Successioni

#1  Una successione è una sequenza illimitata di oggetti matematici. I suoi elementi possono essere indicati con una variabile indiciata.  Ad es. una successione di numeri iniziante così:  1, 2, 4, 8, …, può essere rappresentata mediante la variabile indiciata x(.) indicando con x(n) il numero al "posto n" della successione (numerando i posti a partire da 0 o da 1 - ma si potrebbe partire anche da un altro numero):  x(0)=1, x(1)=2, x(2)=4, … o  x(1)=1, x(2)=2, x(3)=4, … o …
    Ricordiamo che le variabili indiciate sono spesso scritte indicando l'indice, o posto, non tra parentesi ma sotto forma di "pedice", ossia usando invece di x(n) la scrittura xn.
    Una successione può essere interpretata anche come una funzione a input in N (o N≥1 o N≥2 o …): la funzione che a n associa l'elemento di posto n [n x(n)], e come tale rappresentata graficamente. Si è già visto il grafico della successione: 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, ….
    Come si è visto più in generale per le funzioni, non è detto che esista un procedimento di calcolo che permetta di generare uno dopo l'altro gli elementi di una successione. Ad esempio se mi metto a lanciare ripetutamente un dado e decido di indicare con U(n) il numero che uscirà al lancio n-esimo, non posso prevedere quale sarà U(20) (a meno che il dado non sia truccato, in modo che esca sempre la stessa faccia).

#2  Le successioni a elementi numerici possono essere definite mediante singole equazioni, come accade per le altre funzioni numeriche. Esempi:  x(n)=2n,  z(n)=2n+1,  P(n)=H·2n, …

   n      0    1    2    3    4    5    6   ...
  x(n)    1    2    4    8    16   32   64   ...
  z(n)    1    3    5    7    9    11   13   ...
  P(n)    H    2H   4H   8H   16H  32H  64H  ...

Successioni come le precedenti possono essere calcolate direttamente, ad es. con R:
n <- 0:8; x <- 2^n; z <- 2*n+1; x; z
  1   2   4   8   16  32   64  128  256
  1   3   5   7   9   11   13   15   17

    Possono essere definite anche medianti sistemi. Le stesse successioni degli esempi precedenti possono essere descritte così:

(*)

{

x(0) = 1  
x(n+1) = x(n)·2

{

z(0) = 1 
z(n+1) = z(n)+2

{

P(0) = H 
P(n+1) = P(n)·2

in analogia al modo in cui all'interno di un programma posso assegnare attraverso un ciclo FOR-NEXT dei valori a una variabile indiciata. La riga di istruzioni seguente in Basic mette in x(.) i primi 9 elementi della successione x(0), x(1), x(2), … sopra definita:
  x(0)=1: FOR n=0 TO 8: x(n+1)=x(n)*2: NEXT
La riga seguente, in R, li calcola e stampa:
  x <- 1; for(n in 0:8) {x <- x*2; print(x)}

    Definizioni del tipo (*), in cui si usano equazioni nelle quali il simbolo della funzione che si vuole definire compare in entrambi i membri, vengono chiamate ricorsive: 
per trovare z(3) usando (*) non posso fare un calcolo immediato, ma devo ripercorrere più volte l'equazione z(n+1) = z(n)+2,
per concludere prima che z(3) = z(2)+2,
poi che z(2) = z(1)+2,
poi che z(1) = z(0)+2;
dall'equazione z(0) = 1 posso concludere che z(1) = 1+2 = 3,
e quindi z(2) = 3+2 = 5,
e infine z(3) = 5+2 = 7.

    La potenza a esponente intero può essere definita ricorsivamente:  a0 = 1 AND an+1 = an·a.
    Più in generale si chiamano ricorsive le definizioni in cui un concetto matematico di nome XXX viene caratterizzato usando la parola XXX stessa. Ad esempio ciò accade quando si definisce un termine come "una costante, una variabile o un oggetto ottenuto combinando altri termini mediante simboli di funzione". Oppure quando si definisce un poligono come "un triangolo o la figura ottenuta unendo a un altro poligono un triangolo avente un lato in comune con esso". O quando si definisce una sequenza finita di cifre come "una cifra o una espressione ottenuta aggiungendo una cifra a una sequenza finita di cifre".

    Tra gli esercizi sotto proposti ne trovi uno che studia il valore della somma dei primi n numeri interi positivi e uno che studia la somma delle prime n potenze (n intero positivo) di un numero. Prova da affrontarli.

Nota. Può capitare di trovare qualche libro in cui le definizioni ricorsive vengono chiamate per induzione. È un clamoroso errore. Le definizioni per induzione sono dei casi particolari di definizioni ricorsive. Non abbiamo, ora, gli strumenti per capire questa distinzione. Se proseguirai gli studi matematici potrai approfondire la questione ( qui, nel 5, nel 13 e nei seguenti potrai trovare un'introduzione ad essa).  È, invece, utile in molte situazioni ricorrere alla seguente tecnica dimostrativa, nota come principio di induzione, secondo la quale per dimostrare che una proprietà vale per ogni numero intero maggiore di un certo k basta dimostrare che (1) vale per k e che (2) dal fatto che valga per un generico n segue che vale anche per n+1.

Esercizi:

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