Come impostare l'insegnamento della geometria nel primo biennio delle superiori?

• Nei programmi della scuola dell'obbligo e in quelli del primo biennio e, in parte, in quelli del triennio successivo, sono presenti gli stessi temi e gli stessi argomenti, ma non emerge con sufficiente chiarezza quali debbano essere man mano i diversi livelli di formalizzazione rispetto al ciclo scolastico precedente. Proviamo ad affrontare questo problema.
    Gli obiettivi che sarebbe importante raggiungere nella scuola media inferiore e privilegiare nelle verifiche iniziali e nel recupero nel biennio (all'inizio della prima classe o prima di affrontare specifici argomenti) dovrebbero essere più quelli di "atteggiamento cognitivo" e di capacità di "operare" consapevolmente con le conoscenze di base per risolvere problemi. Ad esempio: 
(a)    saper usare strumenti di misura (righello, goniometro, cilindro graduato, bilancia, …) per determinare estensioni (direttamente o misurando altre grandezze fisiche con cui esistano legami di proporzionalità), saper calcolare l'area di qualche figura "strana" usando quadrettature o mediante triangolarizzazioni, saper confrontare ad occhio l'ampiezza di angoli disegnati (prescindendo dalle dimensioni dei segmenti con cui sono sono stati rappresentati i lati), saper associare a una misurazione la corrispondente precisione, avere idea che la precisione sulle misure dirette influisce sulla precisione delle misure indirette, … più che saper recitare formule (dirette e inverse) per il calcolo di aree di figure standard, essere addestrati a risolvere problemi stereotipati con coni sovrapposti a cubi, …; 
(b)    saper usare strumenti da disegno (tracciare perpendicolari e parallele usando squadra e riga, …), sapersi organizzare il "foglio di lavoro" (dal problema della scelta delle unità sugli assi al problema del dove e quali figure disegnare per prime per ottenere una certa figura composta), saper schematizzare con figure astratte situazioni concrete, saper passare da una descrizione verbale di una figura al suo disegno e viceversa, … più che ripetere definizioni e saper identificare con disinvoltura figure o elementi di figure disposte in modi "standard"; 
(c)    saper costruire/interpretare riproduzioni in scala (utilizzando equazioni del tipo y=kx, non con le famigerate regolette ad hoc per le proporzioni), saper calcolare distanze inaccessibili utilizzando similitudini, saper associare ombre a oggetti e altri trasformati a figure originali, … più che conoscere i termini "trasformazioni affini", "omotetie", … 
(d)    aver riflettuto (non genericamente) sulle differenze tra linguaggio comune e linguaggi specialistici, aver svolto (in contesti semplici, ma non banali) qualche attività di sperimentazione-congettura-verifica-dimostrazione, avere confidenza con il ricondurre problemi ad altri problemi (ricondurre problemi di tipo geometrico ad altri problemi di tipo geometrico – sono esempi in questo senso anche alcune delle attività considerate in (a) –, realizzare o interpretare rappresentazioni grafiche di relazioni tra grandezze, visualizzare geometricamente proprietà algebriche, …), … più che aver imparato cose del tipo «il punto è l'ente geometrico senza dimensioni», «non si deve parlare di triangoli uguali ma di triangoli congruenti perché in matematica due oggetti sono uguali solo se sono la stessa cosa», … 
(e)    e aver avviato l'affiancamento degli strumenti "diretti" per il disegno (riga, squadra, goniometro, compasso, …) all'uso del computer (per realizzare disegni sia "a mano libera" che di tipo "geometrico"), mettendo in luce, operativamente, le diverse tecniche e le diverse idee da usare rispetto all'uso di dispositivi non informatici.

    Per esemplificare i livelli più alti di formalizzazione e precisione linguistica, di generalizzazione, di riflessione "interna", … a cui si deve puntare nel biennio, possiamo citare: 
(a)    l'uso delle coordinate non solo per rappresentare graficamente dati e funzioni ma come modo di fare geometria,
(b)    il teorema di Pitagora non solo per risolvere problemi ma anche come cardine della metrica euclidea,
(c)    le trasformazioni geometriche presentate anche analiticamente e mettendo a fuoco il concetto di "invariante".

• Per una riflessione didattica sull'impostazione dell'insegnamento geometrico nei primi anni di scuola vedi qui.

• Pur ritenendo non proponibile una definizione assiomatica del piano (o dello spazio) euclideo, dobbiamo tener conto che è necessario, nella scuola secondaria superiore, dare una presentazione matematica, non solo sperimentale (nel senso "fisico" del termine), della geometria, sia per fornire una visione più esplicita e precisa della natura della matematica, sia per inquadrare meglio il significato delle dimostrazioni. 
Per altro, si dovrebbe trovare una impostazione che, rispetto a quella tradizionale, evidenzi meglio lo "stacco" rispetto alla geometria intuitiva, che non è legato solo alla messa a fuoco del ruolo delle dimostrazioni, ma ad una nuova concettualizzazione dello "spazio matematico"; in questo senso pare non soddisfacente un riferimento, troppo ristretto, allo spazio della "fisica" e, soprattutto, di fronte agli enormi sviluppi che ha avuto la matematica e alle molte forme attraverso cui essa si è diffusa nelle professioni e nella vita di tutti i giorni, pare controproducente una estesa e "isolata" trattazione della geometria euclidea.