Pendenza (2)

#1  Col concetto di pendenza l'inclinazione di una strada viene rappresentata come rapporto tra innalzamento e avanzamento in orizzontale.

Nel caso di un tratto di grafico rettilineo la pendenza esprime il rapporto tra variazione dell'ordinata e variazione dell'ascissa ("se x aumenta di 1 di quanto varia y?"); se il sistema è "monometrico" questa pendenza matematica coincide con quella "fisica" descritta sopra. 
           variazione di y
pendenza = ————————————————
           variazione di x

Nel caso di un grafico continuo a tratti rettilinei, come quello sotto a sinistra, la pendenza è costante in ciascun tratto rettilineo. A destra è riprodotto il grafico della pendenza della funzione rappresentata a sinistra: tra 0 e 200 la pendenza è 0 (per i primi 200 km di percorrenza la tariffa è costante), tra 200 e 600 è 0.5 (superati i 200 km, se la percorrenza aumenta di 1 km il costo aumenta di 0.5 euro), oltre 600 è 0.25 (superati i 600 km, se la percorrenza aumenta di 1 km il costo cresce di 0.25 euro).

 
Il grafico del costo del noleggio per un giorno di un furgone in funzione della percorrenza. La ditta pratica una tariffa di 140 euro con un'aggiunta di 0.5 euro a chilometro per ogni chilometro di percorrenza eccedente i 200 km, che viene ridotta a 0.25 euro se si superano i 600 km di percorrenza  [0.5 = 200/400, 0.25 = 100/400]

#2  Nel caso di una strada il cui fondo stradale sia incurvato la sua pendenza varia da punto a punto. Per un caso estremo si pensi a un percorso su "montagne russe", come quello riprodotto sotto. Abbiamo chiara, intuitivamente, che cosa è la pendenza nei vari punti del percorso, sappiamo distinguere quelli in cui è minore da quelli in cui è maggiore. Con un po' di intuito saremmo anche in grado di fare uno schizzo del grafico di come la pendenza varia lungo il percorso [in appendice questa costruzione è illustrata con una animazione].
Ma non possiamo esprimerla come rapporto tra variazione del dislivello e variazione orizzontale in quanto all'avanzare orizzontalmente la strada si incurva, per cui il rapporto dipende dalla lunghezza del tratto che considero: vedi figura a lato; più il tratto è piccolo più posso ritenere significativa la percentuale che ottengo, ma quanto devo prenderlo piccolo? 

    Intuiamo che le frecce nel disegno soprastante indicano la pendenza del binario delle montagne russe nei vari punti evidenziati. È la pendenza della traiettoria per cui proseguirebbe la carrozza se non fosse appoggiata e ancorata ai binari, se non fosse attirata verso il basso dalla forza di gravità, se non fosse frenata dalla resistenza dell'aria, ….
    La retta lungo cui è diretta la freccia che parte da un dato punto si dice che è tangente al binario in quel punto, generalizzando il concetto che abbiamo già visto per il cerchio [ figure(2)]. È un termine usato anche nel linguaggio comune:  così come se la carrozza perdesse l'ancoraggio al binario quando è nel punto indicato col pallino più grosso, tenderendo a proseguire lungo la traiettoria rettilinea evidenziata, si direbbe che la carrozza è partita per la tangente, allo stesso modo si usa dire che una persona, nella foga di una discussione, "parte per la tangente" (o che "esce dai binari", "esce dal seminato", …) quando incomincia a divagare, a perdere il filo e il controllo delle argomentazioni, proseguendo lungo la direzione che il discorso ha preso al momento.

    Analogamente, i frombolieri lasciavano partire il proiettile dalla fionda quando questo, liberato, avrebbe proseguito lungo la direzione voluta, ossia quando la retta tangente alla traiettoria del proiettile coincideva con la direzione voluta.
    Nel caso del cerchio le tangenti sono facili da tracciare: sono perpendicolari ai raggi. Come fare nei casi di traiettorie diverse?
 

    Lasciamo a un'altra voce [ rette tangenti] l'approfondimento di questo problema, e limitiamoci al caso più semplice del grafico di una funzione continua F di cui sappiamo calcolare i valori, ossia tale che per ogni numero reale x sappiamo calcolare, quando è definito, il valore di F(x).

#3  Per studiare come varia la pendenza di y = F(x) con F continua posso procedere con il metodo già impiegato per misurare la  lunghezza degli archi di cerchio e di altre curve: approssimare il grafico di F con dei tratti rettilinei, dei quali so valutare la pendenza (vedi sopra). Vediamo come fare ciò in dettaglio in un caso; volendo salta direttamente al paragrafo successivo.
    Considero, ad esempio, il grafico di x → x2 per –2 ≤ x ≤ 2 (grafico che ha la forma di una parabola:  figure 2). Se parto da x = –2 e procedo verso destra, y diminuisce (il grafico scende): la pendenza è negativa. Quando arrivo in x = 0 il grafico smette di scendere: si dispone orizzontalmente, ossia la pendenza diventa 0. Poi comincia a salire: la pendenza diventa positiva, e man mano più grande. Approssimo il grafico con la spezzata costituita dai segmenti che congiungono i suoi punti di ascissa –2, –1, 0, 1 e 2.
     Calcolo la pendenza media per –2 ≤ x ≤ –1, ossia la pendenza che il grafico avrebbe se tra x = –2 e x = –1 avesse andamento rettilineo; ho (vedi figura a sinistra) –3/1 = –3. Analogamente calcolo la pendenza del tratto rettilineo che approssima il grafico per x [–1, 0], ottenendo –1, per x [0, 1], ottenendo 1, per x [1, 2], ottenendo 3.
    A destra è rappresentata graficamente la pendenza del grafico a tratti rettilinei (punteggiato nella figura a sinistra) con cui ho approssimato il grafico della funzione: la pendenza passa da –3 a –1, a 1, a 3.
   
     Approssimo il grafico con un numero doppio di segmenti: quelli che congiungono i suoi punti di ascissa –2, –1.5, –1, –0.5, 0, 0.5, 1. 1.5 e 2. È facile calcolare la pendenza di questi segmenti. A destra è rappresentata graficamente la pendenza di questo nuovo grafico a tratti rettilinei con cui ho approssimato il grafico della funzione: la pendenza passa da –2.5 a –1.5, a –0.5, … a 2.5.
    Infittendo ulteriormente i vertici della spezzata con cui approssimo il grafico della funzione, se rappresento la pendenza di questa spezzata ottengo il grafico sotto a sinistra.
   

    Approssimando il grafico con spezzate con man mano più lati, ottengo che i grafici delle loro pendenze tendono a diventare il grafico y = 2x:  vedi figura sotto al centro. Questo grafico rappresenta come varia punto per punto la pendenza della funzione x → x2.

            

    Quindi il grafico di x → x2 nel punto di ascissa x ha pendenza 2x. In questo modo posso calcolare facilmente la pendenza in qualunque punto del grafico, e tracciare la retta tangente passante per quel punto. Ad es. (vedi figura sopra a destra) per x = –1 la pendenza è –2, per x = 1/2 la pendenza è 1.

#4  Qui (copia e incolla in R) puoi vedere come ottenere un'animazione con R che riassume il fatto, visto nel paragrafo precedente, che il grafico di x → x² nel punto di ascissa x ha pendenza 2x.
    Saper calcolare la pendenza di un grafico (ossia, dato un punto del grafico, la pendenza del tratto rettilineo che in quel punto lo approssima) ha molte applicazioni pratiche. Ad esempio mi consente di estendere alcune proprietà individuate per contorni rettilinei a casi più generali. Consideriamo i fenomeni di rimbalzo e di riflessione.
    Quando un oggetto sferico rimbalza contro una parete rettilinea (si pensi a una partita a biliardo) posso individuare la direzione lungo cui prosegue tenendo conto che (vedi figura sotto a sinistra) l'angolo β deve essere uguale all'angolo α, ovvero che l'angolo δ deve essere uguale all'angolo γ. Quanto visto sopra mi consente di trovare la direzione nel caso in cui la parete abbia andamento parabolico:  fissata una opportuna unità di misura, descrivo la parete con l'equazione y = x²; se l'oggetto arriva parallelamente all'asse di simmetria a distanza 1/2 da esso, incontra la parete in un un punto con pendenza 2·(1/2) = 1, ossia come se la parete fosse rettilinea e inclinata di 45°. Quindi (vedi seconda figura sotto da sinistra) dopo il rimbalzo procede perpendicolarmente all'asse di simmetria.

           

    Nel disegno soprastante è illustrata anche la situazione in cui l'oggetto arriva a sinistra, a distanza 1 dall'asse di simmetria, ossia lungo la retta x=−1. Come abbiamo visto, nel punto del rimbalzo la pendenza è –2·(1/2) = –2: la tangente è inclinata come una delle due diagonali di un rettangolo largo 1 quadretto e alto due quadretti. Tracciando la traiettoria della palla dopo il rimbalzo, in modo che la nuova direzione formi con la tangente lo stesso angolo formato dalla direzione di arrivo, sembra che anche in questo caso si venga a incontrare l'asse di simmetria nel punto x=0, y=1/4. Qui puoi vedere l'illustrazione di questo fenomeno con R.

La cosa può essere confermata con un ragionamento geometrico, come quello illustrato sopra nella figura ingrandita: i triangoli rettangoli PCD e DEP sono uguali; CE ha pendenza 1/2, quindi E ha ascissa 1/4; l'angolo DPE, essendo uguale a CPD, è uguale anche all'angolo APB; dunque PE è effettivamente la direzione del rimbalzo.  Oppure si può procedere numericamente: dalla pendenza, –2, con la calcolatrice ( pend. e curve di livello), posso ricavare la direzione della tangente; da questa ricavo la direzione dopo il rimbalzo, di cui, di nuovo con la calcolatrice, posso ottenere la pendenza: facendo i calcoli ottengo che la palla rimbalza con pendenza –0.75 (= –3/4), e che quindi, andando a destra di 1 scende di 3/4, incontrando l'asse di simmetria nel punto x=0, y=1/4.

        Potrei ripetere la costruzione o il calcolo per un qualunque altro tiro diretto parallelamente all'asse di simmetria: otterrei sempre rimbalzi che passano per questo punto, che viene chiamato fuoco della parabola.
    Il nome deriva dal fatto che se consideriamo uno specchio parabolico, ossia la cui forma sia descrivibile come la superficie generata dalla rotazione di una parabola attorno al suo asse (vedi figura sopra a destra), se lo orientiamo in modo che l'asse sia diretto verso il sole, i raggi solari vengono tutti riflessi in modo da passare per tale punto: se collochiamo un oggetto infiammabile in tale punto, la concentrazione dei raggi solari (se lo specchio è opportunamente grande) può far sì che l'oggetto prenda fuoco.
    Viceversa, se collochiamo una lampadina nel fuoco (vedi figura a sinistra), i raggi luminosi che essa produce rimbalzano seguendo il percorso inverso, e vengono tutti proiettati parallelamente all'asse dell specchio. È questo il motivo per cui i fari di auto e torce elettriche sono dotati di uno specchio parabolico.
    L'esistenza di un fuoco è usata anche dalle antenne paraboliche: le onde che arrivano vengono riflesse nel fuoco dell'antenna, in cui è posizionato il dispositivo che capta le onde e le trasmette all'apparecchio televisivo.

#5  (0, 1/4) è il fuoco di y = x2. Dato che tutte le parabole sono tra loro simili ( figure 2), anche quelle descrivibili con altre equazioni hanno un fuoco e, con un adeguato cambio di coordinate, possiamo individuarlo. Consideriamo, in particolare, la funzione x → a x2 (dove a è un qualunque numero diverso da 0).
    Il suo grafico è ottenibile da quello di x → x2 moltiplicando le y per a, quindi, in corrispondenza dello stesso x, la pendenza è quella di x → x2 (ossia 2x) moltiplicata per a. La pendenza nel punto x è quindi calcolabile con la funzione x → 2a x.
    Per trovare il fuoco posso considerare il punto in cui la pendenza è 1, in quanto, come abbiamo visto sopra, un raggio verticale che vi arriva viene riflesso orizzontalmente, per cui la sua y è la y del fuoco.
    2ax = 1 se x = 1/(2a), ossia se y = a(1/(2a))2 = 1/(4a).
    Quindi il fuoco di  y = a x2  è  (0, 1/(4a)).

  

    Potevo arrivare a questa conclusione anche osservando che il fattore di similitudine che trasforma  y = x in  y = a x è 1/a  ( figure 2), e quindi il fuoco viene trasformato da  (0, 1/4)  in  (0, 1/(4a)).

#6  In una voce successiva si vede come le idee con cui abbiamo affrontato gli esempi precedenti possono essere generalizzate e formalizzate per mettere a punto il concetto di derivata, che ci permetterà di affrontare in modo più semplice lo studio delle pendenze. Alle voci  rette tangenti e curve e  velocità di variazione vengono proposte altre idee e tecniche che possono introdurre al concetto di derivata.

Esercizi:  testo 1 e soluzione 1,   testo 2 e soluzione 2

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Appendice

#7 Dal profilo di una strada al grafico della sua pendenza

Un tratto, di circa un centinaio di metri, di montagne russe:

Il profilo delle montagne russe 
La pendenza all'avanzare lungo il percorso

  –  Quando il percorso sale la pendenza è positiva.

–  Nei punti in cui il percorso è orizzontale la pendenza è 0.

–  Quando il percorso scende la pendenza è negativa.

–  Quando la salita si addolcisce o la discesa si accentua la pendenza scende.

–  Quando la discesa si addolcisce o la salita si accentua la pendenza sale.
ovvero:
(1)  pendenza positiva ↔ strada sale; pendenza scende ↔ strada con concavità verso il basso
(2)  pendenza negativa ↔ strada scende; pendenza scende ↔ strada con concavità verso il basso
(3)  pendenza negativa ↔ strada scende; pendenza sale ↔ strada con concavità verso l'alto
(4)  pendenza positiva ↔ strada sale; pendenza sale ↔ strada con concavità verso l'alto