Prospettiva 2
Riepilogo
Alla voce
prospettiva 1
abbiamo visto come rappresentare una scena come quella a fianco (una casetta vicina a una linea ferroviaria):
i lati di base della casa e del tetto, lo spigolo superiore del tetto
e i binari hanno punti di fuga sull'orizzonte.
Lo spigolo superiore del tetto sta sull'orizzonte; ciò significa che l'occhio sta
alla stessa altezza del tetto.
A, E e D sono punti di fuga di rette che stanno sul piano di una delle facce del tetto; sono allineati, ma non sull'orizzonte in quanto non si tratta di un piano parallelo al piano orizzontale.
Abbiamo anche visto alcuni aspetti della storia dell'arte legati a questo tema
(alcuni di essi sono approfonditi in uno specifico
ipertesto).
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A sinistra è richiamata,
dalla voce prospettiva 1,
una finestra in cui puoi osservare la casetta considerata nella figura precedente
da diversi punti di vista.
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Nella stessa voce abbiamo, poi, preannunciato che ci saremmo occupati di alcuni problemi più specifici,
come quello illustrato dalla figura a lato, che qui riprendiamo: |
«Guardo una figura tracciata sul terreno
da una distanza di circa 20 m e da un'altezza iniziale di 2 m.
Vicino alla figura è collocato un sistema di "assi" di riferimento,
con assi finiti (lunghi 10 m ciascuno). La figura sembra un arco di ellisse.
Ma man mano che mi alzo (l'altezza passa da 2 m a 60 m) la figura mi appare come una parabola.
È possibile che una parabola venga vista come un'ellisse?»
Affrontiamo, dunque, questo problema.
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Ancora
sulle proiezioni
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Sopra abbiamo visto come una parabola, vista dal basso, possa apparire un'ellisse.
La figura a lato illustra come mezza iperbole, collocata nel piano xy ed avente gli assi x ed y come
asintoti (anche in questo caso raffigurati parzialmente), man mano che il mio sguardo si dirige più orizzontalmente
tende ad assumere forma ellittica, fino a che (figura D), quando lo sguardo è diretto
parallelamente alla sua bisettrice, si presenta al mio sguardo proprio come una semiellisse
(e gli assi x ed y mi appaiono come rette tra loro parallele). |
A destra è illustrata la direzione dello sgaurdo nella situazione D.
Come è possibile ciò? Proviamo a dare una risposta. |
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Se
clicchi qui
accedi ad una visione animata di quel che accade tagliando un cono circolare retto
(avente come asse di simmetria l'asse z)
con un piano con inclinazione rispetto al piano z = 0 maggiore, minore od uguale a quella
delle generatrici del cono (dicesi generatrice una retta che passa per il vertice del cono
e sta sulla sua superficie, la cui rotazione attorno all'asse del cono genera il cono stesso).
Puoi studiare meglio il fenomeno azionando la
animazione
"coniche", o quella illustrata a fianco: vedi.
Sotto, a sinistra, una sintesi della animazione: se taglio il cono con un piano, non
passante per il suo vertice, inclinato come una generatrice ottengo una parabola; se il piano è
inclinato di più o di meno ottengo un'iperbole o un'ellisse.
Se guardo queste intersezioni dal vertice del cono, dirigendo lo sguardo come l'asse di rotazione,
le vedo tutte circolari o, meglio,
come un cerchio (l'ellisse) o un cerchio bucato (la parabola) o un arco di cerchio (l'iperbole); vedi figure sotto a destra.
Questa semplice spiegazione risolve le apparenti contraddizioni generate dalle immagini precedenti.
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Il fatto che ellissi, iperboli e parabole
(
figure 2)
possono essere ottenute dalla intersezione
di un cono con un piano è all'origine del fatto che tali curve vengono chiamate,
complessivamente, coniche.
Quanto ora detto permette di concludere anche che
(
proiezioni tra superfici)
le coniche sono ottenibili l'una dall'altra mediante una proiezione centrale, e che quindi sono
indistinguibili dal punto di vista delle proprietà proiettive.
Le coniche possono essere tutte ottenute, nel piano xy, come grafico di una equazione polinomiale di
2° grado, ossia di un'equazione in x ed y del tipo
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0
(affinché sia di 2° grado occorre che a, b e c non siano tutti nulli).
Un'equazione di questo genere ha alcuni casi "degeneri": casi in cui non ha "punti" (x,y)
che la risolvono (ad es. x2+y2+1=0), o ha per soluzione solo
un punto (ad es. x2+y2=0, soddisfatta solo
se x=0 e y=0)
o una retta (ad es. (x−y)2=0, soddisfatta
solo se y=x)
o una coppia di rette (ad es. x2−y2=0, soddisfatta solo
se y=x o y=−x). Negli altri casi rappresenta un'ellisse, un'iperbole o una parabola.
Si può dimostrare che la classificazione in queste tre categorie dipende solo
dai valori di a, b e c. Vediamo la casistica:
• se b2−4ac = 0
(ad es. (x−2y)2+3y−4=0) è una parabola,
• se b2−4ac > 0
(ad es. (x−y)(x+2y)+3y−4=0) è una iperbole,
• se b2−4ac < 0
(ad es. 0.5x2+y2+3y−4=0) è una ellisse.
Ecco, in ordine, i grafici dei tre esempi fatti sopra, tra parentesi:

Qui trovi come fare
i grafici delle coniche precedenti, e come studiarle, con R. Qui puoi
trovare qualche approfondimento sulle coniche.
[vedi anche l'esercizio 7a.13]
Rappresentazione
matriciale
Facciamo qualche cenno a come, mediante le matrici, è possibile unificare lo studio
della trasformazioni affini e proiettive.
Abbiamo visto che, se il numero complesso z0 ha la forma polare (ρ, α),
z → z·z0
equivale a una rotazione attorno a (0,0) ampia α composta con una omotetia
di fattore ρ
( numeri
complessi).
Da qui si ricava facilmente che una rotazione di ampiezza α
del punto (x,y) è ottenibile col prodotto di matrici
indicato a lato
( matrici).
Qui trovi un esempio realizzato con R.
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|
cos(α) −sin(α) |
 | × |
| x |  |
sin(α) cos(α) |
y |
|
|
|
Anche le funzioni scala e le simmetrie
( trasformazioni
geometriche)
sono facilmente interpretabili matricialmente.
Ad es. a lato è considerata la dilatazione verticale
x' = x + 0y = x, y' = 0x + 7y = 7y.
|
La matrice a destra rappresenta invece la simmetria "obliqua"
rispetto all'asse x e parallela alla retta y = hx (ombra proiettata da
raggi diretti come y = hx): x' = x − 2hy, y' = −y
( proiezioni
tra superfici).
| |
|
1 −2h |
 |
0 −1 |
|
|
1 tan(α) |
 |
0 1 |
|
|
Invece la matrice qui a sinistra rappresenta un
inclinamento di α nella direzione dell'asse x
( calcolatore 5).
|
Per comporre trasformazioni di questo genere si possono moltiplicare le
rispettive matrici (infatti il prodotto tra matrici è associativo). Quindi
se voglio sottoporre una figura a una sequenza di trasformazioni basta che
calcoli una volta per tutte la matrice prodotto e la moltiplichi via via per
i vettori colonna che rappresentano i punti della figura.
Componendo trasformazioni di questi tipi (ne basterebbero solo alcuni, in
quanto altri sarebbero ottenibili per composizione dagli altri), ovvero
moltiplicando matrici di questi tipi, si ottengono tutte le possibili
trasformazioni rappresentabili in uno dei due modi seguenti, dove
la matrice 2×2 è ad elementi in R e non ha righe (ovvero colonne) tra
loro proporzionali.
| |
x' = ax + by |
y' = cx + dy |
|
x' = ax + by + h |
y' = cx + dy + k |
|
|
Se aggiungiamo la possibilità di comporre traslazioni abbiamo, al variare di a, b, c, d, h e k
in R con (a,b) non proporzionale a (c,d), e, quindi, con (a,c) non proporzionale a (b,d)
abbiamo tutte le affinità ( proiezioni
tra superfici), ossia le proiezioni parallele, eventualmente composte con un ingrandimento/riduzione di scala.
Ma le traslazioni non sono descrivibili matricialmente nel modo precedente:
moltiplicando una matrice per il vettore (x,y) non posso ottenere coefficienti senza x o
y.
|
Per estendere i vantaggi della
rappresentazione matriciale alle traslazioni si possono introdurre le coordinate
omogenee.
Se rappresento (x,y) come terna (x,y,1) posso rappresentare le traslazioni
nel modo indicato sotto a sinistra, le affinità che mandano l'origine in sé stessa
nel modo indicato sotto al centro; facendo il prodotto di due matrici che rappresentano
queste trasformazioni nel modo indicato sotto a destra ottengo la
rappresentazione matriciale di una generica affinità:
|
1 0 h |
 |
× |
|
x |
 |
= |
|
x+h |
 |
0 1 k | y | y+k |
0 0 1 | 1 | 1 |
|
|
a b 0 |
 |
× |
|
x |
 |
= |
|
ax + by |
 |
c d 0 | y | cx + dy |
0 0 1 | 1 | 1 |
|
|
1 0 h |
 |
× |
|
a b 0 |
 |
= |
|
a b h |
 |
0 1 k |
c d 0 |
c d k |
0 0 1 |
0 0 1 |
0 0 1 |
|
In pratica ho rappresentato ogni punto del piano (x,y) con il punto (x,y,1)
del piano z = 1, come illustrato nella figura a destra (che puoi cliccare
per vederla più grande).
La retta (0,0,0)-(x,y,1) rappresenta il raggio visivo
con cui da (0,0,0) vedo il punto (x,y) del piano di
quota 1.
Sono coordinate omogenee anche quelle aventi come terza componente un qualunque numero k diverso da 0:
basta prendere il punto di intersezione del precedente
raggio visivo con tale piano; ad esempio (3,5,1) posso
considerarlo equivalente a (6,10,2), a (1,5/3,1/3) o a (3k,5k,k), con k≠0.
Vediamo come, in generale, viene trasformata una conica,
con i punti rappresentati in tal modo, mediante una matrice che non abbia necessariamente
i primi due elementi dell'ultima riga eguali a 0:
|
 |
|
|
a11 a12 a13 |
 |
× |
|
x |
 |
= |
|
a11 x + a12 y + a13 |
 |
a21 a22 a23
| y | a21 x + a22 y + a23 |
a31 a32 a33
|
1 | a31 x + a32 y + a33 |
|
Riduco l'elemento sull'ultima riga ad 1: |
|
|
(a11 x + a12 y + a13) /
(a31 x + a32 y + a33) |
 |
(a21 x + a22 y + a23) /
(a31 x + a32 y + a33) |
1 |
|
Dunque
((a11 x + a12 y + a13) /
(a31 x + a32 y + a33),
(a21 x + a22 y + a23) /
(a31 x + a32 y + a33))
è il trasformato, mediante la matrice, di (x, y).
È facile verificare che una conica
ax2+ bxy +
cy2+ dx +
ey + f = 0
mediante una trasformazione di questo tipo rimane una conica.
Ad esempio il cerchio
x2 + y2 = 1
trasformato mediante la matrice rappresentata a destra diventa la curva di equazione
(x − y + 1)2/(x + y + 1)2 +
(x + y + 2)2/(x + y + 1)2 = 1,
cioè
(2x2 + 6x + 2y2 + 2y + 5) /
(x + y + 1)2 = 1,
ossia la parabola
x2 + y2 − 2xy + 4x + 4 = 0. Sotto,
sullo stesso sistema di riferimento, sono rappresentati sia la conica iniziale (in blu) che
la sua trasformata (in rosso): | |
|
|
1 1 1 |
 |
1 1 2 |
1 1 1 |
|
 |
I punti (0, −1) e (−1, 0) del cerchio (quelli in cui
si annulla x+y+1) non vengono trasformati in
un punto della parabola: questa matrice trasforma il cerchio in una parabola, e quindi
devono esservi dei punti del cerchio avvicinandosi ai quali i loro trasformati
tendono ad avere coordinate infinite.
In verde è rappresentata la trasformazione dello stesso cerchio
mediante la matrice rappresentata a destra; l'equazione diventa
(2x2 + 6x + 2y2 + 2y + 5) /
(x − 2y + 1)2 = 1,
ossia
x2 − 2y2 + 4xy + 4x + 6y + 4 = 0.
In questo caso si tratta di una iperbole. I punti (−1,0) e (0.6,0.8) del cerchio
(quelli in cui si annulla x−2y+1)
non vengono trasformati in punti: man mano che ci si avvicina ad essi sul cerchio nell'iperbole
ci si allontana dal "centro" di essa, in una delle direzione degli asintoti.
| |
|
|
1 1 1 |
 |
1 1 2 |
1 2 1 |
|
Per "sistemare le cose" le inclinazioni delle rette vengono chiamati
punti impropri (o all'infinito).
In questo modo tutte le trasformazioni rappresentabili in questo modo mediante
matrici trasformano punti in punti, e si può effettuare uno
studio opportunamente unificato di esse. Si intuiscono i collegamenti
del concetto di punto improprio con quello di punto di fuga. Ma qui
ci fermiamo, rinviando ad eventuali successivi studi l'approfondimento di questi argomenti.
Facciamo, solo, ancora un cenno ad alcune terminologie.
Assonometrie
La illustrazione a lato richiama un altro tipo di rappresentazione,
studiato a scuola nelle materie grafiche: le assonometrie.
Una assonometria non è altro che una proiezione parallela
( proiezioni tra superfici).
Sotto, il piano z = 4 è
rappresentato sia in prospettiva centrale (a sinistra) che con una
assonometria.
A destra è
descritta la trasformazione da R3 in
R2 che corrisponde a questo tipo
particolare di assonometrie (man mano che avanzo di 1 nella direzione x,
nella immagine bidimensionale retrocedo di h nella direzione y e di k nella
direzione z).
Una assonometria in cui, come in questa, il piano su cui avviene la proiezione (u,v)
è parallelo ad uno dei piani del sistema di riferimento (y,z) viene detta
assonometria cavaliera.
|  |

Le proiezioni parallele sono casi limite delle proiezioni centrali, come si
vede nell'illustrazione seguente, in cui man mano l'occhio O viene allontanato
sempre più dal punto mirato M. Anche questo lo avevamo
già osservato alla voce
proiezioni tra superfici.

Esercizi:
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