) di temperatura si può mettere un'opportuna quantità di mercurio (o di sostanze meno tossiche) in un bulbo di vetro che si prolunghi in un capillare e segnare una tacca 0 in corrispondenza della posizione raggiunta dalla colonnina di mercurio quando il termometro è immerso in una miscela di acqua e ghiaccio e una tacca 100 in corrispondenza della posizione raggiunta quando è immerso in acqua bollente, suddividere la divisione tra queste due tacche in cento sottodivisioni uguali, mediante le nuove tacche 1, 2, …, 99.
Mediante riporti possiamo tracciare altre tacche a destra di 100. Attraverso ulteriori suddivisioni possiamo tracciare le tacche 0.1, 0.2, 0.3, …, 1.1, 1.2, … , che ci permettono di valutare i decimi di grado.

Facendo lo stesso a sinistra della tacca 0, possiamo tracciare le tacche –1, –2, …, –0.1, –0.2, … che ci consentono di valutare anche le temperature inferiori a quella del ghiaccio fondente.

Ma anche in questo caso, non possiamo infittire le tacche indefinitamente.

I numeri reali costituiscono, dunque, un modello astratto della misura delle grandezze fisiche: con una misurazione non è possibile determinare con infinite cifre il valore di una grandezza.
Tuttavia il suo uso ci consente di fare ragionamenti più semplici. Ci consente di parlare di:
– tempi uguali (senza misure esatte come potremmo dire che due fenomeni hanno la stessa durata?),
– rettangoli (come potremmo dire che quattro angoli hanno la stessa ampiezza?),
– …
Nei casi pratici, naturalmente, dovremo tenere conto di queste astrazioni e sostituire calcoli approssimati ai calcoli con numeri esatti.

Ad esempio, poiché il "pollice" (o "inch") è definito come 2.54 cm esatti, cioè come 2.54000… cm (con periodo "0"), posso dire che un oggetto lungo esattamente 10 inch ha come misura in centimetri 25.4000… e che un oggetto lungo esattamente 2 cm ha come misura in pollici 2 / 2.54 =
__________________________________________
0.787401574803149606299212598425196850393700
(0.7874015748031496062992125984251968503937007874…)

Ma se so che un oggetto è lungo 4.7 inch e che questa misura è una approssimazione per difetto con due cifre significative, cioè che la misura "esatta" in pollici può cadere tra 4.7 e 4.8, non posso concludere che la sua misura in centimetri è 4.7·2.54, cioè 11.938.
Posso solo concludere che è compresa tra 4.7·2.54 e 4.8·2.54, cioè tra 11.938 e 12.192, o che, a maggior ragione, è compresa tra 11.9 e 12.2.

Vi sono fenomeni che variano a scatti, per i quali si possono dare descrizioni esatte usando i numeri interi.
Nel caso di un edificio, possiamo individuare il dislivello dal piano della strada indicando con 0 il piano terra e, scelta come "unità" di riferimento il piano, indicando con numeri interi i piani sopra o sotto il livello della strada. Non ci serve suddividere il piano in sottounità. Anche per rappresentare la popolazione di un paese sono sufficienti i numeri interi, se si prende come unità l'abitante.

Nota 1. A seconda dei contesti l'espressione "5.7" può indicare:

• il numero 5.7000…
• o un arrotondamento a 2 cifre, cioè un valore compreso tra 5.65 e 5.75 (o un troncamento).

Nota 2. Spesso per descrivere arrotondamenti è utile ricorrere alla notazione scientifica; ad esempio per descrivere l'arrotondamento a 3 cifre di 23961, o si scrive 24000 aggiungendo la specificazione che le cifre significative sono 3 (anche il primo "0" è una cifra significativa) o si scrive 24.0 mila o … o si scrive 2.40·10⁴; nel caso di misure, per sciogliere l'ambiguità (quanti "0" sono cifre significative?), si può ricorrere ai prefissi (che posti davanti a un simbolo di unità di misura U formano il simbolo di una nuova unità di misura pari a 10ⁿ U con n opportuno): ad es. l'arrotondamento a 3 cifre di 23961 m può essere espresso con 24.0 km.

Ricordiamo quanto vale n nel caso dei vari prefissi:

p (pico) –12 ν (nano) –9 μ (micro) –6 m (milli) –3

c (centi) –2 d (deci) –1 da (deca) 1 h (etto) 2

k (chilo) 3 M (mega) 6 G (giga) 9 T (tera) 12

In informatica M e G sono usati in modo un po' diverso: MB e GB indicano KB² e KB³, che sono circa, ma non esattamente, uguali a 10⁶ e a 10⁹ byte, in quanto il KB è 1024 B, non 1000 B: calcolatore(3). I prefissi sono da usare solo come prefissi: è errato, e fonte di confusioni, usare "da" per indicare "decina", "h" per indicare centinaio, … (solo in informatica si usano spesso K, M e G da soli, al posto di KB, MB e GB, ma, come abbiamo visto, con significati diversi rispetto all'uso di k, M e G che si fa nelle misure fisiche).

Le sequenze che iniziano con "–" sono utilizzate per indicare misure "sottozero", come nel caso delle temperature, o diminuzioni, come nel caso a fianco (se la quota dell'aereo passa da 3.52 km a 2.87 km possiamo dire che c'è stata una variazione di quota pari a –0.65 km).

Queste sequenze vengono chiamate numeri negativi. Si fa eccezione per l'espressione –0.000…, che, come l'espressione 0.000…, indica la tacca 0 (retrocedere di 0 unità, 0 decimi, 0 centesimi, … equivale a non spostarsi dalla tacca 0).

Le sequenze che non iniziano con "–", ad eccezione dell'espressione 0.000… (che indica la tacca 0), vengono chiamate numeri positivi.

[Nota che questo vale per le sequenze di cifre, mentre in generale non è detto che un termine iniziante con "–" sia negativo; ad es. se x è negativo –x (anche se si legge "meno x") rappresenta un numero positivo: funzione 1]

Esercizio: testo e soluzione

Le espressioni 007 e 7 sono due diverse sequenze di simboli ma sono da intendersi uguali come numeri. Abbiamo ora visto che anche 0 e –0 sono uguali come numeri.
Anche 4.999… e 5.000… vengono considerate uguali come numeri.
Infatti il punto che (nell'unità scelta) dista 5.000… dalla tacca 0 è quello individuato dalla tacca 5.
Del punto che dista 4.999… dalla tacca 0 sappiamo che non supera la tacca 5 e che è oltre la tacca 4.9, oltre la tacca 4.99, oltre la tacca 4.999, … . E l'unico punto che gode di questa proprietà è quello individuato dalla tacca 5.
Quindi 5.000… e 4.999… indicano la stessa misura.

Posso, dunque, dire che i numeri con periodo 9, essendo uguali a numeri con periodo 0, sono limitati. Posso dire pure che 3.999…, essendo uguale a 4 (cioè a 4.000…), è un numero intero.

Nota. A volte, erroneamente, si tende ad escludere i numeri limitati quando si pensa ai numeri periodici. Per non incorrere in questo errore, abbastanza comune, occorre ricordare che (nel caso in cui si intendano descrivere numeri esatti, non valori approssimati) 7.3 è una abbreviazione di 7.3000…, che equivale a 7.2999…. Come viene precisato in una voce successiva ( basi di rappresentazione), a differenza del concetto di periodicità, quello di limitatezza non è una proprietà dei numeri, ma delle loro rappresentazioni in un fissato sistema di numerazione.

I numeri interi non negativi (cioè i numeri interi positivi e il numero zero) vengono detti anche numeri naturali.
Corrispondono alle sequenze finite di cifre, intendendo che una sequenza è "uguale" a un'altra "come numero" se differisce da essa solo per qualche "0" iniziale in più o in meno (07, 7, 007 sono lo stesso numero naturale).
La descrizione data dal diagramma di flusso andrebbe bene anche se si usasse come cifra solo la tacca "|". Avremmo come numeri:
| || ||| |||| ||||| |||||| … Potremmo poi stabilire di codificare 1 come |, 2 come ||, 3 come |||, …, ottenendo i numeri interi positivi, oppure 0 come |, 1 come ||, 2 come |||, …, ottenendo tutti i numeri naturali. Questa codifica è in realtà il primo modo in cui l'umanità ha scritto e "operato" con i numeri (se usiamo la prima codifica, 2+3, ossia |||||, si ottiene semplicemente concatenando || e |||).

Nel caso si usi solo "|", il diagramma genera man mano il numero successivo a quello appena scritto. Nel caso si usino più cifre la generazione ordinata dei numeri naturali può essere effettuata mediante un contatore [ animazione].

Osserviamo che alcuni chiamano "numeri naturali" i numeri interi positivi. Noi, invece, nel seguito, includeremo sempre lo zero tra i numeri naturali.

Esercizi:

altri collegamenti [nuova pagina]

Appendice

Ecco che cosa si può trovare in un vocabolario per la voce numero:

nùmero, sm. 1 Oggetto matematico, in genere rappresentato mediante cifre ed eventualmente un "." o una "," (punto o virgola decimale), utilizzato a vari scopi (per indicare quantità, misure, posizioni, codifiche, …). 2 generalizzazione di quanto al punto precedente, impiegante anche lettere od altri simboli (in genere per codifiche o per contrassegnare oggetti) • il numero di targa è GE A3577. 3 la entità contrassegnata (misurata, codificata, …) con un numero • abito al numero 5 della via, • è il turno del cliente numero 23, • telefonagli al numero di casa, • porto il numero 43, • è nella seconda camera del 5° piano, al numero 502. 4 quantità indeterminata • siamo in un bel numero. 5 ogni edizione di una pubblicazione periodica • quando esce il prossimo numero? 6 parte di uno spettacolo • il prossimo numero è acrobatico. 7 requisito, dote, risorsa • hai i numeri per farcela.

• Il numero (a) potrebbe proseguire in molti modi: 16.08383838370513…, 16.08383838367689…, …. Se proseguisse ripetendo senza fine "83" potremmo descriverlo con il procedimento a fianco.		(1) scrivi "16.0" (2) scrivi "83" (3) vai a (2)
In questo caso il numero può essere scritto nel modo indicato a lato. La sequenza di cifre che si ripete viene detta *periodo. I numeri che da un certo punto in poi presentano un periodo (cioè una sequenza di cifre che si ripete) vengono detti numeri* *periodici*. Spesso, per comodità, invece di scrivere il periodo sopralineato lo si scrive tre volte seguito da "…", ad esempio scrivendo 7.15316316316… si intende che "316" è il periodo.		__ 16.083 16.0838383…

• Seguendo quest'ultima convenzione (b) (–0.4300000…) avrebbe periodo "0". Per abbreviare, la scrittura la sequenza finale di "0" viene in genere omessa, cioè, invece di –0.43000…, si scrive più brevemente l'espressione "limitata" (cioè la sequenza finita di simboli) –0.43.		_ -0.430 -0.43000… -0.43
Per questo motivo i numeri con periodo 0 vengono detti anche *numeri* *limitati*.

• Nel caso (e) il numero potrebbe proseguire in vari modi. Supponiamo che prosegua con sequenze di 1 e di 2 man mano più lunghe: scrivi "395.7" \| N = 1 ------> \| \| scrivi N volte "1" \| scrivi N volte "2" \| \| ---- N = N + 1 Possiamo prevedere come si sviluppa il numero, ma non siamo di fronte a un numero periodico.


• Si può dimostrare che non è periodico neanche il numero √5, che inizia come (d) e le cui cifre successive possono essere calcolate risolvendo con un metodo numerico l'equazione x·x=5 [].

Per le misure (in gradi Celsius) di temperatura si può mettere un'opportuna quantità di mercurio (o di sostanze meno tossiche) in un bulbo di vetro che si prolunghi in un capillare e segnare una tacca 0 in corrispondenza della posizione raggiunta dalla colonnina di mercurio quando il termometro è immerso in una miscela di acqua e ghiaccio e una tacca 100 in corrispondenza della posizione raggiunta quando è immerso in acqua bollente, suddividere la divisione tra queste due tacche in cento sottodivisioni uguali, mediante le nuove tacche 1, 2, …, 99. Mediante riporti possiamo tracciare altre tacche a destra di 100. Attraverso ulteriori suddivisioni possiamo tracciare le tacche 0.1, 0.2, 0.3, …, 1.1, 1.2, … , che ci permettono di valutare i decimi di grado.
Facendo lo stesso a sinistra della tacca 0, possiamo tracciare le tacche –1, –2, …, –0.1, –0.2, … che ci consentono di valutare anche le temperature inferiori a quella del ghiaccio fondente.
Ma anche in questo caso, non possiamo infittire le tacche indefinitamente.

*Nota 1. A seconda dei contesti* l'espressione "5.7" può indicare:
• il numero 5.7000… • o un arrotondamento a 2 cifre, cioè un valore compreso tra 5.65 e 5.75 (o un troncamento).

Ricordiamo quanto vale n nel caso dei vari prefissi:
	p (pico) –12	ν (nano) –9	μ (micro) –6	m (milli) –3
	c (centi) –2	d (deci) –1	da (deca) 1	h (etto) 2
	k (chilo) 3	M (mega) 6	G (giga) 9	T (tera) 12
In informatica M e G sono usati in modo un po' diverso: MB e GB indicano KB² e KB³, che sono circa, ma non esattamente, uguali a 10⁶ e a 10⁹ byte, in quanto il KB è 1024 B, non 1000 B: calcolatore(3). I prefissi sono da usare solo come prefissi: è errato, e fonte di confusioni, usare "da" per indicare "decina", "h" per indicare centinaio, … (solo in informatica si usano spesso K, M e G da soli, al posto di KB, MB e GB, ma, come abbiamo visto, con significati diversi rispetto all'uso di k, M e G che si fa nelle misure fisiche).

Le sequenze che iniziano con "–" sono utilizzate per indicare misure "sottozero", come nel caso delle temperature, o diminuzioni, come nel caso a fianco (se la quota dell'aereo passa da 3.52 km a 2.87 km possiamo dire che c'è stata una variazione di quota pari a –0.65 km).
Queste sequenze vengono chiamate *numeri negativi*. Si fa eccezione per l'espressione –0.000…, che, come l'espressione 0.000…, indica la tacca 0 (retrocedere di 0 unità, 0 decimi, 0 centesimi, … equivale a non spostarsi dalla tacca 0).

Nota. A volte, erroneamente, si tende ad escludere i numeri limitati quando si pensa ai numeri periodici. Per non incorrere in questo errore, abbastanza comune, occorre ricordare che (nel caso in cui si intendano descrivere numeri esatti, non valori approssimati) 7.3 è una abbreviazione di 7.3000…, che equivale a 7.2999…. Come viene precisato in una voce successiva ( basi di rappresentazione), a differenza del concetto di periodicità, quello di limitatezza non è una proprietà dei numeri, ma delle loro rappresentazioni in un fissato sistema di numerazione.
	I numeri interi non negativi (cioè i numeri interi positivi e il numero zero) vengono detti anche *numeri naturali. Corrispondono alle sequenze finite di cifre, intendendo che una sequenza è "uguale" a un'altra "come numero" se differisce da essa solo per qualche "0" iniziale in più o in meno (07, 7, 007 sono lo stesso numero naturale). La descrizione data dal diagramma di flusso andrebbe bene anche se si usasse come cifra solo la tacca "\|". Avremmo come numeri: \| \|\| \|\|\| \|\|\|\| \|\|\|\|\| \|\|\|\|\|\| … Potremmo poi stabilire di codificare* 1 come \|, 2 come \|\|, 3 come \|\|\|, …, ottenendo i numeri interi positivi, oppure 0 come \|, 1 come \|\|, 2 come \|\|\|, …, ottenendo tutti i numeri naturali. Questa codifica è in realtà il primo modo in cui l'umanità ha scritto e "operato" con i numeri (se usiamo la prima codifica, 2+3, ossia \|\|\|\|\|, si ottiene semplicemente concatenando \|\| e \|\|\|).
Nel caso si usi solo "\|", il diagramma genera man mano il numero successivo a quello appena scritto. Nel caso si usino più cifre la generazione ordinata dei numeri naturali può essere effettuata mediante un contatore [ animazione].
*Osserviamo* che alcuni chiamano "numeri naturali" i numeri interi positivi. Noi, invece, nel seguito, includeremo sempre lo zero tra i numeri naturali.