•  Siano u = (u₁, u₂, u₃) and v = (v₁, v₂, v₃). Il prodotto scalare u·v di u e v è definito in due modi equivalenti:
(1)  u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃
(2)  u·v = 0 if u=0 or v=0, u·v = ||u|| ||v|| cos(θ), dove θ = min{∠uv, ∠vu}, altrimenti  (comunque il coseno di ∠uv e quello di ∠vu sono uguali essendo angoli opposti)

Perché le due definizioni sono equivalenti?

Per la definizione (2), u·v, fissate le intensità di u e v, assume valore massimo se u e v hanno direzioni uguali od opposte,  u·v=0 se u e v sono perpendicolari.  Quindi tra i versori i, j e k degli assi x, y e z valgono le relazioni seguenti: i·i = 1,  i·j = 0,  i·k = 0,  j·j = 1,  j·i = 0,  j·k = 0,  k·k = 1,  k·i = 0,  k·j = 0. Potevamo tralasciare qualche relazione in quanto u·v = v·u, cosa che segue dal fatto che ||u|| ||v|| = ||v|| ||u||.

Inoltre a·(b+c) = a·b+a·c. Infatti (vedi figura a lato) a·(b+c) equivale al prodotto di ||a|| (lunghezza di PQ) per la proiezione su a di b+c (PK), e questa è pari alla somma delle proiezioni su a di b (PH) e c (HK), che sono pari ad a·b e a·c. Poi (ku)·v = k(u)·v.Infatti se moltiplico per k un vettore viene moltiplicata per k anche la sua proiezione su un altro vettore v. Dunque: u·v = (u1i+u2j+u3k)·(v1i+v2j+v3k) = u1v1·1+u1v2·0+ … + u3v3·1 = u1v1 + u2v2 + u3v3

•  Il fatto che  u · (v + w) = u · v + u · w  segue immediatamente dalla figura a fianco (clicca l'immagine se vuoi ingrandirla): la proiezione di v+w su u equivale alla somma delle proiezioni su u di v e di w.