Le coniche

ellisseiperbole
parabola

Note parecchi secoli avanti Cristo (basti pensare a Pitagora - 571 a.C. - a cui si riferisce, anche se in modo leggendario, la pittura precedente).
Menecmo (375 a.C.) le individuò come intersezioni di un (semi)cono con un piano perpendicolare alla generatrice (semiretta passante per la superficie) e le classificò in base all'ampiezza dell'angolo al vertice del cono (retto: parabola; acuto: ellisse; ottuso: iperbole).
 
Apollonio (260 a.C.) invece le classificò in base all'inclinazione del piano di sezione con uno stesso cono, considerò coni a due falde, e diede ad esse il nome attuale →
  

     Trovarono via via varie applicazioni e altre forme di rappresentazione, ma, sostanzialmente, senza particolari innovazioni "matematiche", fino al Seicento.
Si tratta, comunque, di usi particolarmente significativi nella storia della scienza e del disegno. Richiamiamone alcuni.

      Keplero

    Galileo

          Altri          

Vari (prime unificazioni):

  

ρ = l / (1 + e · cos θ)

  e = 0: cerchio
  0 < e < 1: ellisse
  e = 1: parabola
  e > 1: iperbole

[ ρ (raggio): distanza da O;
  θ: angolo di OP con l'asse y ]

I punti indicati con la lettera F nelle figure precedenti sono chiamati fuochi delle rispettive coniche.  Nel caso di una parabola il fuoco è il punto in cui vanno andrebbero a confluire raggi di luce paralleli all'asse della parabola se riflessi da uno specchio avente la forma della parabola (è a questa proprietà che ri riferisce la figura iniziale, ed è da essa che trae origine la parola "fuoco").  Nel caso di una ellisse i fuochi sono due (che si riducono ad uno, coincidente col centro dell'ellisse, se questa è un cerchio) e sono i punti tali che ogni raggio uscente dall'uno viene riflesso (da uno specchio avente la forma dell'ellisse) in modo da passare per l'altro.  Nel caso dell'iperbole un raggio uscente da un fuoco è riflesso (da uno specchio con la forma dell'iperbole) in modo da sembrare che provenga dall'altro fuoco.

Il numero e impiegato nella descrizione in coordinate polari viene chiamato eccentricità.  Nel caso dell'ellisse la retta passante per i fuochi e quella che è il loro asse di simmetria vengono chiamate direttrici (danno idea di come è collocata la curva); in quello della parabola la direttrice è la retta L sopra raffigurata; nel caso dell'iperbole le direttrici sono particolari rette perpendicolari a quella che passa per i due fuochi e comprese tra i due rami dell'iperbole (vedi qui se sei intersessato ad approfondire la cosa).  In generale, una conica è l'insieme dei punti del piano le cui distanze da un punto F (fuoco) e da una retta d (direttrice) non passante per F stanno in un rapporto costante, che è, appunto, l'eccentricità.

    

Anche nella storia dell'arte si era giunti a una qualche unificazione fra i vari tipi di coniche, con la nascita della moderna prospettiva (ruolo della posizione dell'osservatore nel determinare la forma della conica, "punti all'infinito" che diventano "punti", …):


(Duccio di Boninsegna - 1300)

(fine XIV secolo)

 


 (Piero della Francesca  
1450 circa)


(Antonello da Messina 
1476) 

Oggi, con l'aiuto del computer, ci è più facile capire i problemi.

    Guardo una figura tracciata sul terreno da una distanza di circa 20 m e da un'altezza iniziale di 2 m. Vicino alla figura è collocato un sistema di "assi" di riferimento, con assi finiti (lunghi 10 m ciascuno). La figura sembra un arco di ellisse. Ma man mano che mi alzo (l'altezza passa da 2 m a 60 m) la figura mi appare come una parabola.
    È possibile che una parabola venga vista come un'ellisse?


            [e se ripensiamo al cono ...]
 

E che un'iperbole venga vista come un (semi)cerchio?

    Grazie all'impiego del computer
è più efficace anche la comprensione
del ruolo della eccentricità.

RenÚ Descartes - Cartesio - nel 1637 (e nei due decenni successivi Pascal e Wallis) unificò e precisò il significato delle coniche:

a·x2 + 2·h·x·y + b·y2 +2·g·x + 2·f·y + c = 0

        • se h2 = a·b  l'equazione rappresenta una parabola;
        • se h2 < a·b  l'equazione determina una ellisse;
        • se h2 > a·b  l'equazione rappresenta una iperbole.

inquadrandolo e inserendolo in studi più generali (la geometria analitica):

curva polinomiale
cardioide

ρ = 2a(1 − cos θ)
(x2 + y2 − 2ax)2 = 4a2(x2+y2)




curva non polinomiale
spirale di Archimede
  ρ = a θ

Per il passaggio dalla equazione di una conica alla individuazione dei fuochi e di altre caratteristiche, scrivine l'equazione in WolframAlpha, apri le "proprietÓ" e utilizza le informazioni che ti servono tra quelle che vengono visualizzate.

Poi, negli anni immediatamente successivi, abbiamo l'allargamento allo spazio tridimensionale delle precedenti considerazioni geometriche e, in particolare, il collegamento tra le descrizioni "fisiche" delle coniche come intersezioni di coni e piani con la descrizione algebrica (richiamata nel disegno seguente), e la rappresentazione unitaria delle coniche nell'ambito della geometria proiettiva (che dà una sistemazione alle considerazioni accennate sulla prospettiva, che non abbiamo gli strumenti per illustrare tecnicamente):


  x2 + y2 = z2

Le immagini che seguono danno un'idea delle applicazioni che negli anni seguenti, fino ai nostri giorni, hanno caratterizzato le coniche.

Sezione per i poli (circa) ellittica della terra
(MacLaurin, 1742: massa omogena in rotazione uniforme
sotto effetto della gravità ha forma elissoidale),
(ri)definizione della longitudine
(elissoide World Geodetic System del 1984),
  

Orbite coniche delle comete 
(possono essere anche
paraboliche o iperboliche)

Usi in architettura

navigazione navale ed aerea


moti di animali e di cose

       
modi per dirigere le "onde"