Periodo e frequenza

#1  In molte situazioni si presentano fenomeni periodici, cioè che si ripetono (al passare del tempo o al variare di un'altra grandezza) ciclicamente.

#2  Un semplice esempio è il susseguirsi delle cifre del risultato della divisione tra due interi, che è, appunto, un numero periodico [ numeri e strutture numeriche]. Lo sviluppo delle cifre, ad esempio di 0.223122312231…, può essere rappresentato graficamente nel modo illustrato a fianco: ogni 4 cifre si ripete lo stesso andamento.

  

#3  A fianco è illustrato come varia in funzione del tempo la posizione del pistone quando il motore sta girando a velocità costante.

    Nel primo esempio ho il valore della cifra che varia periodicamente in funzione del posto dopo il punto decimale: sull'asse orizzontale rappresento i posti dopo il punto decimale. Questa è una funzione che ha come input numeri interi positivi.

    Nel secondo caso ho una grandezza che varia in funzione del tempo: sull'asse orizzontale rappresento dei tempi. È una funzione ad input in R.

  

#4  Funzioni come queste, il cui grafico si ripete ciclicamente, vengono dette periodiche.
    La larghezza della più piccola parte di grafico che si ripete ciclicamente (4 nel primo esempio, 29 nel secondo) viene chiamata periodo. Se la variabile di input rappresenta il tempo, il periodo può essere espresso in secondi o minuti o … (nel secondo caso diciamo che il periodo è 29 ms o 0.029 s o …).
    La frequenza relativa con cui si presentano i cicli al crescere dell'input nel primo caso è 1/4=25%: ogni 4 cifre inizia un nuovo ciclo. Anche nel secondo caso (pistone) possiamo parlare di "frequenza", anche se in un modo un po' differente rispetto all'uso statistico: abbiamo 1 ciclo ogni 29 ms, ma se esprimiamo il tempo in ds (decimi di secondo) diciamo che c'è un ciclo ogni 0.29 ds; qui non ha molto senso pensare alla frequenza come  «uno ogni quanti?»  ed esprimerla in forma percentuale: il valore che si ottiene dipende dall'unità scelta per misurare il tempo. Si tratta piuttosto di una frequenza pensata come "velocità" con cui si ripete il fenomeno.
    In questo caso e più in generale nel caso di fenomeni periodici che variano in funzione del tempo con frequenza si intende il rapporto NumeroDeiCicli/TempoTrascorso, ovvero (prendendo come tempo trascorso il "periodo", in cui si compie esattamente "1" ciclo) 1/periodo:  il reciproco del periodo. Se si misura il tempo in secondi, la frequenza viene espressa in cicli al secondo; questa unità di misura viene chiamata Herz (in simboli Hz).
    Quindi nel caso del pistone avremmo 1 ciclo ogni 0.029 secondi, ovvero 1000 cicli ogni 29 secondi: 1000/29 cicli al secondo, cioè circa 34.5 Hz. In questo caso ci conviene trasformare direttamente la frequenza espressa in giri al minuto, che già conosciamo: 1 min = 60 sec, per cui 2100 cicli al minuto diventa 2100/60 cicli al secondo, ossia 210/6 = 70/2 = 35 Hz.
    Dato che  frequenza = 1/periodo  equivale a  periodo = 1/frequenza, possiamo usare quest'ultima formula per ricavare il periodo dalla frequenza.  Nel caso del pistone:
freq.=2100 cili/minuto → periodo=1/2100 minuti = 60000/2100 ms = 200/7 ms = 29 ms.
    Ricordiamo che viene chiamata pulsazione (e spesso indicata con la lettera greca ω) la velocità angolare di rotazione che corrisponde ad una certa frequenza: se la frequenza è f e la pulsazione è ω, abbiamo ω = 2πf.

#5  Un altro esempio sono le note.
    Sotto è raffigurata sotto forma di segnale elettrico una particolare nota, il LA.

#6  Sono periodiche le funzioni circolari; a lato in alto è raffigurato, parzialmente, il grafico della funzione seno. A queste funzioni si può dare come input un numero reale. Esse lo interpretano come direzione, quindi considerano allo stesso modo tutti gli input che differiscono di 360° (ovvero di 2π, se ci si esprime in radianti). Il grafico della funzione coseno ha una forma simile (la ascissa e l'ordinata di un punto che si muove su un cerchio centrato nell'origine oscillano allo stesso modo). Entrambe le funzioni hanno periodo di 360°.
 [ clicca qui per una costruzione animata dei grafici di sin e cos ]
    Il grafico a lato in basso è della funzione tangente, che, rispetto alle funzioni seno e coseno, ha periodo metà, di 180° (π). Infatti α e α+180° [in quanto direzioni opposte: ] hanno la stessa pendenza.

  

#7  Ovviamente le funzioni periodiche non sono iniettive: se T è il periodo, ogni input x ha lo stesso output di x+T.  Possono eventualmente essere considerate tali se si attribuisce loro un dominio di ampiezza minore o uguale a T (ma non è detto che si ottenga una funzione iniettiva neanche restringendo il dominio).
    Ad es. la funzione seno (di cui sopra è riprodotta una rappresentazione grafica) ha output 0 per gli input 0°, 180°, -180°, …; si ottiene l'iniettività se si restringe il dominio ad es. a [-90°, 90°] (vedi parte evidenziata nella figura): ogni retta orizzontale interseca questo tratto di grafico in al più un punto. Più in generale, nel caso delle funzioni circolari quando si parla di funzione inversa ci si riferisce a restrizioni a intervalli ampi metà periodo (tra -90° e 90° per il seno e la tangente, tra 0° e 180° per il coseno).		 
180° = π    360° = 2π

Esercizi:  testo   e  soluzione,   testo   e  soluzione,   testo   e  soluzione,   testo   e  soluzione.

 
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