Proporzionalità
In formula possiamo scrivere: distanze in (1) = (distanze originali) · 2
Una relazione del tipo: grandezza 2 = grandezza 1 · k (dove k è un numero fissato diverso da 0), viene detta relazione di proporzionalità. Il numero k viene chiamato fattore di proporzionalità.
Nel
caso in cui le grandezze siano distanze, come nell'esempio
precedente, k viene chiamato scala (o fattore di scala). Se k > 1
si parla di scala di ingrandimento (nel caso precedente (1) è
stata ottenuta con la scala di ingrandimento 2).
Se k < 1 si
parla di scala di riduzione (per passare da (1) alla figura
originale devo dimezzare le distanze, cioè moltiplicarle per
1/2 [ = 0.5]: questa è la scala di riduzione che devo applicare).
Se
trasformo dei dati in modo proporzionale mediante un fattore k,
per ritornare ai dati originali devo dividere per k, cioè
applicare il fattore di proporzionalità 1/k, cioè
il reciproco di k.
Il reciproco di 2 è 1/2 (se ho moltiplicato per 2, per ritornare al valore iniziale devo prendere 1/2 del valore ottenuto, ossia moltiplicare per 1/2) e, viceversa, il reciproco di 1/2 è 2 (se ho moltiplicato per 1/2, per tornare al valore iniziale devo moltiplicare per 2); il reciproco di 3/4 è 4/3 (se ho moltiplicato per 3/4, ossia se ho diviso per 4 e moltiplicato per 3, per tornare al valore iniziale devo dividere per 3 e moltiplicare per 4, ossia moltiplicare per 4/3).
Nota. Dividere per k equivale a moltiplicare per 1/k. Ricordare ciò è spesso comodo per i calcoli mentali e per svolgere altri calcoli che coinvolgono rapporti:
quanto fa 15 / 0.75? so che 0.75 = 3/4 e quindi 15/0.75 = 15/(3/4) = 15·(4/3) = 15/3·4 = 5·4 = 20.
quanto fa 30% / (2/3)? 30%/(2/3) = 30%·(3/2) = 90%/2 = 45%.
Nella
riproduzione (1) vengono mantenuti i rapporti tra le
dimensioni delle diverse componenti: ad esempio nella chiave
originale l'altezza dell'impugnatura è pari al 40% della
lunghezza della chiave: 2/5 = 0.4 = 40%, e anche nella riproduzione (1)
questo rapporto vale 4/10 = 0.4 = 40% (nella riproduzione (2) invece tale
rapporto vale 3/6 = 0.5 = 50%).
Infatti se le dimensioni di un
oggetto (i due lati del tavolo o la lunghezza e l'altezza della
chiave o
) vengono moltiplicate per la stessa scala, il
rapporto tra tali dimensioni non viene modificato.
Nel caso sotto raffigurato il rettangolo al centro mediante la trasformazione (b) viene rimpicciolito riproducendone i lati con le stesse misure ma usando una unità di misura dimezzata: il rapporto tra le due dimensioni non cambia: la dimensione verticale è sempre i 3 quinti di quella orizzontale.
La trasformazione (a) invece è solo un cambio di unità di misura: le dimensioni rimangono immutate e il rapporto tra le loro misure nella nuova unità non muta: la misura della dimensione verticale (6) è sempre i 3 quinti di quella verticale (10); ovvero 6/10 = 3/5 (= 0.6 = 60%).
Questo fatto vale in generale, per ogni coppia di grandezze proporzionali: se trasformo dei dati x1, x2, x3, moltiplicandoli tutti per un fattore k ottengo nuovi dati y1 (= x1 · k), y2 (= x2 · k), y3 (= x3 · k), che hanno tra di loro gli stessi rapporti che vi sono tra i corrispondenti dati originali:
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... | ||||||||||||||||||||||||||||||||
↑ la "cancellazione" di k non modifica il risultato della divisione |
Il fatto che una trasformazione proporzionale mantenga i rapporti viene usato spesso per modificare i due termini di una divisione in modo da facilitare il confronto con un altro rapporto (primo degli esempi seguenti) o per rendere più semplice il calcolo (secondo esempio):
per stabilire quale tra 4/9 e 6/14 è la frazione maggiore potrei eseguire le divisioni (ottengo i risultati 0.444 e 0.428 e concludo che la prima è maggiore); ma se non ho una CT (o un cellulare) con cui effettuare i calcoli mi conviene trasformare 4/9 in 4·14/(9·14) = 4·7·2/(9·7·2) = 56/126 (ho moltiplicato i due termini per 14) e 6/14 in 6·9/(14·9) = 54/126 (ho moltiplicato i due termini per 9), e osservare che 56>54:
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per calcolare 1.4 / 0.04 mi
conviene moltiplicare i due termini per 100 e ricondurmi a
per calcolare il rapporto tra 3/4 e 2/3 posso ricordarmi che la divisione per 2/3 è trasformabile nella moltiplicazione per il reciproco:
|
o così: |
|
Ci sono molti esempi di relazioni di proporzionalità:
le
riproduzioni cartografiche;
in questo caso non si tratta tuttavia di
una relazione perfettamente proporzionale in quanto nel passaggio da
una superficie sferica a una superficie piana non tutte le distanze
possono essere moltiplicate esattamente per lo stesso fattore di
riduzione;
come
si determina il costo di un prodotto venduto a peso: costo = peso·U,
dove U è il costo unitario, cioè il prezzo al kg [hg]
se il peso è in kg [hg];
come
si determina il costo di un viaggio in treno per percorrenze non
troppo lunghe: nel 1991, fino a 1000 km di percorrenza, esprimendo il prezzo in "lire": prezzo = (n°
di chilometri percorsi)· 60;
le tariffe vengono però, poi, organizzate in fasce e
approssimate con prezzi "tondi"
Anche le relazioni tra dati originali e parti percentuali [ rapporto] e tra dati originali e ampiezze dei settori circolari [ diagrammi], per rappresentare come si ripartisce un insieme di dati rispetto al suo totale sono esempi di relazioni di proporzionalità; infatti il rapporto tra percentuale e 100 e quello tra ampiezza (in gradi) e 360 sono uguali al rapporto tra dato e totale.
dato percentuale = ·100 totale |
dato ampiezza = · 360 totale |
Le formule precedenti possono essere trasformate [ Formule ] nel modo seguente, che mette in evidenza il fattore di proporzionalità tra dato e percentuale e tra dato e ampiezza:
Anche altre ripartizioni proporzionali possono essere calcolate in questi due modi. Ad esempio se tre amici A, B e C giocano 20000 lire al totocalcio vincendo 120 milioni, per suddividere la vincita in parti proporzionali alle giocate di ciascuno (5000, 6000 e 9000 lire rispettivamente) possono procedere in due modi:
quota giocata vincita = · 120 000 000 20 000 |
oppure |
120 000 000 vincita =(quota giocata) · 20 000 |
A ha messo 5 mila delle 20 mila giocate, quindi gli spettano 5 ventesimi della vincita;
se 20 mila lire hanno "reso" 120 milioni, 1000 lire hanno reso (120 milioni)/20 = 60 milioni; A ha giocato 5 mila lire quindi gli spettano 5 · 60 milioni;
Un altro tipo di ripartizione che si presenta frequentemente è rappresentato dal seguente esempio: "per preparare un certo cocktail occorre miscelare 2 parti di liquore A, 3 parti di succo d'arancia e 2 parti di liquore B. Quanto succo d'arancia serve per preparare 50 cl di cocktail?":
n° delle parti di succo 3 succo(in cl)= ·50 = ·50 = ... n° totale delle parti 2+3+2 |
oppure: |
50 succo(in cl)= 3· = ... 2+3+2 |
Un ulteriore esempio di relazione di proporzionalità è quella che interviene nella rappresentazione di dati mediante numeri indici (non "numeri indice" in "numero indice" la parola "indice" è un aggettivo): | |
100 numero indice = dato · dato base | |
La rappresentazione è ottenuta ponendo uguale a 100 un certo dato di riferimento (dato base) e modificando con lo stesso fattore di proporzionalità gli altri dati. Nel caso dei grafici a lato, relativi ai record di salto in alto maschile e femminile in vigore ogni 4 anni dal 1932 al 1988, se si prende come dato base il record nel 1932 si ottengono i numeri indici rappresentati graficamente sotto: | |
Ora entrambi i grafici partono dallo stesso punto ed è più facile confrontare i due andamenti e valutare i miglioramenti rispetto alle diverse condizioni di partenza, che sono legate anche ad aspetti fisici (le donne sono mediamente più basse) e sociali (non esistevano gare di atletica femminile fino agli inizi del XX secolo). La trasformazione è avvenuta moltiplicando i record nel caso M per 100/203 (203 è il record maschile nel 1932, la moltiplicazione di 203 per 100/203 lo trasforma in 100), nel caso F per 100/165 (165 è il record femminile nello stesso anno). Dal 1932 al 1988 il numero indice F è passato da 100 a 127; quindi il record femminile in tale arco di anni è aumentato del 27%. Il numero indice M del 1988 è 120; quindi il record maschile è aumentato del 20%. Anche questa rappresentazione ha tuttavia i suoi limiti. |
Anche i cambiamenti di unità di misura (già considerati sopra ) sono trasformazioni proporzionali.
Ad es. per esprimere 1500 m/min in km/h, posso fare così:
prima trasformo il rapporto in m/h moltiplicando per 60 (1 h = 60 min quindi passando da "al minuto" a "all'ora" la strada percorsa viene moltiplicata per 60),
poi trasformo il rapporto in km/h dividendo per 1000 (1 km = 1000 m quindi passando da "metri" a "chilometri" la misura della strada percorsa viene divisa per 1000).
La trasformazione complessiva ("·60" e "/1000) può essere espressa con:
60 (velocità in km/h) = (velocità in m/min)· = 1000 = (velocità in m/min)· 0.06
Il
coefficiente di proporzionalità non è altro che
la pendenza della retta che rappresenta
graficamente la relazione di proporzionalità, infatti
variazione di y pendenza = variazione di x
Vi
sono anche coppie di grandezze che, pur non essendo proporzionali,
hanno variazioni proporzionali. Ciò accade,
per esempio, per la temperatura in |
||
[clicca per ingrandire]→ | ||
Per tarare un termometro a gradi Celsius si può
associare 0 alla posizione raggiunta dal mercurio quando lo strumento è
immerso in acqua fondente (acqua liquida contenente acqua ghiacciata), associare 100
quando è immerso in acqua bollente, e, sulla base di questi due valori, fissare
un sistema di
riferimento, cioè graduare la colonnina di vetro, in modo da poter associare
ad ogni sua posizione un numero (che sarà la temperatura in Nel caso di un termometro a gradi Fahrenheit si procede analogamente, associando ai due ambienti (acqua liquida/ghiacciata e acqua bollente) i valori 32 e 212; questa scala consente di rappresentare temperature atmosferiche molto basse con numeri positivi, cosa comoda in regioni particolarmente fredde (ad es. In entrambi i casi le temperature sono ottenute in modo da avere variazioni proporzionali a quelle della lunghezza della colonnina di mercurio; quindi avranno anch'esse variazioni tra loro proporzionali. Più avanti vedrai che nelle scienze fisiche per la temperatura si usa spesso una diversa scala i cui valori vengono chiamati temeperature assolute (vedi la soluzione dell'esercizio 5.7 qui). |
| ||
Note.
•
Quando due grandezze non costanti G1 e G2, in un certo contesto, sono legate da una relazione di proporzionalità, ossia quando
esiste un numero k diverso da 0 tale che
•
Quando i numeri a, b, c, d,
sono trasformati proporzionalmente, mediante una moltiplicazione per un numero k diverso da 0,
nei numeri a', b', c', d',
(a' = a·k, b' = b·k,
),
si dice che la sequenza a', b', c', d',
è proporzionale alla sequenza
a, b, c, d,
.
Possiamo scrivere
Un tempo era diffusa la scrittura