Rette tangenti e curve

#1  Il concetto di retta tangente

    Abbiamo già introdotto il concetto di retta tangente nel caso del cerchio:  figure(2). È la retta che "tocca" il cerchio senza attraversarlo.

    "Tangente" è un termine usato anche nel linguaggio comune:  si usa dire che una persona, nella foga di una discussione, "parte per la tangente" quando incomincia a divagare, a perdere il filo e il controllo delle argomentazioni, proseguendo lungo la direzione che il discorso ha preso al momento.  Questo modo di dire deriva dal fatto che se faccio ruotare un oggetto attaccato a un filo e ad un certo punto questo si spezza, perdo il controllo dell'oggetto ed esso prosegue lungo la tangente. Questa proprietà era usata dai frombolieri: essi lasciavano partire il proiettile dalla fionda quando questo, liberato, avrebbe proseguito lungo la direzione voluta, ossia quando la retta tangente alla traiettoria del proiettile coincideva con la direzione voluta. Analogamente un treno che deragli in un tratto in cui i binari hanno andamento circolare tende a proseguire in modo rettilineo lungo la tangente all'arco di cerchio. 

    È anche facile tracciare la tangente in un punto P ad un cerchio, se ne conosciamo il centro: basta tracciare il raggio che passa per P e la retta per P perpendicolare a tale raggio.
    Come si può descrivere e come si può tracciare la tangente in un punto ad un altro tipo di curva?

#2  Nel caso del cerchio possiamo descrivere la tangente in un punto come la retta che ha solo quel punto in comune con esso. Questa descrizione va bene anche per l'ellisse: vedi figura (1) sottostante. Ma se prendessimo come curva solo solo il pezzo dell'ellisse selezionato con il rettangolo punteggiato, sarebbero infinite le rette che passano per il punto evidenziato e non hanno altri punti in comune con tale curva.
    Proviamo a descrivere la tangente a una curva in un punto come la retta che ha solo quel punto in comune con la curva e lascia il resto della curva dalla stessa parte rispetto a sé stessa.
    Questa descrizione va bene anche per il punto A della figura (2). Ma non va bene per il punto B: la retta tracciata per esso è intuitivamente tangente alla curva, ma non la lascia tutta dalla stessa parte; infatti la attraversa in un altro punto.
    Possiamo rimediare alla cosa richiedendo non che tutta la curva stia dalla stessa parte, ma che questo avvenga solo in un intorno del punto, cioè per il pezzo di curva racchiuso in un cerchietto centrato nel punto.
    Questa descrizione soddisfa anche il caso del punto B. Ma che dire della tangente in C?

    Come tangente in C è naturale (tenendo conto di quanto osservato sopra sul "partire per la tangente") prendere la retta tracciata in figura, lungo cui tenderebbe a proseguire un veicolo che, seguendo una traiettoria come quella rappresentata in (2), perdesse improvvisamente il controllo della strada mentre passa per C.  Ma in questo caso la retta tangente taglierebbe la curva, non la lascerebbe tutta dalla stessa parte.
    E nel caso della figura (3)? Per il punto A passano infinite rette che hanno un unico punto in comune con la curva e la lasciano tutta dalla stessa parte. E la tangente in B dovrebbe essere la retta passante per B che contiene la curva (è questa la traiettoria rettilinea lungo cui ci si muove passando per B), ma questa retta ha infiniti punti in comune con la curva.
    Anche la curva (4) ci pone alcuni problemi: se la interpretiamo come una traiettoria, un veicolo raggiunge A con una certa direzione e ne riparte con una diversa. Quale delle due rette dovremmo considerare tangente?
    Abbiamo, dunque, visto che non è facile definire in generale il concetto di retta tangente in modo che rispecchi il significato che intuitivamente gli attribuiamo.

#3  Oltre al problema di come definire la retta tangente, dobbiamo anche porci il problema di come tracciarla. Ad es. nel caso dell'ellisse non circolare di figura (1) è difficile tracciare una retta passante per A con l'inclinazione giusta: come riconoscere ad occhio in un disegno tra due rette diversamente inclinate che non attraversino clamorosamente la curva quale è effettivamente tangente?
    Nel caso dell'ellisse, invero, si potrebbe trasformarla in un cerchio con una trasformazione di scala, tracciare la tangente nel punto A' del cerchio che corrisponde ad A e applicare la trasformazione di scala inversa: la tangente al cerchio viene trasformata nella tangente all'ellisse. Ma nel caso della figura (2) non si può usare questo trucco.

    Precisare il concetto e il modo di tracciare le tangenti ci serve anche per affrontare situazioni come quella illustrata a lato: qual è l'angolo formato da due traiettorie non rettilinee che si intersecano? È naturale prendere l'angolo formato dalle rette tangenti alle due traiettorie nel punto di intersezione.  

    Problemi analoghi dobbiamo porci se vogliamo capire come fa una applicazione grafica per computer a realizzare le tangenti a una curva? o, viceversa, a tracciare, data una certa retta e un certo punto, una curva che in quel punto abbia tale retta come tangente?
    Consideriamo ad es. il tracciamento di tratti curvilinei usando in Paint o usando "bottoni", menu o comandi simili in altri tipi di applicazioni:
(1) si individuano, cliccando, due punti P e Q; appare un segmento che li ha come vertici; (2) si clicca su un punto P1; il segmento si incurva nella direzione di esso; (3) se poi clicco su un altro punto P2 la curva si deforma ulteriormente, in modo tale da assumere un andamento che richiama la forma della spezzata P P1P2Q 

(1)            (2)  
(3)            

Osservando le figure si intuisce che la curva si dispone prima in modo che i segmenti PP1 e QP1 siano tangenti alla curva in P e Q, poi in modo che lo siano i segmenti PP1 e QP2. Questa osservazione è confermata se si clicca sul punto P2 nel modo illustrato a lato: la curva viene tirata verso P1 e verso P2 in modo che PP1 sia tangente in P e QP2 lo sia in Q.   (3')      

    Come fa questo programma a comportarsi in questo modo? Che cosa vuol dire per esso che una retta sia tangente a una curva?  [vedi qui per realizzare con R curve di questo tipo, chiamate curve di Bezier, dal nome di colui che le ha ideate].

#4  Il concetto di curva

    Prima di affrontare questi aspetti dobbiamo porci un ulteriore problema. Che cosa è una curva?

Innanzi tutto osserviamo che nel linguaggio comune mentre della linea A sopra tracciata si dice che è una curva oppure un profilo, una traiettoria, … curvilinea, la stessa cosa non viene detta di B, che ha andamento rettilineo, né di C o di D, che presentano dei punti angolosi, ossia dei punti in cui, percorrendo la linea da un capo all'altro, si arriva con una direzione e se ne riparte con un'altra.
    In matematica, invece, tutte e quattro le linee vengono chiamate curve; si dice eventualmente che A è una curva non rettilinea.  Questo uso più generale della terminologia che si fa in matematica è presente in moltissime altre situazioni:

nell'usuale comunicazione - anche quando si parla di matematica - dicendo «ho un tavolo rettangolare», «non arrivo a 38° di febbre», «disegna un'ellisse» … voglio dire anche che il tavolo non quadrato, informare che la mia temperatura corporea supera i 37°, chiedere di non disegnare un cerchio, … in quanto altrimenti avrei specificato diversamente la forma del tavolo, la mia temperatura, la figura da disegnare, …;
nell'enunciare una proprietà o una definizione matematica, invece, se parlo di un rettangolo o di una ellisse o ad esempio di un trapezio non escludo che sia, rispettivamente, un quadrato o un cerchio o un rettangolo, se scrivo "x < 38" includo la possibilità che x sia "molto" più piccolo di 38, ….

    Questo uso di definizioni più estese rispetto al linguaggio comune è indispensabile per poter descrivere procedimenti, svolgere argomentazioni, … in modo generale.  Per fare un esempio chiarificatore, si pensi alla descrizione del metodo dei trapezi per detereminare la  area di un poligono a partire dalle coordinate dei suoi vertici:  il poligono viene interpretato come somme e differenze di trapezi con "basi" verticali, e se si escludessero dai trapezi i rettangoli (come si fa nel linguaggio comune) la descrizione non funzionerebbe nel caso in cui il poligono abbia dei lati orizzontali..

    Una delle difficoltà dello studio della matematica consiste nel fatto che, spesso, nei libri e nelle spiegazioni dei docenti (e anche in questo "dizionario") si intrecciano frasi ora da interpretare come nel linguaggio comune, ora come nel "linguaggio matematico". Lo studente, se non è motivato o non comprende il senso complessivo di quanto sta studiando, può, incontrare difficoltà a capire in quale modo deve interpretare una proprietà, il testo di un problema, …

#5  In matematica esistono diversi modi per descrivere una "curva". Soffermiamoci per adesso sul caso "piano", rinviando a voci successive il caso delle curve nello spazio tridimensionale.

    Abbiamo descritto curve come grafici di funzioni o, nel caso in cui non fossero interpretabili in questo modo, come equazioni del tipo F(x,y)=0 [ rette anche verticali, parabole con asse orizzontale, cerchi e quadrati, …).

    Altre curve le abbiamo descritte mediante la applicazione di trasformazioni geometriche ad altre figure. Le nuove curve, comunque, potrebbero anch'esse essere descritte sotto forma di equazione.
    La figura a lato (in cui sono illustrati il cerchio goniometrico sottoposto a una dilatazione orizzontale e a una successiva traslazione, e una retta per l'origine sottoposta a una traslazione) richiama come una curva del tipo F(x,y)=0 sottoposta a una trasformazione di scala del tipo (x,y) → (hx, ky) assuma l'equazione F(x/h,y/k) = 0 e, sottoposta a una traslazione del tipo (x,y) → (x+h, y+k), assuma l'equazione F(x-h, y-k) = 0.
    In voci successive si vedrà come cambia l'equazione nel caso di rotazioni.

 

    Come grafici di funzioni o di equazioni del tipo F(x,y)=0 si può ottenere un po' di tutto. Ad esempio se consideriamo la funzione segno, che indicheremo sgn o sign, che associa 1 ai numeri positivi, –1 a quelli negativi e 0 a 0, y = sgn(x) (vedi sotto a sinistra) è l'unione di due semirette e un punto non allineati.  Invece sgn(x2+y2–1)+1=0 (figura sotto al centro) è l'insieme dei punti che distano meno di 1 da (0,0); è la parte interna di un cerchio.  Queste stranezze sono legate alla presenza di una funzione che, come sgn, non è  continua.

    Ma anche in assenza di funzioni di questo tipo si può ottenere una figura che non sembrerebbe sensato chiamare curva. Ad esempio (y–1)(y+1)=0 ha per grafico le rette parallele y=1 e y=–1, ossia le rette ottenibili prolungando le semirette della figura sopra a sinistra. La figura sopra a destra è il grafico di (x–1)(y+1)=0; è l'unione di due rette (x=1 e y=–1) che si intersecano in un punto.  L'equazione x·y=12, ovvero la funzione x → 12/x (che è continua nel suo dominio), ha un grafico, rappresentato a destra, che si chiama iperbole e viene spesso chiamato "curva". Ma è una "curva" formata da due curve distinte, i cosiddetti rami dell'iperbole.  

#6  Abbiamo descritto curve anche in altri modi. Ad esempio come insiemi di punti soddisfacenti a certe condizioni descritte a parole, non mediante equazioni (anche se in alcuni casi queste condizioni possono essere espresse mediante equazioni). Abbiamo fatto ciò nel caso dell'asse di un segmento e della bisettrice di un angolo, ma anche in quello del cerchio.

    La semiretta la abbiamo descritta formalizzando l'idea che essa sia generata da un punto che si muove secondo una direzione fissata. Seguiremo questa idea, quella della traiettoria di un punto che si muove con continuità, senza salti, ossia della linea a tratto continuo che possiamo ottenere facendo scorrre la punta di una penna su un foglio senza mai staccarla da esso, per fissare un particolare concetto di curva, che chiameremo curva continua. Questa sarà la nostra idea ispiratrice. Come abbiamo già visto in molte altre occasioni (per le rappresentazioni grafiche, i numeri reali, le distanze, …) dovremo poi mettere meglio a fuoco le differenze tra il concetto intuitivo e la sua "controparte", il suo modello matematico.


  #7  Partiamo da un esempio. Una barca attraversa un canale dirigendosi con velocità costante perpendicolarmente alla riva. Il suo moto è descritto a sinistra, nel caso in cui l'acqua del canale sia ferma. Se in seguito alla apertura di una chiusa si forma una corrente tale che l'acqua avanzi con la stessa velocità in tutti i punti del canale, la barca, senza interventi da parte del guidatore, cambia traiettoria: vedi figura a destra.
Una situazione analoga si verifica se stando su un tapis roulant ci spostiamo perpendicolarmente alla direzione di avanzamento: per chi osserva la scena da fuori il nostro movimento non è perpendicolare al tapis roulant.

Come posso descrivere il moto della barca se essa, a canale fermo, si muove alla velocità di 35 m/min e se il canale ha una corrente di 30 m/min verso sinistra?
Posso fissare un sistema di riferimento come quello a lato, dove x e y esprimono metri e t esprime minuti, e considerare il sistema:
  x = -30 t AND y = 35 t, ovvero, più in breve:
  P = (-30 t, 35 t)
    Al variare di t ho l'insieme dei punti che formano la traiettoria della barca.
    Questa è una traiettoria rettilinea, e potrei descriverla anche come il grafico della funzione x → -35/30 x ovvero mediante l'equazione y = -35/30 x.
  

Esercizio (e soluzione)

#8  Vediamo come descrivere in modo simile una traiettoria circolare, quella di centro C = (4,3) e raggio 2. Se P sta sul cerchio e il vettore CP ha direzione α, le componenti di questo sono Δx = 2·cos(α), Δy = 2·sin(α), per cui P = (4 + 2·cos(α), 3 + 2·sin(α)).
Al variare di α tra 0 e 2π, ovvero tra 0° e 360° (1° = π/180), le equazioni seguenti descrivono il cerchio:
  x = 4 + 2 cos(α)
  y = 3 + 2 sin(α).
Questa curva non avremmo potuta descriverla come grafico di una funzione; avremmo tuttavia potuta descriverla con l'equazione:
(x - 4)2 + (y - 3)2 = 4.
    Sotto è illustrata un'altra situazione:
raggio=2
– y=3
|
x=4
 x = 4 + 2 cos(α)
y = 3 + 2 sin(α)
0° ≤ α ≤ 360°

    il movimento di un punto P che avanza con velocità costante lungo la direzione dell'asse x e che oscilla lungo la direzione dell'asse y allo stesso modo in cui lo farebbe un punto ruotante con velocità costante attorno a un centro collocato sull'asse x.
    Ovviamente anche nella descrizione di questo moto entrerà in gioco la funzione seno. Se R è la lunghezza (in m) del raggio di rotazione, se φ è la sua direzione iniziale, se la velocità di avanzamento orizzontale è di h m·s–1 e quella di rotazione è di ω s–1 (o ω rad·s–1:  direz.e funz. circolari), la traiettoria di P, esprimendo x e y in metri e il tempo t in secondi, è:
x = ht,   y = R sin(ω t + φ),   ovvero   y = R sin(k x + φ), con k = ω/h.   Curve di questo tipo vengono dette sinusoidi.
    Nota.  Una funzione del tipo t → R sin(ω t + φ) viene detta funzione sinusoidale. R, ωt+φ e φ vengono chiamate, rispettivamente, ampiezza, fase e fase iniziale. Il periodo è 2π/ω. Anche nel caso in cui t non sia un tempo il reciproco del periodo, ω/(2π), viene chiamato frequenza; ω viene chiamata frequenza angolare in quanto non esprime "giri al secondo" ma "ampiezza angolare al secondo" [ periodo e frequenza]. Un moto rettilineo descrivibile mediante una relazione y = f(t) del tipo y = R sin(ω t + φ) viene detto armonico.
  Vediamo ora una situazione in cui non si riesce a decrivere la traiettoria mediante una funzione o una sola equazione.

#9  Un uomo si allontana dal centro di una piattaforma girevole procedendo in modo rettilineo e con velocità costante, di 0.5 m/s; sotto a destra è riprodotto come l'uomo si muoverebbe se la piattaforma rimanesse ferma. Se la piattaforma ha una velocità di rotazione costante, di 10° al secondo, l'uomo, visto dall'alto, descrive una traiettoria a spirale, come illustrato sotto al centro:


R = 0.5 t
α = 10° t

x = 0.5 t · cos(10°t)
y = 0.5 t · sin(10°t)




 

x

Se l'uomo mantenesse la direzione iniziale, che indichiamo con l'asse x, la sua posizione dopo t secondi sarebbe x=0.5t. Se la piattaforma ruota, 0.5t diventa la distanza R dal centro raggiunta dopo t secondi; mentre la direzione α verso cui l'uomo sta puntando diventa 10°·t. Da R e α usando cos e sin posso ricavare x e y, come è indicato sopra.

#10  Queste descrizioni ( R = 0.5 t, α = 10° t;  x = 0.5 t · cos(10°t), y = 0.5 t · sin(10°t) ), in coordinate [ spazio] sia cartesiane (in questo paragrafo indicate con x,y) che polari (qui indicate con R e α), vengono dette parametriche in quanto viene impiegata una terza variabile (t) rispetto a quelle usate per individuare la posizione dei punti che formano la figura [siamo di fronte a un nuovo uso della parola parametro rispetto a quello incontrato alla voce  risoluz.equaz.(2); un altro uso di tale parola lo si trova alla voce  calcolatore(5); per altri usi in matematica e altre scienze vedi qui].

Chiameremo, dunque, curva continua l'insieme dei punti P(t) al variare di t in un intervallo I, dove P(t) = (F(t), G(t)) e F e G siano funzioni continue in I. La chiameremo in particolare arco di curva nel caso in cui I sia un intervallo limitato del tipo [a,b]; P(a) e P(b) ne sono gli estremi; le lunghezze degli archi sono determinabili (quando esistono) in modo simile a quanto si è visto per la lunghezza del grafico di una funzione continua.

A destra la rappresentazione di x = t AND y = t2, che è la figura simmetrica rispetto alla retta y=x di y = x2.
Sotto è raffigurata la curva descritta da un foro centrato nel punto medio di un raggio di un disco che rotola: il raggio è 1, t è la lunghezza dell'arco di cui rotola il disco (-t è l'angolo, essendo la rotazione antioraria) ed è anche la strada di cui avanza il centro del disco. Quando il centro del disco, dalla posizione iniziale (x=0, y=0) ha raggiunto la posizione x=t, y=0, il foro nel frattempo è ruotato di un arco di cerchio di raggio 1/2 e le sue coordinate, rispetto al centro del disco, sono diventate x=cos(-t)/2 e y=sin(-t)/2; tenendo conto che la x del centro è variata si ottiene che la sua posizione è quella descritta dalle equazioni scritte a sinistra della figura.
 

Più sotto sono rappresentate le traiettorie descritte da un punto collocato sul bordo del disco e da un punto collocato sul prolungamento esterno di un raggio. Tutte queste tre curve sono chiamate cicloidi.

x = t + cos(–t)/2, y = sin(–t)/2
x = t + cos(–t), y = sin(–t)
x = t + cos(–t)·1.3, y = sin(–t)·1.3

Esercizio (e soluzione)

#11  Come definire la retta tangente a una curva in un punto

    Posso, ora, precisare meglio il concetto di retta tangente. Considero il punto P0 della curva a fianco.
    La retta PP0 man mano che P si avvicina a P0 muovendosi lungo la curva tende a disporsi come la retta che intuitivamente consideremmo la tangente. Potrei dunque [ limiti] pensare di descrivere tale tangente con l'espressione
            lim P → P0 P0P
ma dovrei chiarire meglio che cosa significa "P → P0".
    Se descrivo la curva come P(t) e se P0 = P(t0) posso considerate che P → P0 per t → t0 ed esprimere la retta tangente alla curva in P0 come:
 

            lim t → t0 P0P(t)
dove la retta P0P(t) posso pensarla rappresentata dal numero che ne esprime la pendenza o quello che ne esprime l'inclinazione.
    Nel caso della curva sopra raffigurata il punto P2, in cui si presenta un nodo, può essere individuato con due diversi valori di t: se pensiamo la curva come una traiettoria, si tratta di un punto che viene percorso due volte, in due successivi istanti. Punti analoghi sono presenti nell'ultima delle cicloidi sopra raffigurate. A seconda del t che consideriamo abbiamo due diverse tangenti, ovvero a seconda di quale sia il momento in cui attraversiamo il punto diversa è la direzione in cui stiamo procedendo.
    Nel caso di P1 abbiamo un'unica tangente, ovvero, se P1=P(t1),
      lim t → t1 P1P(t)  =  lim t → t1+ P1P(t)
    Nel caso del punto A della figura (4) considerata in precedenza, limiti analoghi sarebbero invece stati diversi.

#12  Un esempio. A lato è rappresentata una curva e vogliamo determinarne esattamente la tangente nel punto che corrisponde a t = –1. È il punto (-1(-1+1), (-1)3) = (0, -1). È il punto già evidenziato in figura.
    La pendenza di una retta che passa per (0,-1) e per P(t) è:


      3            3
Δy   t - (-1)     t + 1          t+1        1
—— = —————————— = ————— = t-1 + ———— = t-1+ —
Δx   t(t+1) - 0    2             2          t
                  t + t         t +t

che per t → –1 tende ad assumere il valore –3.
La tangente cercata è dunque la retta passante per (0,–1) con pendenza –3, ossia y = –3x–1.

 

 

A lato è raffigurata la curva precedente e le rette  (0,-1) P(t)  per
 t = 1, 0.75, 0.5, 0.25, 0, -0.25, -0.5, -0.75
e infine la retta tangente alla curva in (0,–1).

#13  Mettere a punto il modo in cui determinare la tangente a una curva ci consentirà di affrontare anche problemi di tipo fisico, simili a quelli da cui abbiamo tratto spunto all'inizio di questa voce, ad es. quello di individuare la direzione in cui si muove, istante per istante, un'auto in movimento (che è la tangente alla traiettoria) ovvero quello di trovare come è diretta la forza centripeta che occorre esercitare per curvare, a cui corrisponde, in direzione opposta, la forza centrifuga a cui "crede" di essere soggetto il passeggero (sono entrambe perpendicolari alla tangente).

#14  In una voce successiva si vede come le idee con cui abbiamo affrontato il problema di come determinare la tangente a una curva in un punto possono essere generalizzate e formalizzate per mettere a punto il concetto di derivata, che ci permetterà di affrontare in modo più semplice lo studio delle curve. Alle voci  pendenza 2 e  velocità di variazione vengono proposte altre idee e tecniche che possono introdurre al concetto di derivata.

    Qui si possono trovare esempi di varie curve.  Altri esempi li trovi qui e qui.


Esercizi:  

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