Sistemi di equazioni

#1  I sistemi di equazioni sono condizioni ottenute combinando equazioni con AND (indicato anche con & o Λ).
    In genere sono scritti in modo "abbreviato", usando una parentesi graffa invece di AND:
Equazione1 AND Equazione2 AND Equazione3 → 

{

Equazione1 
Equazione2
Equazione3

 
Nota.  Si usa scrivere anche {Equazione1, Equazione2, Equazione3}. Questo notazione è legata al fatto, più generale, che quando si impiega un insieme di equazioni o disequazioni per descrivere un problema o formulare un'ipotesi o … si intende imporre che esse siano tutte vere contemporaneamente. Ad es. scrivere, in situazioni di questo genere, "{x>0, xQ}" o, più in breve, "x>0, xQ" equivale a "x>0 AND xQ".  Occorre prestare attenzione al fatto che a volte si trovano scritte due o più equazioni o disequazioni separate da virgola per indicare che vale l'una o l'altra, cioè usando la virgola come un OR; questo capita spesso quando si elencano le condizioni che descrivono le diverse soluzioni di un problema. Dal contesto occorre capire quando "," sta per AND e quando per OR.

{

x2 + y2 = 100  
x = 6
    Il sistema a fianco è interpretabile come intersezione [ continuità] tra il cerchio di centro (0,0) e raggio 10 e la retta x=6. Le due figure si intersecano nei punti (6,8) e (6,–8). 

{

36 + 64 = 100  
6 = 6
    Infatti e sostituendo 6 a x e 8 a y il sistema assume la forma a lato. Entrambe le equazioni sono vere quindi (poiché "vero" AND "vero" fa "vero") il sistema è vero. Se sostituisco 6 a x e –8 a y il sistema si trasforma nello stesso modo.
    Si dice anche che le soluzioni sono (x,y)=(6,8) e (x,y)=(6,–8) o che il sistema equivale a: (x=6 AND y=8) OR (x=6 AND y=–8); le soluzioni sono anche indicate nel modo a fianco.

{

x=6  
x=8
 e 

{

x=6 
x=–8

Esercizio (e soluzione)

#2  Per la risoluzione dei sistemi valgono considerazioni generali analoghe a quelle svolte a proposito della risoluzione delle equazioni.

    Risolvendo un sistema mediante manipolazioni , in genere si cerca di "eliminare" delle incognite da una o più equazioni fino a arrivare a un'equazione in cui ce n'è una sola. Si risolve questa e poi si ricavano, utilizzando le altre equazioni, i corrispondenti valori delle altre variabili.

    Per manipolare un sistema di equazioni, trasformandolo in un sistema ad esso equivalente, oltre che manipolare le singole equazioni, si possono usare specifiche riscritture: 
  Si può cambiare l'ordine delle equazioni; infatti l'operatore AND è commutativo:

{

a + b + 4 = 0  
b – 1 = a
  equivale a  

{

b – 1 = a 
a + b + 4 = 0

•  Si può sostituire un sottotermine α con un termine β se nel sistema è presente l'equazione α=β (o β=α) che impone l'eguaglianza tra α e β.

{

x = 3/2  
y = x – 2
       

{

x = 3/2 
y = 3/2 – 2

•  Si possono addizionare al 1° e al 2° membro di un'equazione rispettivamente il termine α e il termine β se nel sistema è presente l'equazione α=β (o β=α) che impone l'eguaglianza tra α e β. Vedi il passaggio (1) (2) nell'esempio seguente (che possiamo sintetizzare con "abbiamo sommato la seconda eq. alla prima"):
  (1)   (2)   (3)   (4)   (5)   (6)   (7)

{

x+y=1  
x–y=2

{

x+y+x–y=1+2  
x–y=2 

{

2x=3  
x–y=2 

{

x=3/2  
x–2=y

{

x=3/2  
y=x–2

{

x=3/2  
y=3/2–2 

{

x=3/2  
y=–1/2

#3  Alcuni tipi di sistemi sono particolarmente facili da risolvere, sia graficamente (se non contengono parametri), sia con manipolazioni. Si tratta dei sistemi interpretabili come intersezione tra due rette, cioè costituiti da una coppia di equazioni del tipo ax+by+c = 0 (a patto che a e b non siano entrambi nulli):
se b≠0 l'equazione equivale a y=–a/bc (retta con pendenza –a/b), se b=0 l'equazione equivale a x=–c (retta verticale).

    Osserviamo, per inciso, che è facile descrivere in questo modo (ax+by+c=0) una qualunque retta passante per due punti P e Q:  (y−yP)(xP−xQ) = (x−xP)(yP−yQ).  Infatti questa è un'equazione è vera sia per x=xP e y=yP che per x=xQ e y=yQ.

    Come sono chiamate funzioni lineari le funzioni x kx+h che hanno per grafici rette, così sono chiamate equazioni lineari in x e y queste equazioni. I sistemi costituiti da due equazioni lineari (rispetto alla stessa coppia di variabili) vengono detti sistemi lineari. 
   I sistemi lineari possono avere:
 

 {

 a1 x + b1 y + c1 = 0
 a2 x + b2 y + c2 = 0
sistema lineare in x e y

  1 soluzione, se le due equazioni rappresentano rette non parallele,
  0 soluzioni, se rappresentano due rette parallele (cioè se, indicata con ax+by+c=0 una delle due equazioni, l'altra, opportunamente riordinata, è del tipo ux+vy+w=0 con (u,v)=k(a,b) e w≠kc, per qualche k≠0),
  ad es. 2x+3y–4 = 0 e 10x+15y = 0 rappresentano rette parallele:
  esse equivalgono in ordine a y = (–2x+4)/3 e y = –10x/15,
  e i coefficienti direttivi –2/3 e –10/15 sono uguali.

  o come soluzione ogni coppia (x,y) che sia un punto della retta rappresentata dalle due equazioni, se queste rappresentano la stessa retta, ossia se sono equivalenti (cioè se, indicata con ax+by+c=0 una delle due equazioni, l'altra, opportunamente riordinata, è del tipo ux+vy+w=0 con (u,v,w)=k(a,b,c), per qualche k≠0).
  ad es. 2x+3y–4 = 0 e 6x+9y–12 = 0 rappresentano la stessa retta:
  6x+9y–12 = 0 equivale a 3·(2x+3y–4) = 0 che equivale a 2x+3y–4 = 0.

1 soluzione0 soluzioniinfinite soluzioni

Un sistema privo di soluzioni si dice impossibile. A volte un sistema lineare con infinite soluzioni viene detto indeterminato  (nota che sarebbe gravemente errato usare questo aggettivo per caratterizzare le equazioni con infinite soluzioni: rispetto ad x, l'equazione floor(x) = 0, dove floor(x) è la parte intera di x, ha un ben preciso insieme di soluzioni, l'intervallo [0,1); analogamente l'equazione sin(x) = 0 ha come soluzioni un ben preciso insieme di numeri: 0, π, −π, 2π, −2π, …).

  Vi può essere anche il caso particolare in cui ogni coppia (x,y) di numeri sia soluzione: ciò accade se le due equazioni sono entrambe sempre vere:
si pensi ad es. a:   ax+by=0 AND ay=b:  se consideriamo x, y come incognite, quando i parametri a e b sono entrambi nulli il sistema diventa equivalente a:  0=0 AND 0=0  che è vero; a rigore, in questo caso il sistema non è più lineare in quanto ax+by=0 e ay=b per questi valori dei parametri non sono più equazioni lineari, ovvero non rappresentano rette.

Risolvere graficamente sistemi con R

Esercizi:

 altri collegamenti     [nuova pagina]     Considerazioni Didattiche