Potenze (1)
Per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli è comodo ricorrere alle potenze. Se a è un numero qualunque, positivo o negativo, e n è un numero intero non negativo, si pone:
an | è 1 moltiplicato ripetutamente n volte per a | ||
a0 | è 1 | ||
an | è 1 diviso ripetutamente n volte per a |
Ad esempio:
1000000, cioè 1 con l'aggiunta di 6 zero, cioè 1 spostato 6 posti a sinistra, cioè 1 moltiplicato 6 volte per 10, può essere scritto 10 6; 1, cioè il numero 1 senza spostamenti, può essere scritto 10 0; 0.00001, cioè 1 spostato 5 posti a destra, cioè 1 diviso 5 volte per 10, può essere scritto 10-5. |
Valgono le formule seguenti [dove n, m sono numeri interi], che sono facili da (ricavare e) ricordare pensando alla figura iniziale (moltiplicare/dividere per a vuol dire aumentare/diminuire l'esponente di 1):
m
-n 1 m n m+n a m-n
a = a ·a = a = a
n n
a a
Ad esempio per calcolare 107/10-5 posso fare: 107/10 5 = 107 ( 5) = 107+5 = 1012. [ esempio ]
Dati due numeri x e y (con y intero), la funzione che ad essi associa il numero x y viene chiamata operazione di elevamento a potenza. Il risultato xy si legge «x alla y» o «potenza y-esima di x».
Nota1. x y è definito anche per x = 0 e y > 0: 0 y = (1 moltiplicato y volte per 0) = 0. Invece per x = 0 e y ≤ 0 x y è indefinito: infatti, se volessi usare le formule sopra riportate, dovrei avere, ad es. 0-2 = 1/02 = 1/0. Del resto di fronte a 0 2 una calcolatrice visualizza un messaggio d'errore, come farebbe nel caso di 1 0 .
Nota2. L'operazione di elevamento a potenza è definita anche per esponenti non interi. Infatti una calcolatrice di fronte a 4 7.5 non segnala errori. Vedremo in seguito [ Potenze (2), Strutture numeriche] il significato di xy per y non intero.
Nota3. Si può rappresentare l'elevamento a potenza anche senza ricorrere una scrittura "a due piani" (uno per la base e uno per l'esponente): si può infatti usare il simbolo di operazione "^". Ad esempio 27 verrebbe scritto come 2^7 ("^" rappresenta una "freccia in su"). Questa è la scrittura impiegata in molte applicazioni per il calcolatore (linguaggi di programmazione, fogli di calcolo, ).
Esercizi: testo e soluzione, testo e soluzione, testo e soluzione